二面角（教学课件）-2026-2027学年高二上学期人教B版(2019)选择性必修第一册

人教B版(2019)选择性必修第一册1.2.4二面角第一章空间向量与立体几何学习目标理解二面角及其平面角的概念，体现数学抽象能力（重点）掌握作二面角的基本方法和步骤，会求二面角的大小，会用二面角解决实际问题，体现逻辑推理能力（重难点）新课导入日常生活中，很多场景中都有平面与平面成一定角度的形象．例如，如图(1)所示，在建造大坝时，为了加固大坝，大坝外侧的平面一般与水平面成一定角度；如图(2)所示，很多屋顶都是二面角的形象.你能找到日常生活中更多类似的例子吗？怎样刻画平面与平面所成的角呢？新课学习二面角的概念平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面．l

二面角的棱二面角的面新课学习二面角的表示方法二面角

－AB－

l二面角

－l－二面角C－AB－DABCDAB

新课学习二面角的平面角的概念如图所示，在二面角α-l-β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小．特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角．新课学习二面角的角的大小二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°.两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小．这样约定后，一个二面角的大小及两个相交平面所成角的大小都是唯一确定的．新课学习在地理学科中所学过的黄赤交角，指的就是黄道平面(即地球公转的轨道所在平面)与赤道平面之间的夹角，它的大小为23°26'，如图所示.新课学习例1：如图所示，已知二面角α−l−β的棱上有A，B两个点，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AB=6，AC=3，BD=4，CD=7，求二面角α−l−β的大小.如图所示，在平面β内过A作BD的平行线AE，且使得AE=BD，连接CE，ED.因为四边形AEDB是一个矩形，∠CAE是二面角α−l−β的一个平面角，且AB⊥平面AEC，所以ED⊥平面AEC，从而在△AEC中，由余弦定理可知E新课学习拓展：定义法求二面角的一般步骤：1.作(找)出二平面的平面角；2.写出(或证明)作(找)出平面角的过程；3.计算：利用解三角形知识求解；4.结论：根据题意给出结果.新课学习尝试与发现：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线SS'，设O为棱AB上一点.(1)判断SO⊥AB是S′O⊥AB的什么条件；因为S′是S在平面β内的射影，所以S′O是SO在平面β内的射影.根据三垂线定理及其逆定理可知，SO⊥AB是S'O⊥AB的充要条件.新课学习尝试与发现：如图所示，设S为二面角α-AB-β的半平面α上的一点，过点S作半平面β的垂线SS'，设O为棱AB上一点.(2)结合二面角的平面角作法，如何用其他方法做出二面角的平面角？当二面角α-AB-β是一个锐角时，得到作出它的平面角的另一种方法：①过其中一个半平面内一点S，作另一个半平面的垂线段SS'；②过S(或S')作棱的垂线SO(或S'O)；③连接S'O(或SO)即可.如果二面角α-AB-β的大小为θ，在△SOS′中，则可以看出△S′AB与△SAB在AB边上的高之比为cosθ，因此这两个三角形的面积之比也为cosθ.新课学习例2：如图所示三棱锥S−ABC中，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=

，AB=BC=2，且AB⊥BC，求二面角S−AB−C的大小.

设O，E分别为AC，AB的中点，连接SO，OE，SE，如图所示.因为SA=SC，所以SO⊥AC，又因为平面SAC⊥平面ABC，所以SO⊥平面ABC，因此SE在平面ABC内的射影为OE.又因为OE为△ABC的中位线，AB⊥BC，所以AB⊥OE，从而由三垂线定理可知AB⊥SE，因此∠SEO为二面角S−AB−C的一个平面角.由AB=BC=2且AB⊥BC可知而且EO=BC=1，从而可知∠SEO=45∘，即所求二面角大小为45∘.

新课学习尝试与发现：如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，通过作图讨论与〈n1，n2〉的关系如图所示，可以看出θ＝〈n1，n2〉或

θ=π－〈n1，n2〉，特别地，sinθ＝sin〈n1，n2〉．新课学习例3：如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90∘，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值.依题意，AD，AB，AS两两互相垂直.以A为原点，

的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0)，S(0,0,3)，C(3,3,0)，D(1,0,0)，新课学习例3：如图所示，已知四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90∘，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值.令x=3，可得y=−2，z=1，此时n=(3,−2,1).设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z)，则新课学习例4：如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，AA1=2，且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小.依题意，CA，CB，CC1两两互相垂直.以C为原点，

的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)，设平面BDC的一个法向量为n=(x1,y1,z1)，则新课学习例4：如图所示，已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，AA1=2，且D是AA1的中点.求平面BDC与平面BDC1所成角的大小.令z1=1，则得x1=−1，y1=0，此时n=(−1,0,1).设平面BDC1的一个法向量为m=(x2,y2,z2)，则令z2=1，则得x2=1，y2=2，此时m=(1,2,1).因为n⋅m=(-1)×1+0×2+1×1=0