江苏省苏州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题含答案

第=page11页，共=sectionpages11页江苏苏州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A44−A.12 B.18 C.20 D.242.已知车轮旋转的角度θ(单位：rad)与时间t(单位：s)之间的函数关系为θt=25π8t2，则车轮开始转动后第3.2s时的瞬时角速度(A.20π B.10π C.165π 3.某班要从4名女生和3名男生中选择3人参加学生代表大会，则选出的代表中女生人数不少于男生人数的选法种数为(

)A.35 B.30 C.24 D.224.已知函数fx=x3−3x2+1在−1,3上的最大值和最小值分别为A.−4． B.−2． C.−1． D.25.统计某超市连续5年的广告支出费x(万元)与销售额y(万元)的数据如下：广告支出费x12467销售额y2030m4346得出经验回归方程为y=4x+19，则(

)A.y与x呈负相关关系 B.当x=5时，一定有y=39

C.m=36 D.当x=1时，残差为36.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A0,0,0，B2,1,0，C0,1,2，则点P0,2,0到平面ABCA.33 B.63 C.7.小明常用人工智能大模型DeepSeek解决学习疑问．当小明输入的问题表达清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.8；当小明输入的问题表达不清晰时，DeepSeek的回复被采纳的概率为0.3.若小明输入的问题表达清晰的概率为0.7，则DeepSeek的回复被采纳的概率为(

)A.0.56 B.0.65 C.0.77 D.0.88.已知函数fx=ax+bxa>0,a≠1,b>0,b≠1在0,+∞A.a=2，b=12 B.a=2，b=ln2

C.a=e，二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X，Y，则下列说法正确的有(

)A.若X∼B6,12，则EX=3

B.若X∼B6,12，Y=2X+1，则DY=4

C.若X∼N6,σ10.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA.OE=12AB+AD−AA1

B.OE11.已知函数fx=lnx−A.若a=−2，则fx存在极值点 B.若fx是增函数，则a≥−1

C.曲线y=fx是中心对称图形 D.存在a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=ex−1，g(x)=asinx，若曲线y=f(x)与y=g(x)在点(0,0)处有相同的切线，则实数a13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量PA=1,2,0，PB=0,2,3，PC=k,1,3，若点C在平面PAB内，则实数14.我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里给出了著名的“杨辉三角”，它揭示了a+bn展开式的项数及各项系数的规律，这是我国数学史上的一个伟大成就．在如图所示的“杨辉三角”中，第10行从左到右第4个数是

；记第n行从左到右第i个数为ai，则

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知x+23xn的展开式中第3项与第(1)求n；(2)求展开式中第3项与第n−1项的系数的比值；(3)求展开式中的常数项．16.(本小题15分)江苏省城市足球联赛(简称“苏超”)正如火如荼开展，赛事凭借鲜明的本土地域特色广受省内市民喜爱．为调查某市市民购票前往现场观赛的意愿，某调研机构随机选取100名市民开展问卷调查，统计数据如下：愿意购票到场观赛不愿购票到场观赛合计女性252550男性401050合计6535100(1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联？附：χ2P0.1000.0500.0100.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828(2)为鼓励市民到场观赛，先对“愿意购票到场观赛”的65名被调查者按性别分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取13人，再从这13人中随机抽取2人发放观赛补贴，补贴标准：女性每人20元，男性每人10元．求补贴金额X的分布列与数学期望(结果四舍五入精确到整数)．17.(本小题15分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知∠ABC=90∘，AB=BC=BB1=2，E，F(1)求证：A1(2)当三棱锥B1−BEF的体积取得最大值时，求平面A1EF18.(本小题17分)已知函数fx=(1)当a=1时，求fx(2)当a>0时，若fx存在极小值点x0，证明：(3)若对任意x∈−1,+∞，都有fx≤119.(本小题17分)某科技公司为推广某款机器人产品，举办“人类—机器人”挑战赛，规则如下：人类选派2n−1n∈N∗名挑战者参赛，每名挑战者仅与一台该款机器人进行一场比赛，共进行2n−1(1)若n=2，p=13，记人类总获胜场数与机器人总获胜场数之差的绝对值为随机变量X，求(2)若n≥3，记事件Ak=“在前2n−3场比赛中人类胜了k0≤k≤2n−3,k∈N①求PB|An−2，PB|A②研究表明：随着n的增大，人类队获胜的概率越来越小．请从数学角度证明上述观点．

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】ACD

10.【答案】AD

11.【答案】ABC

12.【答案】1

13.【答案】−12

14.【答案】120；(n+2)215.【答案】解：(1)由二项式系数的定义，第3项的二项式系数为Cn2，第2项的二项式系数为根据题意得Cn2−Cn解得n=8(n=−5不符合正整数要求，舍去)．(2)由(1)得n=8，二项式x+23x第3项对应r=2，系数为22C82；第n−1=7项对应由组合数性质C82=C86，故展开式中第(3)令展开式通项中x的指数为0，即8−4r3=0代入通项得常数项为：26

16.【答案】解：(1)提出零假设H0由列联表得：a=25,b=25,c=40,d=10,n=100，代入卡方公式χ2小概率值α=0.01

对应的临界值为6.635，因χ2≈9.89>6.635，故拒绝结论：依据α=0.01

的独立性检验，能认为“愿意购票到场观赛”与性别有关联;(2)分层抽样抽样比：1365抽取女性人数：25×15=5补贴金额X

的可能取值：20,30,40，

抽取2人都是男性时X=20，PX=20抽取1男1女时X=30，P抽取2人都是女性时X=40，P所以X的分布列X203040P14205EX数学期望约为28．

17.【答案】解：(1)以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在的直线分别为x轴，y轴、设AE=BF=m，0<m<2，则A10,2,2，Fm,0,0，C1所以A1F=又A1F⋅(2)结合(1)设AE=BF=m，0<m<2，则BE=2−m，由VB所以当m=1时，三棱锥B1所以结合(1)的空间直角坐标系有A10,2,2，E0,1,0，F1,0,0，则EA1=0,1,2，EF=设平面A1EF的法向量为m令x=2，则y=2，z=−1，即m=设平面B1C1E令b=2，则a=0，c=1，即可得n=记平面A1EF与平面B1则有cosθ=所以平面A1EF与平面B1

18.【答案】解：(1)当a=1时，fx则f′x令f′x=0，解得x=−1，或当x<−1时，x+1<0，1−ex>0，则f′x<0当−1<x<0时，x+1>0，1−ex>0，则f′x>0当x>0时，x+1>0，1−ex<0，则f′x<0综上，fx在−∞,−1上单调递减；在−1,0上单调递增；在0,+∞(2)由f′x令f′x=x+1a−e当lna>−1时，a>当x<−1时，x+1<0，a−ex>0，则f′x<0当−1<x<lna时，x+1>0，a−ex>0，则f′当x>lna时，x+1>0，a−ex<0，则f′此时x=−1是fx的极小值点，而x=lna则x0=−1，所以当lna=−1时，a=1e当x<−1时，x+1<0，1−ex+1>0，则f′x<0当x>−1时，x+1>0，1−ex+1<0，则f′x<0此时fx当lna<−1时，0<a<当x<lna时，x+1<0，a−ex>0，则f′当lna<x<−1时，x+1<0，a−ex<0，则f′x当x>−1时，x+1>0，a−ex<0，则f′x<0此时x=lna是fx的极小值点，而x=−1则x0=ln综上，当a>0时，若fx存在极小值点x0，必有(3)对任意x∈−1,+∞，有fx≤当x=−1时，12a⋅0+e−1=当x>−1时，a≤2x令gx=2xex令hx=x2+1所以hx在−1,+∞上单调递增，且h所以当−1<x<0时，hx<0，即g′x<0，所以当x>0时，hx>0，即g′x>0，所以所以gxmin=g综上，当x=−1时，a∈R；当x>−1时，a≤1．故对任意x∈−1,+∞，都有fx≤12

19.【答案】解：(1)n=2时，比赛场次为3场，X的所有可能取值为1,3，P(X=3)=133所以X的分布列为：X13P21E(X)=1×2(2)①总共比赛2n−1场，已比2n−3，还需再比2场，An−2表示“在前2n−3场比赛中人类胜了n−2人类要获胜，则要胜场数≥n，即剩余两场均要胜利，所以PB|An−1表示“在前2n−3场比赛中人类胜了n−1人类要获胜，则要胜场数≥n，即剩余两场至少胜一场，所以PB|②设P(n)=P(在2n−1场中人类至少胜n场)=k=n人类在2n+1场中获胜，需要最终胜场数至少为n