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文档简介

主讲人：王飞二次型|正定二次型《线性代数》基本概念正定二次型主子式判定方法定义1设实二次型如果对任意都有称为正定二次型，相应的矩阵称为正定矩阵，记为：定义2如果对任意都有称为负定二次型，相应的矩阵例1正定二次型负定二次型称为负定矩阵，记为：基本概念正定二次型主子式判定方法定义3定义4称为半正定矩阵.如：如果对任意都有称为半正定二次型，相应的矩阵有定性称为半负定矩阵.如：如果对任意都有称为半负定二次型，相应的矩阵二次型的正(负)定、半正(负)定统称为二次型及其矩阵的有定性.思考：

对二次型的标准形，易于由平方项系数的特点判别有定性，那么对于一般的二次型，该如何判定它的有定性？基本概念正定二次型主子式判定方法定理1元实二次型正定的充分必要条件是它的标准形的个系数均为正.证明：存在可逆线性变换使化为标准形当时，即结论得证.基本概念正定二次型主子式判定方法推论1元实二次型正定的充分必要条件是正惯性指数等于推论2元实二次型正定的充分必要条件是的特征值推论3元实二次型正定的充分必要条件是合同于单位矩阵.即存在可逆矩阵，使得推论4元实二次型正定,则例2已知矩阵正定，求满足条件.解：由推论4可知，故基本概念正定二次型主子式判定方法例3判断二次型的正定性.解

采用特征值法判定令得的特征值因三个特征值都大于零，故二次型是正定的.基本概念正定二次型主子式判定方法定义5思考：

一般情况下，借助二次型矩阵的特征值或将二次型化为标准形来判别正定性比较麻烦，是否可以直接利用二次型的矩阵进行判定正定性？阶矩阵的子式设称为矩阵的阶顺序主子式.基本概念正定二次型主子式判定方法例4已知则1阶顺序主子式：2阶顺序主子式：3阶顺序主子式：定理2元实二次型正定的充分必要条件是的各阶顺序主子式注：

利用顺序主子式判别二次型的正定，必须依次由低阶到高阶，且都大于零.基本概念正定二次型主子式判定方法例5已知二次型当满足什么条件时，二次型正定.解

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