人教版九年级上册数学期末测试卷（含解析答案）

人教版九年级上册数学期末测试卷

数学试题

(本试卷三个大题，25个小题。满分120分，考试时间120分钟。)

姓名班级学号成绩

一、单选题(每题3分，共计30分。)

1.已知反比例函数片-的图象经过点(2,3),那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是()

x

A.(-6,1)B.(1,6)C.(2,-3)D.(3,-2)

2.从全市5000份数学试卷中随机抽取400份试卷，其中360份成绩合格，那么可以估计全市数学成绩合格

的学生大约有多少人？()

A.4500B.4000C.3600D.4800

3.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，4ABe的三个顶点均在格点上，贝hanA=()

fL■!F-TT-：

4.一元二次方程/一8%+1=0配方后可变形为()

A.(%—=15B.(X+4)2=15C.(JV-4)2=17D.(x+4『二】7

5.关于二次函数y二(x—1『+5,下列说法正确的是()

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是(-1,5)

C.该函数有最大值，最大值是5D.当x>l时，y随x的增大而增大

6.已知关于X的一元二次方程以2+2x7=0有两个不相等的实数根，则勿的取值范围是()

A.m<-\B.m>-]C.〃？>一1且团D.tn<1且znL0

7.△ABC与△DEF是相似三角形，且AABC与ADEF的相似比是1：2,已知AABC的面积是3,则的面积

是（）

A.3B.6C.9D.12

8.如图是某拦水坝的横断面，堤坝高8c为6米，斜面坡度为1:2,则斜坡AB的长为（）

C126米D.24米

9.如图.利用标杆旗测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB—\.6m.BC=\2.4/72.则建筑物⑦

的高是（）

D

□

□

□

ABC

A.9.3z«B.10.5mC.12.4〃/D.14m

10.如图，平行于才轴的直线与函数），=&化＞0,工＞0）,丁二勾（幺＞o,x＞0）的图象分别相交于儿B

xx~

若53C的面积为4,则匕一火2的值为（）

C.4D.-4

二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）

x2x+y

11.若一=点，则

y7y

12.已知关于x的方程/+如一20=0的一个根是Y，则它的另一个根是______.

13.跳高训练时，甲、乙两名同学在相同条件下各跳了10次，统计他们的平均成绩都是1.36米，且方差为

/甲二（）.4,/乙=（）.3,则成绩较为稳定的是________（填“甲”或“乙”）.

14.在.ABC中，若cosA-^+O-taW?）;。，则的度数是

15.如图，在AABC中，点E,F分别在AB,AC上，若△AEFs/UBC,则需要增加的一个条件是（写出

一个即可）

16.已知二次函数y=ax1+bx+c的图象如图，其对称轴x=-l,给出下列结果：①尸>4ac;②。bc>0；

③2。+匕=0；®a-b+c<0-,其中正确结论的序号是__________.

三、解答题（本题共计9小题：17T9题6分；20-23题8分；24题10分；25题12分；共计72分）

17.计算：无一2tan45。+1-31+（九一2023）°.

18.如图，三个顶点坐标分别为

（2）请补全条形统计图.

（3）若全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等

级）的学生人数.

21.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎

接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销但量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童

装降价1元，那么平均可多售出2件.

（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表

示）

（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.

（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.

22.如图，在矩形4BCO中，E是的中点，DFLAE,垂足为尸.

（1）求证：/\ABE^ADFA；

（2）若48=6,3C=4,求。尸的长.

23.某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛。在它的北偏东60。方向，

2小时后到达6处，测得小岛C在它的北偏西45。方向，求该船在航行过程中与小岛。的最近距离（参考数

据:应b1.41，6=1.73.结果精确到0.1km）.

C

60°45°

AB

24.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对

于三个实数a,b,c,用"{。也耳表示这三个数的平均数，用min{a,〃,c}表示这三个数中最小的数，例如：

M{l,2,9)=-^|±2=4,min{l,2,-3)=-3.

请结合上述材料•，解决下列问题：

(1)M[2\y/9-32]=________；

⑵若町一2乂/,3}=2,求x的值；

<3)若”>0,且点"(取{一2,。-1,2幻,0^{-2,。-1,24)在反比例函数)，=心的图象上，求a的值.

X

25.如图，已经抛物线经过点0(0,0),4(5,5),且它的对称轴为x=2.

(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点3在第一象限，当xZMB的面积为15时，求8的坐标：

(3)在(2)条件下.P是抛物线上的动点,当PA—尸2的值最大时,求P的坐标以及的最大值

解析答案

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

£

1.已知反比例函数片x的图象经过点(2,3),那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是()

A.(-6,1)B.(1,6)C.(2,-3)D.(3,-2)

【答案】B

【解析】

【分析】先根据点(2,3),在反比例函数)，=A的图象上求出攵的值，再根据々=9的特点对各选项进行逐一

x

判断.

【详解】解：.反比例函数)，二七的图象经过点(2,3),

x

k=2x3=6

A、•••(-6)xl=-6w6,此点不在反比例函数图象上，不符合题意；

B、1x6=6,此点在反比例函数图象上，符合题意；

C、,••2x(-3)=-6工6,此点不在反比例函数图象上，不符合题意；

D、•••3x(-2)=-6w6,此点不在反比例函数图象上，不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考杳的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中A=W的特点是解答此题的关键.

2.从全市5000份数学试卷中随机抽取400份试卷，其中360份成绩合格，那么可以估计全市数学成绩合格

的学生大约有多少人？()

A.4500B.4000C.3600D.4800

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可知：抽取400份试卷中合格率为黑X100妒90%,则估计全市5000份试卷成绩合格的人数

400

约为5000X90%=4500份.

360

【详解】5000X--=4500(人).

400

故选A.

【点睛】木题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数据对整体进行估算是统计学中

最常用的估算方法.

3.如图，在边长为1小正方形组成的网格中，一ABC的三个顶点均在格点上，则tanA=()

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了解直角三角形.由三角函数定义即可得出答案.

详解】解：由图可得：A5=3,8C=4,

BC4

tanA=----

AB3

故选：D.

4.一元二次方程_?一81+1=0配方后可变形为()

A.(X-4)2=15B.(X+4)2=15C.(X-4)2=17D.(X+4)2=17

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤进行即可.

2

【详解】解：f_8x+i=o变形；x-8x=-b

配方得:X2-8.V+16=I5,

即（1_4）2=15；

故选：A.

5.关于二次函数y二（x—l『+5,下列说法正确的是（）

A.函数图象的开口向下B.函数图象的顶点坐标是（T5）

C.该函数有最大值，最大值是5D.当x>l时，y随*的增大而增大

【答案】D

【解析】

【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可.

【详解】解：对于尸（A-1）2+5,

•・・kl>0,故抛物线开口向上，故A错误；

顶点坐标为（1,5）,故B错误；

该函数有最小值，最小值是5,故C错误；

当工>1时，y随A■的增大而增大，故D正确，

故选：【）.

【点睛】本题考查的是抛物线与x地的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐

标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

6.已知关于x的一元二次方程1=（）有两个不相等的实数根，则勿的取值范围是（）

A.m<—\B.m>-\C.根〉一1且〃D.加<1且加。0

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式.掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：①

△>00方程有两个不相等的实数根；②△=（）<=>方程有两个相等的实数根；③AvOo方程没有实数根.

根据一元二次方程的定义和根的判别式，建立关于m的不等式组，求出m的取值范围.

【详解】解：•.•关于x的一元二次方程尔2+2%_1=（）有两个不相等的实数根，

.卜件0

**[A=4+4/n>0

解得：且〃2。0.

故选：C.

7.aABC与是相似三角形，且△ABC与△口£尸的相似比是1：2,已知AABC的面积是3,则ADEF的面积

是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】I）

【解析】

【分析】利用相似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案.

【详解】VAABC-ADEF,相似比为1：2,

.1△ABC的面积与4DEF的面积比为：1：4,

一△ABC的面积是3,

♦△DEF的面积为12,

故选【）.

【点睛】考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.

8.如图是某拦水坝的横断面，堤坝高3c为6米，斜面坡度为1:2,则斜坡的长为（）

A.4G米B.6石米C.12芯米I）.24米

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，先根据坡度比求出AC=24C=12,再利用

勾股定理求解即可.

【详解】解；由题意得，Z4CB=9O°,

•・•斜面坡度为1:2,

BC1

••=，

AC2

・•・4C=23C=12米，

,AB=VAC2+BC2=怖米，

故选B.

9.如图.利用标杆应'测量建筑物的高度.已知标杆应'高1.2勿，测得49=1.6m.BC=\2.Am.则建筑物⑦

的高是（）

D

A.9.3加B.1().5mC.12.4mI).14m

【答案】B

【解析】

【分析】先证明△力应's△力必，则利用相似三角形的性质得———=—,然后利用比例性质求出⑦即

1.6+12.4CD

可.

【详解】熙：•：EB//CD,

:AABESAACD,

ABBE1.61.2

即

CD1.6+12.4-CD

A67>10.5（米）.

故选B.

【点睛】考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度.利用杆或直尺测量物体的高度就是利用

杆或直尺的高(长)作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等

的性质求物体的高度.

10.如图，平行于x轴的直线与函数)，="化>0,x>0),y=4(k>0,x>0)的图象分别相交于4B

xx~

两点，点力在点力的右侧，。为X轴上的一个动点，若/BC的面积为4,则K-网的值为()

【答案】A

【解析】

【分析】设A（aM）,B也好,根据反比例函数图象上点的坐标特征得出列力=4,"=&•根据三角形的面

AB

积公式得到S^ABC=-yA=_（。_〃）/?=一（"-〃〃）=-区）=4,即可求出仁一包=8.

【详解】•・・48〃x轴,

.•.A,〃两点纵坐标相同,

设4（々,〃），B（b,h）,则cM=勺，bh=k2,

**S^ABC=5四•））=3（。-3/?=；（功-"）=；（勺_&2）=4,

K_22=8,

故选A.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的出标特征，三角形的面积,熟知点在函数的图象上,则点的坐标满

足函数的解析式是解题的关键.

二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）

x2x+y

11.若一二三，则-----=_________________________•

y7y

9

【答案】-

【解析】

【分析】由一X二三2，根据比例的性质，即可求得X4一-V1的值.

y7），

x2

【详解】解：•・•一=二

y7

x^y2+79

:.-------=------=—.

y77

9

故答案为：一.

7

【点睛】本题考查了比例的性质，此题比较简单，注意熟记比例变形.

12.已知关于x的方程f+尔一20=0的一个根是T，则它论另一个根是—

【答案】5

【解析】

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得%以2=£=-20,根据该方程一个根为T，即可求出另一

a

个根.

【详解】解：根据题意可得：a=l,b=myc=-20,

x1-x2=—=-20,

一a

;该方程一个根为-41令％=-4,

J-4X2=-20,解得：x2=5.

故答案为：5.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程

加+区+。=0（4工0）有两根为I],须，则内%1+x=--.

a2-a

13.跳高训练时，甲、乙两名同学在相同条件下各跳了10次，统计他们的平均成绩都是1.36米，且方差为

S?甲=0.4,一乙二03,则成绩较为稳定的是（填“甲”或“乙”）.

【答案】乙

【解析】

【分析】根据方差越大，波动越大，成绩越不稳定，方差越小，波动越小，成绩越稳定即可求解.

【详解】解：因为产甲=0.4,57=0.3,

所以『甲乙，

所以乙成绩较为稳定.

故答案为：乙.

【点睛】本题主要考查方差的意义，解题的关键是要熟练掌握方差的意义.

14.在3c中，若cosA--1+（"tanB『=（），则/。的度数是

【答案】105。##105度

【解析】

【分析】根据非负性，求出cos4,tan8,进而求出NANB,根据三角形内角和，求出NC即可.

【详解】解:cosA--+(1-tanB)~=0,cosA-->0,(1-tanB)2>0,

cosA-----=0,1-tanB=0»

2

邪

•••cosA=,tanB=1»

2

AZA=30°,Z^=45°,

・•・ZC=180°-ZA-ZB=105°;

故答案为：105°.

【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，绝对值的非负性以及三角形的内角和.熟记特殊角的三角函数值，是

解题的关键.

15.如图，在aABC中，点E,F分别在AB,AC上，若△AEFs/\ABC,则需要增加的一个条件是（写出

一个即可）

【答案】EF/7BC

【解析】

【分析】利川平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件.

【详解】当EF〃BC时，/XAEFS/XABC.

故答案为EF〃BC.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三

角形相似.

16.已知二次函数y=以+c的图象如图，其对称轴尸一1,给出下列结果：①后＞4ac;②次（＞0;

③2〃+Z?=0；④a—b+cvO；其中正确结论的序号是___________.

【答案】①④㈱④①

【解析】

【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与

y轴的交点判断。与0的关系，然后根据对称轴产一1计算加+8与0的关系；再由根的判别式与根的关系,

进而对所得结论进行判断.

【详解】解：•・•图象和x轴有两个交点，

**•我-4ac>0，

b1>4ac»

•••①正确；

•.•从图象可知：。>0,。<0,—―=-1»/?=2«>0,

2a

abc<0»

・••②错误；

V/?=2i?>0,

2。+力=4。>0,

・••③错误；

•・*一1时，y<0,

**•a—b+(?<0>

，④正确；

故答案为：①④.

三、解答题(本题共计9小题：17-19题6分；20-23题8分；24题10分；25题12分；共计72分)

17.计算：V16-2tan450+1-314-(^-2023)0.

【答案】6

【解析】

【分析】此题考瓷的是算术平方根、绝对值、零指数累、特殊用三角函数值，掌握其运算法则是解决此题的关

键.

【详解】解：V16-2tan450+1-31-2023）°

=4-2xl+3+l

=6

18.如图，三个顶点坐标分别为A（T,3）,B（—l』）,C（—3,2）.

（1）请画出,工/C关于y轴对称的△ABCi；

（2）以原点o为位似中心，将△44G放大为原来的2倍.

【答案】（1）见详解（2）见惮解

【解析】

【分析】本题主要考杳了网格作图.解决问题的关键是熟练掌握关于y轴对称的点坐标特征，以原点为位似中

心的位似图形的性质及坐标特征.

（1）根据A（-1,3）,^（-1,1）,。（一3,2）,得到关于旷轴的对称点为人（1,3）,G（3,2）,描出4,

用，C，并顺次连接，即得△A4G；

（2）根据原点。为位似中心，将△A4G放大为原来的2倍，得到4（26）,鸟（2,2）,G（6,4）或者

A（-2,-6）,R（-2,-2）,G（W），描出并顺次连接4，与，C2,即得AA/2c

【小问1详解】

•・・A（-1,3）,。（一3,2）关于y轴的对称点为A（1,3）,4（1,1）,C"3,2）,

・•・在平面直角坐标系中描出4，4，c）,顺次连接A1,Bi，G，即得44片G，如图

•・•以原点o为位似中心，将44与G放大为原来的2倍，A(1，3)，4(11)，G(3,2),

・・・4(2,6),ft(2,2),G(6,4),或者4(—2,-6),ft(-2,-2),C2(-6,^l),

19.如图所示，一次函数)、=一X+加与反比例函数%=&相交于点力和点8(3,-1).

（1）求加的值和反比例函数解析式；

（2）当））>必时，求才的取值范围.

【答案】（1）772=2,），=一一

X

（2）工<一1或0<x<3

【解析】

【分析】（1）根据一次函数y=一工+根的图象与反比例函数为=4的图象交于4（3,-1）、“两点可得加的

值，进而可求反比例函数的表达式：

（2）观察函数图象，写出一次函教图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可.

【小问1详解】

将点3（3,-1）代入x=一工+机得：-3+〃?二一1

解得：m=2

L

将5（3,-1）代入％=一得:无=3x（-1）=-3

3

【小问2详解】

-3

由｝?|=得：—x+2=—»解得芭=—1,%）=3

x

所以4B的坐标分别为1,3）,8（3,—1）

由图形可得：当冗<一1或0cx<3时，

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质.

20.某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名学生进行科学知识

测试，按照测试成绩分优秀、良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如下两幅不完整统计图.

科学知识测试成绩条形统计图科学知识测试成绩扇形统计图

（1）参与本次测试的学生人数为m=

（2）请补全条形统计图.

（3）若全区该年纪共有5000名学生.请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等

级）的学生人数.

【答案】（1）150人，30

（2）补全图形见解析（3）35D0人.

【解析】

【分析】（1）由良好60人除以其占比40%可得总人数，由优秀的45人除以总人数可得勿的值;

（2）先利用总人数减去优秀，良好，不合格，得到合格的人数，再补全统计图即可；

（3）由5000乘以测试成绩能达到良好及以上等级的学生人数的占比可得答案.

【小问1详解】

解：60-40%=150（人），

••・参与本次测试的学生人数为150人，

45

—xl00%=30%,

150

:.m-30；

故答案为：150人；30；

【小问2详解】

7150-45-60-5=40（人）,

补全图形如下：

科学知识测试成绩条形统计图

【小问3详解】

5000x^^=3500（人）；

150

••・全区该年纪共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）

学生人数有3500人.

【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，能够正确的读图是解本题的关键.

21.某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎

接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童

装降价1元，那么平均可多伐出2件.

（1）设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；（用x的代数式表

示）

（2）每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元.

（3）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.

【答案】（1）（2O+2x）,（40-r）

（2）每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元

（3）不可能平均每天赢利2000元，理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据销售量=原销售量+因价格下降增加的销售量，每件的利润=实际售价一进价，列式即可;

（2）根据总利润=每件的利润X销售数量，列方程求解即可；

（3）根据总利润=每件的利润X销售数量，列方程求解即可.

【小问1详解】

解：设每件童装降价X元时，每天可销售(20+2x)件，每件盈利(40-X)元,

故答案为：(20+2x),(40-x)；

【小问2详解】

依题可得：(20+2x)(40—x)=1200,

・」—30工+200=0，

A(A-I0)(X-20)=0,

x,=10,x2=20,

扩大销售量，增加利润，

/.x=20,

答：每件童装降价2()元时，平均每天赢利120()元;

【小问3详解】

根据题意得：(20+2.r)(40-x)=2(X)(),

工V一30工+600=0，

:.△=b2-4ac=(-30)2-4xix600=-1500<0,

，原方程无解.

答：不可能平均每天赢利2000元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，理解题意找出题目蕴含的等量关系是解本题的关键.

22.如图，在矩形ABCO中，£是8。的中点，DF±AE,垂足为反

(1)求证：/\ABE^/\DFA：

(2)若4B=6,BC=4,求。尸的长.

【答案】(1)证明见解析

⑵也

5

【解析】

【分析】(1)利用矩形的性质得到NABC=NE4O=90。，再利用三角形内角和定理和垂线的定义证明

ZBAE=/FDA，即可证明

(2)先利用矩形的性质得到AD=8C=4,再由线段中点的定义得到则可利用勾股定理求

2

_ARAF

出AE=2j记，再由相似三角形的性质得到——=——，据此代值计算即可.

DFAD

【小问1详解】

证明：•・•四边形A8CO是矩形，

・•・ZABC=ZBAD=90°,

•:DF±AE,

：.ZAFD=90°=ZEBA,

・•・ZBAE+/FAD=90°=NFAD+ZFDA,

:・ZBAE=/FDA，

,AA3£s△。小

【小问2详解】

解；•・•四边形四边形A8CD是矩形，3c=4,

・•・AD=BC=4,

•・•£是8c的中点，

・•・BE=-BC=2,

2

*.*AB=6>

:'AE=yjAB2^BE2=2V10，

AABE^ADEA，

.AE叩62M

..---=----,即----=------,

DFADDF4

・八万6M

••D卜=------

5

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，证明

△ABEs△DFA是解题的关键.

23.某次军事演习中，-一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60。方向，

2小时后到达3处，测得小岛C在它的北偏西45。方向，求该船在航行过程中与小岛。的最近距离（参考数

据：0=1.41，V3«1.73.结果精确到0.1km）.

【答案】该船在航行过程中与小岛。的最近距离29.3km.

【解析】

【分析】过点。作C"_LA5.垂足为H.先在Rt_4c”中.利用三角函数求出C”与AH的关系，然后在

RtaCHB中,利用锐角三角函数的定义求出8”与。”的关系，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解

答；

【详解】解：过点。作C”_L48,垂足为，，

解：・・・CHJ_A3,ADIABfBE上AB,NCW=60。，/C3E=45。，

:・NAHC=NBHC=90。,/04月=90。-60。=30。，NC8”=90。-45。=45。,

在Rt乙AC“中，tan/C4"=tan3()o="，即立=”，

AH3AH

・•・AH=«CH，

「H「H

在RteCHB中，tan/C5”=tan450=—,即1=——，

BHAH

・•・BH=CH,

:.他=/V/+B"=(6+1)C”=40X2,

・・.CH=40c-40^40x1.73-40=29.3(km),

・•・该船在航行过程中与小岛C的最近距离29.3km.

【点睛】本题主要考查了与方位角有关的解直角三角形，作出相应辅助线构造直角三角形是解题的关键.

24.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：对

于三个实数a,b,c,用表示这三个数的平均数，用min{©/“}表示这三个数中最小的数，例如：

M{l,2,9}=l+2+9=4,min{l,2「3}=—3.

3

请结合上述材料，解决下列问题：

(1)蚱2,凤32}=;

(2)若时{-2苍亡3}=2,求X的值;

(3)若。＞0,且点。(“{-2,4-1,24},1疝］{-2,4-1,2。})在反比例函数y=二的图象匕求a的值.

x

【答案】(1)

3

(2)为=-I,%=3,

(3)a=2

【解析】

【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，反比例函数的性质等等，正确理解新定义是解题的关键.

(1)根据新定义列式计算即可；

(2)根据新定义可得方程-2"十了+3=2,解方程即可得到答案;

3

(3)先证明2。＞。一1＞一2,进而得到M{-2,。-1,2〃}=。-1,min{-2,a-1,2a}=2,则点尸(a-1,-2),

再把点P坐标代入反比例函数解析式中进行求解即可.

【小问1详解】

解，“依后一叶一一4+卜到一卡―

JjjJ

故答案为：一^;

3

【小问2详解】

解：・.・M{-2x,d,3}=2,

—lx+x"+3.

/.---------------=2,

3

解得：x,=-1,X2=3：

【小问3详解】

解：«>0,

♦:24>a—1>—2，

.\M{-2,a-l,2a]-~2+a~i+2a-a-\,min{-2,a-l,20=2,

.,•点P(々-1,-2).

.：点尸在反比例函数)，二二的图象上，

x

.—2(a—1)=—2,

:.a=2.

25.如图，己经抛物线经过点50,0),45,5),且它的对称轴为人=2.

(2)若点K是抛物线对称轴上的一点，且点??在第一象限，当的面积为15时，求笈的坐标；

(3)在(2)条件下，P是抛物线上的动点，当Q4-总的值最大时，求P的坐标以及~4-总的最大值

【答案】(1)y=x2-4x.

(2)8(2,8)

(3)P(-2,12),的最大值为3垃.

【解析】

【分析】（1）根据题意可设抛物线为），=O?+〃乂再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可：

⑵设8（2,））,且），＞0,记见与对称轴的交点为0,设直线。4为：y=kx.解得：k=l,可得直线OA

为：）'=乂则Q（2,2）,利用工心尸&加0+5580=；仓/。（九人-%）列方程，再解方程即可；

（3）如图，连接/⑸延长力?交抛物线于R则此时尸八-PB=AB最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定

系数法求解/位的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得〃的坐标.

【小问1详解】

解：抛物线经过点50,0）,

••・设抛物线为：y=ax2+bx,

抛物线过A（5,5）,且它的对称轴为x=2.

25a+5b=5

a=1

b，解得：,

——=2b=-4"

2a

・•・抛物线为：y=x2-4x.

【小问2详解】

解：如图，点B是抛物线对称轴上的一点，且点8在第一象限,

设3（2,））,且），＞0,记的与对称轴的交点为0,

设直线为：），=6,

\5=5k,解得：％=1,

「•直线。4为：y=x

\Q(20,

+

\SVAfiQ(4-%)

1

=力-2|?515,

解得：丁=8或5=-4,

VJ>o,则y=8,

\B(2,8).

【小问3详解】

如图，连接力员延长/仍交抛物线于R则此时"-"4最大,

Q4(5,5),8(2,8),

\AB=J(5・21+(5-8『=30

设力3为：y=k'x-^b\代入力、幻两点坐标,

5k'+b'=5

一,2K+/?'=8'

>>=-1

解得：〈

3=10'

，/区为：）?=-x+10,

y=-x+10

y=x2

解得:

y=5']j=12'

P(-2,12).

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，圣标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾

股定理的应用，确定24-必最大时产的位置是解本题的关键.

人教版2023—2024学年度第一学期期末质量监测

九年级数学试题

(时间120分钟满分120分)

姓名班级学号成绩

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分,每小题只有一项是符合题目要求)

I.抛物线y=-(x+iy+2的对称轴是()

A.直线x=lB.直线x=2C.直线x=—1D.直线x=—2

2.用配方法解方程/一4犬一4=0时，原方程应变形为()

A.(X-2)2=OB.(X-2)2=8C.(X+2)2=0D.(X+2)2=8

3.在平面直角坐标系中，将点P(3,-4)绕原点旋转180°后，得到对应点Q的坐标是()

A.(-3,4)B.(—3,—4)C.4,3)D.(4,—3)

4.如图，以点O为圆心作圆，所得的圆与直线1相切的是()

o

A.以OA为半径的圆B.以OB为半径的圆

C.以OC为半径的圆D.以0D为半径的圆.

5.已知反比例函数），二二，下列结论不正确的是（）

x***

A.该函数图象经过点（-1/）B.该函数图象位于第二、四象限

C.），的值随着x值的增大而增大D.该函数图象关于原点成中心对称

6.在一次班级迎春联欢晚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品，共互送110份小礼品，如果参加聚会的同

学有x名根据题意列出的方程是（）

A.x(x+l)=110B.x(x-1)=110C.2x(x+1)=110D.2A(X-1)=110

7.考生注意：本小题设置m〃两道题，请还没有学习最后一章“投影与视图”的同学选择作答，全部结

束了新课的学校的同学选择“力”作答

a如图，AC,BE是OO的直径，弦AD与BE交于点F,连接AB,AE,DE,CF,下列三角形中，外心是点

O的是（）

A.AABFB.AACFC./\ADED.AAEF

b.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（）

A.圆锥B.三棱锥C.三棱柱D.四棱柱

8.如图，DEI/BC,则下列比例式正确的是（）

AEADAEADADDEADDE

A.-----=------B.------=------C.------=------n-----=------

ECDBABACBDBCACBC

9.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，我们已经知道30°,45°,60°角的三角函数

值，现在来求ian22.5°的值：

如图，在RtZ\AC3中，NC=90。，N/WC=450,延长CB使=连接AD,得NO=22.5。.设AC=1,

则AC=1,AB=O=BD,所以tan22.5°=.=—^==7——卢==0-1.

CD1+>/2（1+V♦2）（1-V2）

类比这种方法，计算tanl5。的值为（）

A.V3-V2B.2-V3C.舟6D.V3-2

10.如图，抛物线），=0?+法+。交乂轴于4（一3,0）,3（8,0）两点，交y轴于点C,D为直线BC上方抛物

线上一点，连接AC,CD,BD.若点D关于直线BC的对称点恰好落在x轴上，且CD=BD,则下列结论：

①5。+〃=0；②AC=C。；③点D的坐标为（4,5）；④△A8C是直角三角形.其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.）

11.如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60。，900,210°.让转盘自由转动,

指针停止后落在红色区域的概率是.

12.如图，在△A3C中，ZGW=70°,在同一平面内，将八48。绕点A旋转到△45。位置，连接CC.

若CC//AB,则/84笈的度数为.

13.在平面直角坐标系中，将函数），=2（1-1『的图象先向右平移I个单位长度，再向下平移3个单位长度,

所得图象的函数解析式为.

14.如图，在八45。中，CA=CB=2,NACB=90。，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°

的扇形EDF,点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为.

15.在八43。中，点A（-6,0）,点8（T,—2）,O为坐标原点，以点O为位似中心，按相似比1：2把A48O

放大，则点B的对应点夕的坐标为.

16.如图，正方形ABCD的边长为5,E为AD上一动点，连接BE,CE,以CE为边向右侧作正方形CEFG.

①若BE=H,则正方形CEFG的面积为；②连接DF,DG,则4DFG面积的最小值为.

三、解答题（本题共8小题，共72分•解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）

17.（本题满分8分）已知关于x的一元二次方程/一（2m一3）工+，/=0有两个实数根阳，七

（1）求m的取值范围；

（2）当X]（1+々）+%2=0，求m的值.

k

18.（本题满分8分）如图，反比例函数y=—（ZwO）的图象与一次函数为=，但+〃（加工0）的图象交于第

X

二、四象限内的点A（a,4）和点8（上一1，过点A作x轴的垂线，垂足为点C,且AAOC的面积为4.

（1）求这两个函数的解析式；

k1

（2）结合图象直接写出"7X4〃（一的解集.

X

1