初高中数学暑假衔接材料：第03讲 函数的单调性（原卷版）

13/14第03讲函数的单调性内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1函数单调性的判断与证明题型2求函数单调区间题型3利用函数的单调性求参数题型4利用函数的单调性比较大小题型5利用函数的单调性解不等式题型6求函数的最值或值域题型7根据函数的最值求参数04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数单调性、单调区间1.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性.2.理解函数单调性的作用和实际意义.3.在理解函数单调性概念的基础上，理解函数单调性的作用，掌握函数单调性的应用.4.在函数单调性的应用过程中，培养逻辑推理和数学运算素养学习重点：函数单调性的概念、利用定义证明或判断函数的单调性以及利用定义求函数的单调区间；学习难点：函数单调性的应用知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的单调性1．函数的单调性(1)单调递增、单调递减：名称定义图形表示几何意义单调递增一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.

函数f(x)在区间D上的图象从左到右是上升的.单调递减一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间DI：如果x1,x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.函数f(x)在区间D上的图象从左到右是下降的.(2)函数的单调性及单调区间：①当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数.

②如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.(3)常见函数的单调性：函数单调性一次函数y=ax+b

(a≠0)a>0时，在R上单调递增；

a<0时，在R上单调递减.

反比例函数a>0时，单调递减区间是(,0)和(0,)；

a<0时，单调递增区间是(,0)和(0,).二次函数y=a(x-m)²+n(a≠0)a>0时，单调递减区间是(,m]，单调递增区间是[m,)；

a<0时，单调递减区间是[m,)，单调递增区间是(,m].(4)单调函数的运算性质：若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.

②若a为常数，则当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性；当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性.

③若f(x)恒为正值或恒为负值，a为常数，则当a>0时，f(x)与具有相反的单调性；当a<0时，f(x)与具有相同的单调性.

④若f(x)≥0，则f(x)与具有相同的单调性.

⑤在f(x)，g(x)的公共单调区间上，有如下结论：f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)增增增不能确定单调性增减不能确定单调性增减减减不能确定单调性减增不能确定单调性减⑥当f(x)，g(x)在区间D上都是单调递增(减)的，若两者都恒大于零，则f(x)·g(x)在区间D上也是单调递增(减)的；若两者都恒小于零，则f(x)·g(x)在区间D上单调递减(增).(5)复合函数的单调性判定：对于复合函数f(g(x))，设t=g(x)在(a,b)上单调，且y=f(t)在(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上也单调.t=g(x)y=f(t)y=f(g(x))增增增增减减减增减减减增2．函数单调性的判断(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性.(2)复合函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.知识点02函数的最值1．函数的最大（小）值(1)函数的最大（小）值：名称定义几何意义函数的最大值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)x∈1，都有f(x)≤M；(2)x0∈1，使得f(x0)=M.那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.函数的最大值对应图象最高点的纵坐标.函数的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数m满足：(1)x∈1，都有f(x)≥m；(2)x0∈1，使得f(x0)=m.那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值.函数的最小值对应图象最低点的纵坐标.(2)利用函数单调性求最值的常用结论：①如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最大值f(b)，如图(1)所示；

②如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数y=f(x),x∈[a,c]在x=b处有最小值f(b)，如图(2)所示.2．求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型1函数单调性的判断与证明【例1】已知函数fx=ax+bx2(1)求a和b的值；(2)判断fx在2,+【易错提醒】/【方法总结】【变式1-1】给定fx=x2−3x+2+(1)求fx,gx(2)判断ℎx在区间3,+∞上的单调性，gx【变式1-2】设函数fx在R上为增函数，则下列结论正确的是A．y=1fxB．y=fx在C．y=−1fxD．y=−fx在R【变式1-3】已知函数，则函数（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减题型2求函数单调区间【例2】函数gx=xx+1A．−∞,12 B．−1,−12【易错提醒】/【方法总结】【变式2-1】下列函数中，在区间(-∞,0)上单调递减的是（

）A．f(x)=C．f(x)=【变式2-2】函数fx=1A．4,+∞ B．0,4 C．4,8 D．【变式2-3】设fx=x，gxA．fx+gxB．fx+gxC．fx−gxD．fx−gx题型3根据函数的单调性求参数值【例3】若函数fx=ax2+2x−1在A．−1,+∞ B．C．[0,+∞) 【易错提醒】/【方法总结】【变式3-1】（1）函数fx=−x2+2（2）已知函数fx=x+mx−1【变式3-2】若二次函数f(x)=x2−2(a−1)x+1在区间(1,3)上单调递增，则实数aA．(−∞,2] B．[2,4] C．[2,+∞【变式3-3】已知函数fx=x2+ax+5,x≤1A．−3≤a≤−2 B．−3≤a≤0 C．a≤−2 D．a<0题型4利用函数的单调性比较大小【例4】若函数fx在−∞,−1A．f−32C．f−2<f−1【易错提醒】/【方法总结】【变式4-1】设a=20222+1A．c>b>a B．a>b>c C．a>c>b D．c>a>b【变式4-2】已知定义在R上的函数fx满足f1−x=f3+x，且在−∞,2上单调递增，a=fπA．a<b<c B．c<b<a C．b<c<a D．c<a<b【变式4-3】已知f2−x=fx+2，且fx在0,2上单调递减，则f1，fA．f52<fC．f72<f题型5利用函数的单调性解不等式【例5】已知定义域为0,+∞的增函数fx满足fx+y=fx+fyA．−3,−2∪2,+∞C．−3,−2 D．−3,−2【易错提醒】/【方法总结】【变式5-1】定义在0,+∞上的函数fx满足：对∀x1,x2∈0,+∞，且A．0,2 B．2,+∞ C．0,3 D．【变式5-2】函数fx是定义在0,+∞的增函数，则满足f2x−1<f1A．13,23 B．12,【变式5-3】已知函数f(1)用定义法证明函数fx在区间1,+(2)若函数fx的定义域为1,+∞，且fm题型6求函数的最值或值域【例6】函数y=x+9x+1在区间−∞A．−6 B．−7 C．5 D．6【易错提醒】/【方法总结】【变式6-1】函数f(x)=xA．3,+∞ B．C．−∞,−5∪【变式6-2】若x>0，则fx=2−x−4A．最大值为−2 B．最小值为−2 C．最大值为6 D．最小值为6【变式6-3】已知函数fx(1)函数单调性的定义证明：函数fx在−1,+(2)求函数fx在区间1,4题型7根据函数的最值求参数【例7】若函数fx=x+ax+1在区间0,1内的最大值为3，则A．3 B．4 C．5 D．3或5【易错提醒】/【方法总结】【变式7-1】已知函数y=3x+2x−1，x∈m,n的最小值为8，则实数mA．0,1 B．1,2 C．1,2 D．1,2【变式7-2】若函数fx=xx2+a在1,+∞A．12 B．1 C．2+1 【变式7-3】已知函数fx(1)若fx+2≥0恒成立，求(2)若fx在−1,5上单调，求a(3)求fx在1,3上的最小值为−54一、单选题1．已知函数f(x)=1x+1(x∈[0,3])，则函数f(x)A．−1 B．14 C．1 2．设函数fx=x2−4kx−8在区间2,4A．1,2 B．−∞,1 C．2,+∞3．若函数y=ax与y=−bx在(0,+∞)上都单调递减，则y=axA．单调递增 B．单调递减C．先减再增 D．先增再减4．当x≥1时，下列函数的最小值不为4的有（

）A．y=x2+5C．y=4x+1x 5．已知函数fx满足f1−x=f5+x，fx在−∞,3A．−∞,2C．−43,6．已知定义在R上的函数f(x)满足f(−x)=f(x)，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(−3)，f(5A．f(52)<f(−3)<f(C．f(72)<f(−3)<f(7．已知函数fx=x2−2x,x≥0−xA．−∞,−2∪C．−∞,−1∪8．定义在0,+∞上的函数fx，满足对任意x1,x2∈0,+∞，且xA．1,2 B．0,2 C．1,+∞ D．二、多选题9．已知函数f(x)的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列不正确的是（

）A．f(f(−3))=5 B．f(x)是单调增函数C．f(x)的定义域是(−∞,0]∪[2,3] D．f(x)10．定义mina,b=a,a<bb,a≥b，设A．fxB．当x≤0，fx的最大值为C．不等式fx≤D．fx的单调递增区间为三、填空题