初高中数学暑假衔接材料：第02讲 函数的表示方法（解析版）

25/25第02讲函数的表示方法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1列表法表示函数题型2图象法表示函数题型3解析法表示函数题型4待定系数法求函数解析式题型5换元法求函数解析式题型6解方程组法求函数解析式题型7分段函数求值及参数值题型8分段函数的值域问题题型9解分段函数不等式04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航n次方根、指数幂1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.4.会求函数的解析式学习重点：求函数的解析式学习难点：理解分段函数知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的表示方法1．函数的表示法函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.2．函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).知识点02分段函数1．分段函数分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况.2．分段函数问题分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．题型1列表法表示函数【例1】对于函数y=fx，部分xx1234567y7458134则ff1值为（A．1 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据表格先求f1，再求f【解析】由表格可得，f1所以ff【易错提醒】/【方法总结】复合函数的求值是从内层函数向外层函数求【变式1-1】已知函数fx、gxx1234f2341x1234g2413A．ff1=4C．fg1=3【答案】C【分析】结合表格中的数据，代入即可得到正确答案.【解析】由表格得f1=2，f2=则ff1=ffg1=f因此，只有C选项正确.故选：C.【变式1-2】设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（

）x012210A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的概念求解即可.【详解】由，得或或，当时，，当时，，当时，，综上所述，不等式的解集为.故选：A.【变式1-3】若函数用列表法表示如下：123321123132则满足的值为（

）A．1 B．3 C．1或2 D．2或3【答案】D【分析】根据表格求函数值，逐项验证进行比较.【详解】根据表格可知，，，，所以满足条件的是或.故选：D题型2图象法表示函数【例2】水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度h与时间t满足的函数图象是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论.【解析】此容器从下往上口径先由大变小，再由小变大，故等速注入液体其高度增加变化率先由慢变快，再由快变慢，A、B、C选项中：函数图象中高度变化率分别是先快后慢、先慢后快、匀速的增加，与题干不符，故排除；D选项：当注水开始时，函数图象中高度变化率是先由慢变快，再由快变慢，符合题意；故选：D.【易错提醒】/【方法总结】根据容器的特征，结合几何体的结构和题意知，容器的底面积越大水的高度变化慢、反之变化得快，再由图象越平缓就是变化越慢、图象陡就是变化快来判断．结合函数图象分析判别可得结论【变式2-1】小明离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学.下列哪一个图象与这件事吻合得最好？（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，由实际背景出发确定图象的特征即可得解.【详解】中途返回家中，则离开家的距离先增大，后减小至0，到家找作业本，再离开家到学校，选项D吻合最好.故选：D【变式2-2】函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】结合图形，运用排除法，特殊值，直接法判断即可.【详解】排除法：由于，得，所以的定义域是，由此排除C选项；与轴交点为，排除D选项；函数值为非负数，所以排除A；所以正确的选项为B.直接法：直接做出图象进行翻折变换即可.故选：B.【变式2-3】函数的部分图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将函数写成分段函数，再根据特殊值判断即可.【详解】解：因为，且，，故符合题意的只有A.故选：A题型3解析法表示函数【例3】已知函数fx=x−1A．fx−1C．f1+x=f1【答案】C【分析】根据解析式代入验证即可.【解析】因为fx−1所以f1+x故选：C.【易错提醒】/【方法总结】求函数值是将整体代入原函数中的变量x即可求得【变式3-1】（多选）设，则下列结论成立的是（

）A． B．（）C． D．（）【答案】AB【分析】代入计算出，，判断出ABD；而，C错误.【详解】A选项，，A正确；BD选项，（），B正确，D错误；C选项，，显然，C错误故选：AB【变式3-2】如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC.已知AB+BC+CD为定值l，腰CD与直线BC的夹角为60∘，设等腰梯形的面积为S，高为ℎ，则S关于ℎ的函数解析式为【答案】S=【分析】用l,ℎ表示BC，AD【解析】如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E.易知∠EDC=60在△CDE中，ED=12CD,CE=因为CD+BC+AB=l，所以BC=l−43所以S=BC+AD答案S=【变式3-3】购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成xx∈1,2,3,4的函数为【答案】y=2x，x∈【分析】根据正比例关系即可求解.【解析】根据题意可得y=2x，x∈1,2,3,4故答案为：y=2x，x∈1,2,3,4题型4待定系数法求函数解析式【例4】已知是一次函数，且，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解.【解析】由题意，设函数，因为，，所以，，则，解得，所以.故选：D.【易错提醒】/【方法总结】若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式【变式4-1】若函数fx是二次函数，满足f0=2，fA．x2+x+2 B．x2−2x+2 【答案】B【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.【解析】设fx=ax2+bx+c（a≠0由fx+2−f整理可得4ax+4a+2b=4x，则4a=44a+2b=0，解得a=1所以fx故选：B.【变式4-2】已知是一次函数且，求的解析式．【答案】【分析】由函数为一次函数可设，再结合条件列方程求，由此可得结论.【详解】因为是一次函数，可设，因为，所以，即，所以，解得，所以的解析式是．【变式4-3】（多选）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案.【解析】由题意设，因为，所以，即，所以，解得或，所以或，故选：AB题型5配凑法、换元法求解析式【例5】若，则.【答案】【分析】通过令，得，再结合条件，即可求解.【详解】令，则，所以，得到，故答案为：.【易错提醒】/【方法总结】已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围①令根据，求出关于的表达式②根据求出的取值范围③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为【变式5-1】已知函数满足，则．【答案】1【分析】利用换元法求得的解析式，进而求得.【详解】令，则，即，其中，则．故答案为：【变式5-2】已知fx+1=x+2，则函数fA．fx=x2 B．C．fx=x2−2x+3（x≥1【答案】C【分析】令x+1=t（t≥1【解析】设x+1=t（t≥1），则x=ft所以fx=x【变式5-3】已知函数满足，则的解析式为.【答案】【分析】用换元法求解．【详解】令.即，故答案为：．题型6解方程组法求函数解析式【例6】已知2f(x)−f(−x)=x2，求【答案】f【分析】用−x替换2f(x)−f(−x)=x2【解析】∵2f(x)−∴用−x替换上式中的x，得到2f(解方程组2f(x)−f(−【易错提醒】/【方法总结】在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式,这种方法叫作解方程组法或消元法.【变式6-1】若函数满足，则．【答案】【分析】根据给定条件，利用方程组的方法求出函数解析式即得.【详解】由，可得，联立两式消去，可得．故答案为：.【变式6-2】设是定义在上的函数，已知满足，则的解析式为．【答案】【分析】应用方程组法求解解析式.【详解】由①，用代替可得②，由①②可得.故答案为：.【变式6-3】若函数，满足，且，则（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】令可得，所以；令可得；令可得，所以，所以，令可得，所以，所以.故选：D.题型7分段函数求值及参数值【例7】已知函数，则（

）A．2 B．0 C．1 D．3【答案】A【分析】根据分段函数特点逐步代入即可.【详解】.故选：A.【易错提醒】/【方法总结】分段函数问题往往需要进行分类讨论，根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即分段函数问题，分段解决．1.由实际问题决定的分段函数，要写出它的解析式，就是根据实际问题需要分成几类，就分成几段，求解析式时，先分段分别求出它的解析式，在综合在一起即可．2.注意分段函数的解析式，最后要把各段综合在一起写成一个函数，分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数【变式7-1】设fx=ffx+5A．9 B．11 C．28 D．14【答案】B【分析】由9<10，结合函数解析式可得f9=ff【解析】因为fx=f所以f9又14>10，故f14=2×14−所以f9故选：B.【变式7-2】已知函数，求；【答案】.【解析】由题设，时，时，时，所以.【变式7-3】已知函数，若，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【分析】由分段函数的解析式，分类讨论求解实数的值即可.【详解】当时，由可得，解得，不满足题意，故舍去；当时，由可得，解得（不满足题意，舍去）或；所以实数的值为.故选：B题型8分段函数的值域问题【例8】函数y=x【答案】−【分析】求出各段上的函数值的范围后可得正确的选项.【解析】当x≥0时，x≥0而当x<0时，x+4x=故函数的值域为−∞故答案为：−【易错提醒】/【方法总结】分段函数的值域是各段值域的并集【变式8-1】已知，，则函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先得到，再作出其图象求解.【详解】解：由题意得：，其图象，如图所示：

由图象知：函数y的值域为，故选：A【变式8-2】函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，分别求出当时与当时的最值，即可得到分段函数的值域；法二，画出的草图，数形结合可求出值域；【详解】因为且，所以当时，，当时，；当时，，所以函数的最小值为，最大值为3，故函数的值域为.【变式8-3】已知函数fx【答案】定义域为−1,+∞【分析】作出分段函数的图象，由图象判断函数的定义域、值域．【解析】作出图象如图所示．

利用数形结合易知fx的定义域为−1,+∞题型9解分段函数不等式【例9】设函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出，然后分类讨论求解不等式的解集即可.【详解】由题意可得：，当时，，解得或，所以.当时，，解得，所以.综上所述：不等式的解集为：.故选：A【易错提醒】/【方法总结】解分段函数不等式要注意讨论变量的取值范围【变式9-1】已知函数fx=x2−x,x≥02x,x<0，若A．−∞,1 C．1,+∞ D．【答案】B【分析】分a<0和a≥0两种情况解不等式.【解析】若a<0，则fa若a≥0，则fa=a所以实数a的取值范围为−∞故选：B.【变式9-2】已知函数，若，求实数的取值范围．【答案】.【解析】由，得或或，解得或或或,所以实数的取值范围是.【变式9-3】已知函数若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据分段函数表示和，再求解不等式.【详解】由题可知，，因为，则当时，，解得，故；当时，，解得，故，综上可知，的取值范围为．故选：B一、单选题1．若函数fxx123f321x123g132则满足fx<gx的xA．1 B．3 C．1或2 D．2或3【答案】D【分析】根据表格求函数值，逐项验证进行比较.【解析】根据表格可知，f1f2f3所以满足条件的x是2或3.故选：D.2．已知函数，则（

）A．128 B．256 C．512 D．1024【答案】B【解析】由题意，.故选：B.3．已知，为常数，且，满足．若关于的方程只有一解，则的值的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．以上都不对【答案】C【解析】由；又或,因为关于的方程只有一解，当为方程的唯一解时，，或方程无解，得；当不为方程的解时，，此时，满足题意；所以或或.故选：C4．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，且，或，当且仅当即时取等.所以.故选：D.5．已知边长为1的正方形，为边的中点，动点在正方形边上沿运动，设点经过的路程为，的面积为，则关于的函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；当动点在正方形边上沿运动时，则的面积为；所以，所以A正确，BCD错误；故选：A.6．设函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】函数，则，不等式，当时，，解得，因此；当时，，即，解得或，因此或，所以不等式的解集是.故选：B二、多选题7．已知函数，则，则m的值可以是（

）A．2 B． C．3 D．【答案】CD【分析】根据分段函数解析式，分和两种情况，运算求解即可.【详解】因为，若，则，解得；若，则，解得；综上所述：或.故选：CD.8．已知是一次函数，，且，函数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论.【详解】依题意可设，由可得，因此可得，解得或；又因为，所以，即，即A正确，B错误；又可得，令，所以，因此，所以，可得C正确，D错误.故选：AC9．若函数满足关系式，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析