高等数学课件 7.1 行列式

第7章线性代数初步行列式第1讲主讲教师|01行列式的基本概念02行列式的性质03行列式的计算与克拉默法则04习题2本节内容

行列式是线性代数的基础工具，源于求解线性方程组的实践需求.从解方程组到解析几何，从工程计算到量子力学，行列式都扮演着关键角色.理解其概念，是构建线性代数理论体系的第一步.301行列式的基本概念用消元法解二元一次方程组

（7.1），

可得当时，原方程组的解为

，

.（7.2）

可以看出，式（7.2）分子和分母均是两个数的乘积减去另两个数的乘积.为简化式（7.2）的形式，我们引入二阶行列式的概念.401行列式的基本概念

从左上角到右下角这条对角线称为主对角线，从右上角到左下角这条对角线称为副对角线.为行标，在行列式中，称为第行、第列的元素,其中

为列标.显然，二阶行列式的值为主对角线元素之积减去副对角线元素之积，我们称之为对角线法则.由4个元素排成2行2列的式子称为二阶行列式，它表示

,即

📝定义7.15利用二阶行列式的定义，式（7.2）的分子可记为分母可记为，则（7.2）式可用行列式表示为.

和

，

01行列式的基本概念601行列式的基本概念

三阶行列式的展开式为6项的代数和,其规律遵循图7.1所示的对角线法则，每一项均为位于不同行不同列的3个元素之积，实线相连的3个元素之积带“＋”号，虚线相连的3个元素之积带“－”号.

对角线法则只适用于二阶行列式与三阶行列式.

由9个元素

()排成3行3列的式子

称为三阶行列式，

，即它表示📝定义7.2701行列式的基本概念图7.1801行列式的基本概念

称为

阶行列式.它表示

个元素按一定规则构成的乘积之和.为了计算

阶行列式的值，引入以下定义.列的式子

由个元素()排成行

📝定义7.3901行列式的基本概念例如，三阶行列式

中元素

的余子式

代数余子式

.

定义7.4

行列式

中划去所在的第

行和第

列后，余下的元素按照原来的顺序构成的

阶行列式，称为

的余子式，记为

.又称

称为元素

的代数余子式.

📝定义7.310

分析三阶行列式与它的元素及代数余子式的关系，如果从第一行元素出发，不难得出

01行列式的基本概念11

上述结果表明，三阶行列式的值恰好等于它的第1行各元素与其对应的代数余子式的乘积的和.同样，我们也可得到三阶行列式的值恰好等于它的第2（或3）行各元素与其对应的代数余子式的乘积的和.

将这一结论推广到一般情况，可得到下述定理.01行列式的基本概念1201行列式的基本概念

，

此外，行列式某一行（列）各元素与不同行（列）对应元素的代数余子式的乘积的和有如下推论.定理7.1

阶行列式

的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即📖定理7.11301行列式的基本概念

；例如，三阶行列式的第1行元素与第2行元素的代数余子式的乘积的和为

推论7.1阶行列式

某一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积的和等于零，即📝推论7.11401行列式的基本概念

例

1

计算三阶行列式

📚例1解

按行展开计算得解1501行列式的基本概念解

解例

2

计算行列式

📚例21601行列式的基本概念解

解例

3

计算下三角形行列式

📚例317

同理可得上三角形行列式

01行列式的基本概念18特别地，阶对角行列式

01行列式的基本概念19本节内容01行列式的基本不概念02行列式的性质03行列式的计算与克拉默法则04习题2002行列式的性质

定义7.5

将行列式

的行与列互换得到的行列式称为

的转置行列式，记为

若

，则

📝定义7.52102行列式的性质

这个性质表明，在

阶行列式中，行与列的地位是等同的，凡是对行成立的性质对列也成立.性质7.1

行列式与它的转置行列式相等，即

📝性质7.1性质7.2

对换行列式的两行（或列），行列式变号.📝性质7.2推论7.2

如果行列式有两行（或列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.📝推论7.2推论7.3

如果行列式某一行（或列）的元素全为零，则此行列式的值为零.📝推论7.32202行列式的性质例如，

性质7.3

行列式的某一行（或列）中所有的元素都乘以同一数，等于用

乘以此行列式.📝性质7.3推论7.4

行列式的某一行（或列）中的所有元素的公因子可以提到行列式的外面.📝推论7.4推论7.5

行列式中某两行（或列）的对应元素成比例，则此行列式的值为零.📝推论7.52302行列式的性质

性质7.4

若行列式的某一行（或列）的元素都是两数之和，那么该行列式可以拆分成两个行列式之和.即📝性质7.42402行列式的性质例如，

性质7.5

把行列式的某一行（或列）的各元素乘以同一数后加到另一行（或列）对应元素上去，行列式的值不变.📝性质7.5表示将第

表示行，表示列

表示第

行元素都乘以

，

行元素的倍加到第

行；

表示交换第

和

两列.

📢注2502行列式的性质

以上性质给出了行列式关于行和关于列的3种运算，即

和

，利用这些运算可以简化行列式的计算，特别是利用

运算（或

）可以把行列式中许多元素化为0.

一种常用的计算行列式的方法就是利用运算

把行列式化为上三角形行列式，从而计算行列式的值.

2602行列式的性质

解例

4

计算行列式

📚例427本节内容01行列式的基本不概念02行列式的性质03行列式的计算与克拉默法则04习题2803行列式的计算与克拉默法则计算行列式的方法很灵活、综合性较强、难度较大，通常是利用行列式的性质，将其化为上（或下）三角行列式后求值；或将某行（或列）的多数元素化为0，再按这行（或列）展开从而降阶，直至化为二阶或三阶行列式后求值.1.行列式的计算29

03行列式的计算与克拉默法则

利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式计算

解例5计算行列式

📚例530

所以

或03行列式的计算与克拉默法则

因为

解例6

解方程

📚例631

（7.3）03行列式的计算与克拉默法则定理7.2

（克拉默法则）对于含有

个未知量

的个方程的线性方程组📖定理7.22.克拉默法则32系数行列式记为

，

中的第

列换成常数列

式（7.3）存在唯一解，并且其解为

证明略，注意定理7.2中

并不表示

阶行列式.而其他列不变所构成的行列式记为

，则当系数行列式

时，03行列式的计算与克拉默法则33如果

，式（7.3）为

（7.4）我们称式（7.4）为齐次线性方程组，显然，由定理7.2知，如果，式（7.4）只有零解，于是有如下推论.03行列式的计算与克拉默法则推论7.6

齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式

📝推论7.634

03行列式的计算与克拉默法则所以方程组的解为

解

因为系数行列式

,故由克拉默法则知，此方程组有唯一解.解例7

解非齐次线性方程组

📚例735本节内容01行列式的基本不概念02行列式的性质03行列式的计算与克拉默法则04习题3604习题1.3阶行列式

第2行元素的代数余子式之和

2.写