初高中数学暑假衔接材料：第02讲 基本不等式（原卷版）

13/13第02讲基本不等式内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1利用基本不等式比较大小题型2利用基本不等式求最值（无条件）题型3条件等式求最值题型4利用基本不等式证明不等式题型5基本不等式“1”的妙用求最值题型6基本不等式的恒成立问题题型7基本不等式的实际应用04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航基本不等式1.探索基本不等式以及它的证明过程；体会证明不等式的基本方法；2.理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件；3.会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。学习重点：基本不等式的探索过程和证明；运用基本不等式求函数的最值学习难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点基本不等式【知识点1基本不等式的证明】1.两个不等式不等式内容等号成立条件重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)当且仅当“a=b”时取“=”基本不等式(a>0,b>0)当且仅当“a=b”时取“=”叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，.2.基本不等式的常见变形(1).(2)【知识点2基本不等式的应用】1．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”．2．利用基本不等式求最值的几种常见方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.【知识点3等式的基本性质】1．等式的基本性质性质1对称性：如果a＝b，那么b＝a；性质2传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；性质5可除性：如果a＝b，c≠0，那么.【知识点4不等式的性质】1．不等式的性质(1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a.(2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c.(3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.(6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.(7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．2．不等式的两类常用性质(1)倒数性质①a>b，ab>0⇒；②a<b<0⇒；③a>b>0，0<c<d⇒；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒．(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质；②假分数的性质.题型1利用基本不等式比较大小【例1】已知实数a、b，下列四个不等式成立的是（

）A．a+1a≥2C．a+b2≤ab【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】下列结论表述正确的是（）A．若，则恒成立B．若，则恒成立C．若，，则成立D．若x＜0，则【变式1-2】若0<a<1，0<b<1，且a≠b，则a+b，2ab，2ab，a2+A．2ab B．2ab C．a2+【变式1-3】已知a、b∈R+且a≠b，下列各式中最大的是（A．a2+b22 B．a+b2题型2利用基本不等式求最值（无条件）【例2】设实数满足，函数的最小值为（）A． B． C． D．【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】当x>1时，2x+2xx−1的最小值为（A．6 B．8 C．9 D．10【变式2-2】已知，则的最大值是（

）．A． B． C．5 D．8【变式2-3】已知0<a<12，则a1−2aA．1 B．22 C．18 题型3条件等式求最值【例3】已知正实数x,y满足xy+x+2y=6，则x+2y的最小值是（

）A．22+2 B．4 C．5 【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】已知a≥0，b≥0，且ab+2a−b=6，则a+b的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．2【变式3-2】若，，，则的最小值为.【变式3-3】已知实数a>0,b>0，2a+b=8，则ab的最大值是（

）A．22 B．6 C．8 D．16题型4利用基本不等式证明不等式【例4】已知a,b,c均为正实数，求证：2b+3c−aa【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】（1）已知实数均大于0，证明：．（2）已知，证明：．【变式4-2】已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1．求证：a+1【变式4-3】（1）已知正实数，且，求证：．（2）已知正实数，且，求证：（3）已知，都是正数，且，求证：．题型5基本不等式“1”的妙用求最值【例5】已知，且，则的最小值是.【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】已知正实数x,y满足x+2y=xy，则x+y的最小值为（

）A．3+22 B．2 C．3 D．【变式5-2】已知a+2b=2，且a>0,b>0，则1a+1A．4 B．6 C．1+22 D．【变式5-3】已知，则的最小值为.题型6基本不等式的恒成立问题【例6】已知正实数x，y满足，且使得不等式恒成立，则实数的最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或【变式6-2】已知x,y都是正数，x+y=1且1x+1xy≥mA．m≤3+22 B．m≥3+22 C．m≤2+22【变式6-3】）已知x,y>0满足x+y=6.(1)求yx(2)若x2+4y题型7基本不等式的实际应用【例7】青岛二中为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季.图中B，C区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积S.

(1)用含有的代数式表示；(2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？【变式7-1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为xm，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高x应为（

A．53 B．3 C．103【变式7-2】如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区平行于墙的长度为xm，垂直于墙的长度为y

(1)若育苗区面积为8m2，求(2)若使用的篱笆总长为10m，求1【变式7-3】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量y（单位：百件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=20x−20+2，其中20<x<50.已知该商品的成本为10A．800元 B．8000元 C．900元 D．9000元一、单选题1．设正实数，满足，则的最小值为（

）A．2 B．3 C． D．2．已知正数，满足，则（）A． B． C． D．3．已知正数满足，则的最小值为（

）A． B．4 C． D．54．已知实数，且恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．已知实数满足，且，求的最小值为（

）A． B． C．6 D．86．若正实数满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．二、多选题7．下列不等式成立的是（

）A． B．若，则C．若，则 D．若，则8．已知，且，则（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是4D．的最小值是三、填空题9．若，则的最大值为．10．已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是．四、解答题11．（1）已知x>3，求x+4（2）求2x4−x12．已知x>0，y>0，x+y=4.(1)求xy的最大值；(2)求1x13．已知a>0，b>0，c>0，且a+b+c=1，证明：(1)a2(2)