初高中数学暑假衔接材料：第03讲 交集、并集（解析版）

4/16第03讲交集、并集内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1交集的概念及运算题型2根据交集结果求参数题型3并集的概念及运算题型4根据并集结果求参数题型5交并补的混合运算04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航交集、并集的概念、区间的表示1.理解两个集合交集、并集的含义，会求两个简单集合的交集、并集；2.能使用韦恩图表示集合的关系及运算；3.掌握区间的表示方法；学习重点：交集、并集的运算学习难点：交集并集补集的混合运算知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01交集、并集【知识清单1交集、并集】1．交集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”)A∩B={x|x∈A,且x∈B}2．交集的性质性质说明A∩B＝B∩A满足交换律A∩A＝A任何集合与其本身的交集等于这个集合本身A∩∅＝∅任何集合与空集的交集等于空集(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B两个集合的交集是其中任一集合的子集3．并集的概念及表示自然语言符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}4．并集的性质性质说明A∪B＝B∪A满足交换律A∪A＝A任何集合与其本身的并集等于这个集合本身A∪∅＝A任何集合与空集的并集等于这个集合本身A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．5．集合关系的转化A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集.6．集合的运算性质(1)A∩A=A，A∩∅=∅，A∩B=B∩A.(2)A∪A=A，A∪∅=A，A∪B=B∪A.【知识点2区间】1．区间(1)设a,b是两个实数，而且a<b.我们规定：①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b)；③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞)，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.(2)区间的几何表示设a,b是两个实数，而且a<b.定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a,b]{x|a<x<b}开区间(a,b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a,b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a,b](3)特殊区间的几何表示定义R{x|x≥a}{x|x>a}{x|x≤a}{x|x<a}符号(-∞,+∞)[a,+∞)(a,+∞)(-∞,a](-∞,a)题型1交集的概念及运算【例1】已知集合A={x−1<x≤1}，B={xA．{x0<x≤1} C．{x0<x<1} 【答案】A【解题思路】利用交集的运算求解.【解答过程】∵A={x−1<x≤1}，B={x故选：A.【易错提醒】/【方法总结】根据交集的定义求出公共元素即可【变式1-1】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集的概念即可判断.【详解】由题得，．故选：B【变式1-2】已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用解绝对值不等式，再求交集即可.【详解】由，则，故选：C.【变式1-3】若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】依题意得，集合中的元素满足，，，，，，则的可能取值为0，1，2，3，4，8，即，所以．题型2根据交集结果求参数【例2】已知集合A={x∣−2<x<10}，集合B=y∣1−m≤y≤1+m，若A∩B=B，则实数m的取值范围为（

A．m<3 B．m≤3C．0≤m≤3 D．0<m≤3【答案】A【解题思路】利用集合关系列出不等式组求解即可.【解答过程】因为A∩B=B，所以B⊆A，当B=∅时，则1−m>1+m，解得m<0，当B≠∅时，则1−m≤1+m1−m>−21+m<10，解得：综上所述，m的取值范围为m<3.故选：A．【易错提醒】/【方法总结】利用集合关系列出不等式组求解即可【变式2-1】已知集合，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由，分析集合的端点值，知，求解即可【详解】由题意可得，且，解得．故选：B.【变式2-2】设，且，则实数的取值范围为（

）A． B．或C．或 D．【答案】D【分析】结合不等式由交集运算即可；【详解】因为，且，所以，故选：D.【变式2-3】设集合，.(1)，，求的取值范围；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据集合交集运算的性质进行求解即可；（2）根据集合交集运算的性质，结合空集的性质进行求解即可.【详解】（1）因为，所以，且，所以，解得，，综上所述，的取值范围为.（2）因为，所以当时，即，解得，满足题意；当时，要使，则或，解得.综上所述，的取值范围为或.题型3并集的概念及运算【例3】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得，再由集合的并集运算可得.【详解】，故，故选：D【易错提醒】/【方法总结】先确定集合的元素，再根据并集的概念求解即可【变式3-1】设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得，然后可求并集．【详解】由得，∴，又∵，故．故选：A.【变式3-2】设集合，，则(∁RA)∪B（

A． B． C． D．【答案】D【分析】根据补集和并集概念求出答案.【详解】，又，故.故选：D【变式3-3】）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用集合的并运算求集合即可.【详解】由.故选：A.题型4根据并集结果求参数【例4】已知集合A=2,3，B=x∣ax−1=0，若A∪B=A，则a的取值构成的集合为（A．0 B．0,12 C．12【答案】D【解题思路】先由题设得到B⊆A，接着分a=0和a≠0求出B，结合B⊆A分析求解即可.【解答过程】因为A∪B=A，所以B⊆A，当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B=1a，则1a=2或1a综上所述，a的所有取值构成的集合为0,1故选：D.【易错提醒】/【方法总结】由A∪B=A得到B⊆A接着分a=0和a≠0求出B，结合B⊆A分析求解即可【变式4-1】已知集合，，且，则实数的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由可得，进而结合包含关系求解即可.【详解】由，，因为，所以，则，即实数的取值集合是.故选：B.【变式4-2】已知集合，，若，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合的并集运算即可求解.【详解】，，，∴结合数轴可知：.故选：A.【变式4-3】已知集合，且.(1)求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)2(2)【分析】（1）利用给定交集的结果，列式计算并验证得解.（2）由（1）求出集合D，再利用并集的结果，结合集合的包含关系求解.【详解】（1）由，得，解得或，当时，，不符合题意；当时，符合题意，所以.（2）由（1）得，，由，得，①若，此时，即，符合题意；②若，由，则，解得：，所以实数的取值范围是.题型5交并补的混合运算【例5】已知全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3},B={2,4}，则(∁UA)∩B=A．{0,2,4} B．{4} C．{1,3} D．{0,1,3}【答案】B【解题思路】根据集合的交集与补运算即可.【解答过程】全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3},B={2,4}，则∁UA=0,4，所以(故选：B.【易错提醒】/【方法总结】根据集合的交集与补集运算即可【变式5-1】已知全集U=x∈N+∣−2<x<9,M=A．M∪∁UP B．P∩∁UM【答案】D【解题思路】由集合的运算逐项判断可得.【解答过程】U=对于A，M∪∁对于B，P∩∁对于C，∁U对于D，∁U故选：D.【变式5-2】已知集合，集合，，则（

）A． B．(∁UA)∪B C．A∪(∁U【答案】C【分析】由集合关系结合并集补集的运算即可判断，【详解】对于集合，当时，当时，所以,又,A∪(∁U所以A∪(∁故选：C【变式5-3】（多选）下图中阴影部分用集合符号可以表示为（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】结合韦恩图，利用交并补的定义表述即得.【详解】由图形可知，阴影部分用集合符号可以表示为或者.故选：AD.【变式5-4】设集合，．(1)当时，求和；(2)若∁RA∩B=B，求实数【答案】(1)，(2)【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可；（2）由∁RA∩B=B可得，分和两种情况讨论即可.【详解】（1）当时，，所以，（2）由题意，得或，因为∁RA∩B=B，所以①当时，，满足；②当时，，所以，所以，解得综上所述，实数的取值范围是.一、单选题1．已知集合则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由交集运算即可求解.【详解】由，，故选：B2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】应用集合的并运算求集合即可.【详解】由.故选：A.3．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出各个集合，再利用交集和补集的性质求解即可.【详解】令，解得，则，故，因为，所以，故A正确.故选：A4．已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用交集的定义即可求得结果.【详解】因为集合，集合，且，所以，故选：B5．已知集合，，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可得，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围.【详解】因为集合，，且，则，所以，.故选：D.二、多选题6．下列集合表示图中阴影部分的为（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论.【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确；还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确；也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确.故选：ABD7．设，，若，则实数a的值可以是（

）A．0 B． C． D．3【答案】ABC【分析】解方程，写出集合A的所有元素，根据集合A和集合B的关系，分析集合B中的元素的可能情况，解出相应的.【详解】∵，又∵，∴所以当时，此时；当时，此时；当时，此时；时，此时不存在；综上可得：实数a的值可以是，故选：ABC.8．已知全集，，，，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．的不同真子集个数为8【答案】BC【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，又，说明，综上，画出维恩图如下：对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，的不同真子集个数为7，故D错误，故选：BC.9．已知U为全集，集合M，N是U的子集，若，则下列判断错误的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】根据题意画出图，如图所示，由图可知．10．某高中为了迎接国庆的到来，在国庆前一周举办了“迎国庆，向未来”的趣味运动会，其中共有12名同学参加拔河、4人足球、羽毛球三个项目，其中有8人参加“拔河”，有7人参加“4人足球”，有5人参加“羽毛球”，“拔河和4人足球”都参加的有4人，“拔河和羽毛球”都参加的有3人，“4人足球和羽毛球”都参加的有3人，则（

）A．三项都参加的有1人 B．只参加拔河的有3人C．只参加4人足球的有2人 D．只参加羽毛球的有4人【答案】BC【详解】根据题意，设是参加拔河的同学，是参加4人足球的同学，是参加羽毛球的同学，则，，，又，，所以，所以三项比赛都参加的有2人，只参加拔河的有3人，只参加4人足球的有2人，只参加羽毛球的有1人．故选：BC三、填空题11．已知全集，集合，，则，（．【答案】或或．【详解】或

利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图：则或．又，所以或，或．12．已知集合和，满足，，则实数．【答案】【详解】由题知，但；，但．将和分别代入集合，中，得即解得13．若或，则实数的取值范围为．【答