专题11 解三角形综合应用（22题）（教师版）（01期）

专题11解三角形综合应用(22题)一、解答题1．(新疆·统考中考真题)烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1)．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度米的A处，测得烽燧的顶部C处的俯角为，测得烽燧的底部B处的俯角为，试根据提供的数据计算烽燧的高度．(参数据：，，，，，)

【答案】米【分析】过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，根据题意得出边形为矩形，，再由正切函数求解即可．【详解】解：过点A作的平行线交的延长线于点G，过点C作，如图所示：

根据题意得：四边形为矩形，，∴，∴，∵，∴米，∴米．【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．2．(湖南怀化·统考中考真题)为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是(、、在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高．(，结果保留一位小数)【答案】烈士纪念碑的通高约为米【分析】根据题意，四边形是矩形，米，米，根据三角形的外角的性质得出，，等角对等边得出，进而解，求得，最后根据，即可求解．【详解】解：依题意，四边形是矩形，米，米，∵∴∴，∴米，在中，∴米∴米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．3．(浙江台州·统考中考真题)教室里的投影仪投影时，可以把投影光线，及在黑板上的投影图像高度抽象成如图所示的，．黑板上投影图像的高度，与的夹角，求的长．(结果精确到1cm．参考数据：，，)

【答案】的长约为【分析】在中，由，再代入数据进行计算即可．【详解】解：在中，，，，∴．∴的长约为．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用锐角的正切求解直角三角形的边长是解本题的关键．4．(浙江绍兴·统考中考真题)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．

(1)求的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：)【答案】(1)；(2)该运动员能挂上篮网，理由见解析【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余即可求解；(2)延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解．【详解】(1)解：∵，∴，∵，∴．(2)该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，

∵，∴，又∵，∴，在中，，∴，∴该运动员能挂上篮网．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．5．(四川宜宾·统考中考真题)渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥(如图)，桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离，如图．在桥面上点处，测得到左桥墩的距离米，左桥墩所在塔顶的仰角，左桥墩底的俯角，求的长度．(结果精确到米．参考数据：，)

【答案】的长度米【分析】上截取，使得，设，在中，，，则，进而即可求解．【详解】解：如图所示，上截取，使得，

∴，∵∴，设，在中，，∴又∴∴即米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．6．(四川遂宁·统考中考真题)某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容

测量湖边A、B两处的距离成员

组长：×××

组员：××××××××××××测量工具

测角仪，皮尺等测量示意图

说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得的度数．测量数据角的度数边的长度米米数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在中，．_________．(从记录表中再选一个条件填入横线)

求：线段的长．(为减小结果的误差，若有需要，取，取，取进行计算，最后结果保留整数．)【答案】米，线段的约长为77米；米，线段的约长为77米【分析】填入数据米．作于点D，在和中，解直角三角形即可求解．【详解】(1)当填入米时：已知：如图，在中，．米．(从记录表中再选一个条件填入横线)

求：线段的长．解：作于点D，

在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴(米)，答：线段的约长为77米．(2)当填入米时：已知：如图，在中，．米．(从记录表中再选一个条件填入横线)

求：线段的长．解：作于点D，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴(米)，答：线段的约长为77米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-其他问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．(浙江宁波·统考中考真题)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．

(1)如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．(2)如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为，为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．(参考数据：，)【答案】(1)；(2)【分析】(1)如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；(2)根据题意，，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案．【详解】(1)解：如图所示：

由题意知，在中，，则，即，；(2)解：如图所示：

，在中，，由等腰直角三角形性质得到，在中，，由，即，解得，气球离地面的高度．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及直角三角形性质、等腰直角三角形性质和正切函数测高等，熟练掌握解直角三角形的方法及相关知识点是解决问题的关键．8．(江西·统考中考真题)如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点，，，均在同一直线上，，测得．(结果保小数点后一位)

(1)连接，求证：；(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离)．(参考数据：)【答案】(1)见解析；(2)雕塑的高约为米【分析】(1)根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理得出，进而得出，即可得证；(2)过点作，交的延长线于点，在中，得出，则，在中，根据，即可求解．【详解】(1)解：∵，∴∵即∴即∴；(2)如图所示，过点作，交的延长线于点，

在中，∴，∴∴在中，，∴，(米)．答：雕塑的高约为米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．9．(甘肃武威·统考中考真题)如图1，某人的一器官后面处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离(图1)．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图

说明如图2，新生物在处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为；再在皮肤上选择距离处的处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．测量数据，，请你根据上表中的测量数据，计算新生物处到皮肤的距离．(结果精确到)(参考数据：，，，，，)【答案】新生物处到皮肤的距离约为【分析】过点作，垂足为，在，用与的正切值表示出，在中，用和的正切值表示出，由，联立求解即可．【详解】解：过点作，垂足为．由题意得，，，在中，．在中，．

∵，∴，∴．答：新生物处到皮肤的距离约为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形，通过三角函数求解线段是求解本题的关键．10．(四川达州·统考中考真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？(结果精确到；参考数据：，，，，，)

【答案】座板距地面的最大高度为．【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意可得，四边形和四边形是矩形，∴，，∵秋千链子的长度为，∴，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．∴座板距地面的最大高度为．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．11．(2023年重庆市中考数学真题(A卷))为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．(参考数据：

(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】(1)AD的长度约为千米；(2)小明应该选择路线①，理由见解析【分析】(1)过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可；(2)分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可．【详解】(1)解：过点作于点，

由题意可得：四边形是矩形，∴千米，∵点D在点A的北偏东方向，∴，∴千米，答：AD的长度约为千米；(2)由题意可得：，，∴路线①的路程为：(千米)，∵，，，∴为等腰直角三角形，∴，∴，由题意可得，∴，∴，，所以路线②的路程为：千米，∴路线①的路程路线②的路程，故小明应该选择路线①．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键．12．(四川泸州·统考中考真题)如图，某数学兴趣小组为了测量古树的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为的斜坡前进到达点，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点．在点处测得古树的顶端的俯角为，底部的俯角为，求古树的高度(参考数据：，，，计算结果用根号表示，不取近似值)．

【答案】古树的高度为【分析】延长，交于点G，过点B作于点F，根据斜面的坡度为，设，则，根据勾股定理得出，求出，证明四边形为矩形，得出，根据三角函数求出，，最后求出结果即可．【详解】解：延长，交于点G，过点B作于点F，如图所示：

则，∵斜面的坡度为，∴设，则，在中，根据勾股定理得：，即，解得：，负值舍去，即，∵为水平方向，为竖直方向，∴，∵，∴四边形为矩形，∴，∵，∴在中，，∵，∴在中，，∴．答：古树的高度为．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握三角函数的定义．13．(重庆·统考中考真题)人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西方向，B在灯塔C的南偏东方向，且在A的正东方向，米．

(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位)；(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：，)【答案】(1)2545米；(2)能，说明过程见解析【分析】(1)过点作于点，先根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定可得米，再解直角三角形即可得；(2)先解直角三角形求出的长，从而可得的长，再根据时间等于路程除以速度即可得．【详解】(1)解：如图，过点作于点，

由题意得：，，米，米，答：养殖场与灯塔的距离为2545米．(2)解：米，米，则甲组到达处所需时间为(分钟)分钟，所以甲组能在9分钟内到达处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．14．(四川凉山·统考中考真题)超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为．

(1)求两点之间的距离(结果精确到)；(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．(参考数据：)【答案】(1)；(2)小型汽车从点行驶到点没有超速．【分析】(1)证明四边形为矩形，可得，结合，，，可得，，再利用线段的和差关系可得答案；(2)先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可．【详解】(1)解：∵点、点到的距离分别为，∴，，而，∴，∴四边形为矩形，∴，由题意可得：，，，∴，，∴(2)∵小型汽车从点行驶到点所用时间为．∴汽车速度为，∵该隧道限速80千米/小时，∴，∵，∴小型汽车从点行驶到点没有超速．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键．15．(四川成都·统考中考真题)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．(结果精确到米；参考数据：)

【答案】米【分析】过点作于点，于点，则四边形是矩形，在中，求得，进而求得，根据，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，于点，则四边形是矩形，

依题意，，(米)在中，(米)，(米)，则(米)∵(米)∴(米)∵，∴(米)∴(米)．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．(浙江·统考中考真题)如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道，已知，，求管道的总长．

【答案】18m【分析】如图：过点作于点，由题意易得，进而求得，再通过解直角三角形可得，然后求出即可解答．【详解】解：如图：过点作于点，由题意，得，∵，∴．∵，∴．∴．即管道的总长为．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，理解题意求得是解答本题的关键．17．(安徽·统考中考真题)如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度(精确到)．参考数据：，．

【答案】无人机从点到点的上升高度约为米【分析】解，求得，，在中，求得，根据，即可求解．【详解】解：依题意，，，，在中，，∴，，在中，，∴(米)答：无人机从点到点的上升高度约为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．18．(浙江嘉兴·统考中考真题)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

(1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．(精确到，参考数据)【答案】(1)；(2)能，见解析【分析】(1)根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．(2)根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，即可求出长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．【详解】(1)解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．．，．．，，小杜下蹲的最小距离．(2)解：能，理由如下：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，

在中，．，，．，．小若垫起脚尖后头顶的高度为．小若头顶超出点N的高度．小若垫起脚尖后能被识别．【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质、三角形的全等，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法．19．(四川自贡·统考中考真题)为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡，山的高度即为三段坡面的铅直高度之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆的一端放在坡面起始端A处，直杆沿坡面方向放置，在直杆另一端N用细线系小重物G，当直杆与铅垂线重合时，测得两杆夹角的度数，由此可得山坡AB坡角的度数．请直接写出之间的数量关系．(2)测量山高同学们测得山坡的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为；为求，小熠同学在作业本上画了一个含角的(如图3)，量得．求山高．(，结果精确到1米)(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于的顶端，当与铅垂线重合时，转动直杆，使点N，P，D共线，测得的度数，从而得到山顶仰角，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角；画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米，再画一个含的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为厘米，厘米．已知杆高MN为米，求山高．(结果用不含的字母表示)【答案】(1)；(2)山高为69米；(3)山高的高为米【分析】(1)利用互余的性质即可求解；(2)先求得，再分别在、、中，解直角三角形即可求解；(3)先求得，，在和中，分别求得和的长，得到方程，据此即可求解．【详解】(1)解：由题意得，

∴；(2)解：在中，．

∴，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，在中，，米，∴(米)，∴山高(米)，答：山高为69米；(3)解：如图，由题意得，，

设山高，则，

在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，即，解得，山高答：山高的高为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．20．(四川广安·统考中考真题)为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园边上修建一个四边形人工湖泊，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，长为100米，点在点的北偏东方向，点在点的北偏东方向．

(1)求步道的长度．(2)点处有一个小商店，某人从点出发沿人行步道去商店购物，可以经点到达点，也可以经点到达点，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位)(参考数据：)【答案】(1)200米；(2)这条路较近，理由见解析【分析】(1)根据矩形的性质和锐角三角函数中的正弦值即可求出答案．(2)根据矩形的性质和锐角三角函数中的正切值、余弦值分别求出和的长度，比较和即可求出答案．【详解】(1)解：由题意得，过点作垂直的延长线于点，如图所示，

点在点的正东方向170米处，点在点的正北方向，点都在点的正北方向，，，，，为矩形..米，米.在中，米.故答案为：200米.(2)解：这条路较近，理由如下：，，.米，，在中，米.米.为矩形，米，米.在中，米.米.结果精确到个位，米.米..从这条路较近.故答案为：这条路较近.【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到锐角三角函数正弦、余弦、正切，矩形的性质，解题的关键在于构建直角三角形利用三角函数求边长.21．(江苏连云港·统考中考真题)渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥处出发，沿着坡角为的山坡向上走了到达处的三龙潭瀑布，再沿坡角为的山坡向上走了到达处的二龙潭瀑布．求小卓从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度为多少米？(结果精确到)(参考数据：)

【答案】【分析】过点作，垂足为，在中，根据求出，过点作，垂足为，在中，根据求出，进而求解即可．【详解】过点作，垂足为．在中，，∴，过点作，垂足为．

在中，，∴．∵，∴．答：从处的九孔桥到处的二龙潭瀑布上升的高度约为．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用一坡度坡角问题，熟练利用锐角三角函数关系是解题关键．22．(浙江温州·统考中考真题)根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度(如图1)．他们通过自制的测倾仪(如图2)在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度．任务3换算高度楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．【答案】规划一：[任务1]选择点和点；，，，测得图上；[任务2]；[任务3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务1]选择点和点．[任务2]；[任务3]发射塔的实际高度为米；【分析】规划一：[任务1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上[任务2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解；[任务3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，规划二：[任务1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上；[任务2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解．[任务3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解．【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．规划一：[任务1]选择点和点．，，，测得图上．[任务2]如图1，过点作于点，过点作于点，

则，设．∵，，∴，．∵，∴解得，∴．∵，∴，∴．[任务3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，∴发射塔的实际高度为米．规划二：[任务1]选择点和点．，，，测得图上．[任务2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．

∵，，∴，．∵，∴，解得，∴．∵，∴，∴．[任务3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得．∴发射塔的实际高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．中考模拟训练一、选择题1.-3的倒数是()A.3 B.-3 C.13 D.-2.下列几何体的主视图与其他三个不同的是()3.已知反比例函数y=3a-6x的图象在第二、第四象限,则A.a≤2 B.a≥2 C.a<2 D.a>24.356578km精确到万位是()A.3.57×105km B.0.35×106kmC.3.6×105km D.4×105km5.下列图形是正方体的表面展开图的是()6.在数学课外小组活动中,小红同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm,则这个圆锥形漏斗的侧面积是()A.30cm2 B.30πcm2C.60πcm2 D.120cm27.已知关于x的一元二次方程x2-6x+2k=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.k≤92 B.k<92 C.k≥92 D8.如图,有三条绳子穿过一片木板,姐妹两人分别站在木板的左、右两边,各选该边的一段绳子.若每边每段绳子被选中的机会相等,则两人选到同一条绳子的概率为()A.12 B.13 C.16 9.把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换,再沿着与这条直线平行的方向平移,我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.在自然界和日常生活中,大量地存在这种图形变换(如图甲).结合轴对称变换和平移变换的有关性质,你认为在滑动对称变换过程中,两个对应三角形(如图乙)的对应点所具有的性质是()A.对应点连线与对称轴垂直 B.对应点连线被对称轴平分C.对应点连线被对称轴垂直平分 D.对应点连线互相平行10.(2024·四川宜宾中考)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点A,B及边AC的中点M,若BC∥x轴,边AB与y轴交于点N,则ANAB的值为(A.13 B.C.15 D.11.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,其图象的对称轴是直线x=-1.有以下结论:①abc>0,②4ac<b2,③2a+b=0,④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A.1 B.2C.3 D.412.在一次自行车越野赛中,甲、乙两名选手行驶的路程y(单位:千米)随时间x(单位:分)变化的图象(全程)如图,根据图象判定下列结论不正确的是()A.甲先到达终点B.前30分钟,甲在乙的前面C.第48分钟时,两人第一次相遇D.这次比赛的全程是28千米二、填空题13.把x3-4x分解因式,结果为.

14.(宁夏中考改编)如图,粮库用传送带传送粮袋,大转动轮的半径为10cm,传送带与水平面成30°角.假设传送带与转动轮之间无滑动,当大转动轮转140°时,传送带上点A处的粮袋上升的高度是cm.(传送带厚度忽略不计)

15.现有A,B两只不透明口袋,每只口袋里装有两个相同的球,A袋中的两个球上分别写了“细”“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”“心”的字样.从每只口袋里各摸出一个球,刚好能组成“细心”字样的概率是.

16.将一直径为17cm的圆形纸片(图①)剪成如图②所示形状的纸片,再将纸片沿虚线折叠得到正方体(图③)形状的纸盒,则这样的纸盒体积最大为cm3.

17.甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市连续两次降价10%,乙超市一次性降价20%,在超市购买此种商品更合算.

18.如图,点O(0,0),B(0,1)是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,……依次下去,则点B6的坐标是.

三、解答题19.(1)计算:|2-1|-2sin45°+12(2)先化简,再求值:2a+6a220.解分式方程:2x2-21.(宁夏中考)学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试.已知七、八年级各有200人,现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩x(单位:分)进行统计:七年级86947984719076839087八年级88769078879375878779整理如下:年级平均数中位数众数方差七年级84a9044.4八年级8487b36.6根据以上信息,回答下列问题:(1)填空:a=,b=;

A同学说:“这次测试我得了86分,位于年级中等偏上水平”,由此可判断他是年级的学生.

(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”,估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数.(3)你认为哪个年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好?请给出一条理由.22.(宁夏中考)“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某地摊经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:甲:5201.6x=175x乙:520x=1.6×175x-30,解得x=则甲所列方程中的x表示,乙所列方程中的x表示.

(2)该经营者准备用1350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个?23.“五一”假期,某公司组织部分员工到A,B,C三地旅游,公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图,如图.根据统计图回答下列问题:(1)前往A地的车票有张,前往C地的车票占全部车票的%;

(2)若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给100名员工,在看不到车票的条件下,每人抽取1张(所有车票的形状、大小、质地完全相同,且充分洗匀),那么员工小王抽到去B地车票的概率为;

(3)若最后剩下一张车票时,员工小张、小李都想要,决定采用抛掷一个各面分别标有数字1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是:每人各抛掷一次,若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大,车票给小张,否则给小李.试用列表法或树状图法分析,这个规则对双方是否公平.24.如图,三角形花园ABC紧邻湖泊,四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量,点C在点A的正东方向,AC=200m.点E在点A的正北方向.点B,D在点C的正北方向,BD=100m.点B在点A的北偏东30°方向,点D在点E的北偏东45°方向.(1)求步道DE的长度(结果取整数);(2)点D处有直饮水,小明从A处出发沿人行步道去取水,可以经过点B到达点D,也可以经过点E到达点D.请通过计算说明他走哪一条路较近?(参考数据:2≈1.414,3≈1.732)25.如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,且AC=CD.(1)求证:OC∥BD;(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.26.某地发生特大自然灾害,某慈善基金会将筹措到位的第一批救灾物资打包成件,其中棉帐篷和毛巾被共3200件,毛巾被比棉帐篷多800件.(1)打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件?(2)现计划用甲、乙两种小飞机共8架,一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往该灾区.已知甲种飞机最多可装毛巾被400件和棉帐篷100件,乙种飞机最多可装毛巾被和棉帐篷各200件.则安排甲、乙两种飞机时有几种方案?请你帮忙设计出来.(3)在第(2)问的条件下,如果甲种飞机每架需付运输成本费4000元,乙种飞机每架需付运输成本费3600元.应选择哪种方案可使运输成本费最少?最少运输成本费是多少元?27.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)若过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线对应函数的解析式;(3)点P在抛物线的对称轴上,☉P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.模拟训练一、选择题1.D2.D3.C4.C5.C6.C7.B由于方程有两个不相等的实数根,因此Δ=b2-4ac>0,则(-6)2-8k>0,解得k<928.B将绳子记为1,2,3,则姐妹选中绳子共有9种等可能结果:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),其中两人选到同一条绳子的结果有3种,所以两人选到同一条绳子的概率为139.B10.B过点A作BC的垂线,垂足为点D,BC与y轴交于点E,如图.设点Aa,ka,∵△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD⊥BC,∴D是线段BC的中点.∴DC=BD=a-b,∴C2a∵点M为边AC的中点,∴M3a-b2∵点M在反比例函数的图象上,∴M3a-b2解得b=-3a.易知,AD∥NE,∴ANAB11.C根据抛物线的开口向下可知a<0,根据抛物线的对称轴在y轴左侧可知a,b同号,则b<0,且-b2a=-1,根据抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知c>①∵a<0,b<0,c>0,∴abc>0正确;②∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴4ac<b2正确;③∵抛物线对称轴是直线x=-1,∴-b2a=-1,∴2∴2a+b=0错误;④由图象可知,抛物线的顶点为最高点,故当x=-1时,y>2,∴a-b+c>2正确.12.D观察题图知,到达终点时,甲对应的点是C,所花时间为86分钟,乙对应的点是D,所花时间为96分钟,所以甲先到达终点,A正确;两人第一次相遇前,甲都在乙的前面,B正确;由A(30,10),B(66,14),利用待定系数法可求得直线AB的关系式为y=19x+203,把y=12代入关系式解得x=48,C正确;乙的速度为12÷48=14,总路程为14×96=24(二、填空题13.x(x+2)(x-2)14.35π9如图,设传送带上点A处的粮袋上升到点B,构建Rt△ABC,则AC∥由题意可得AB=140π×∵AC∥MN,∴∠BAC=∠NMA=30°.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∴BC=AB·sin30°=12AB=35即传送带上点A处的粮袋上升的高度是35π915.116.1717如图,当纸盒展开图中水平方向上的四个小正方形组成的矩形对角线AC为圆形纸片的直径,即圆形纸片为Rt△ABC的外接圆时,纸盒体积最大,此时AC=17cm时,设此情况下的正方体的边长为x,则在Rt△ABC中有AB2+BC2=AC2,即x2+(4x)2=172,可求出x=±17,负值舍去得x=17,所以x3=1717.17.乙18.(-8,0)三、解答题19.解(1)原式=2-1-2×22+2+2=4-1=3(2)原式=2(a+3当a=2时,原式=-2220.解方程两边同乘x2-4,得2+x(x+2)=x2-4,整理得2+x2+2x=x2-4,2x=-6,x=-3.检验:当x=-3时,x2-4=5≠0.故原方程的解为x=-3.21.解(1)把七年级10名学生的测试成绩按从小到大的顺序排列为71,76,79,83,84,86,87,90,90,94,根据中位数的定义可知,该组数据的中位数为a=84+862=85八年级10名学生的成绩中87分的最多,有3人,所以众数b=87,A同学得了86分大于85分,位于年级中等偏上水平,由此可判断他是七年级的学生.故答案为85,87,七.(2)510×200+610×200=220(人答:该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220.(3)我认为八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.理由:因为七、八年级测试成绩的平均数相等,八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差,所以八年级的学生掌握“国家安全知识”的总体水平较好.22.解(1)根据所列方程可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示520元购进A型玩具的数量.故答案为B型玩具的单价;520元购进A型玩具的数量.(2)设可购进A型玩具a个,则购进B型玩具(200-a)个,由(1)可知B型玩具的单价为5元,A型玩具的单价为1.6×5=8(元).根据题意得8a+5(200-a)≤1350,解得a≤11623故整数a的最大值是116.答:最多可购进A型玩具116个.23.解(1)3020(2)1(3)可能出现的所有结果列表如下:小张抛到的数字小李抛到的数字12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)或画树状图如下:共有16种可能的结果,且每种的可能性相同,其中小张获得车票的结果有6种:(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3).故小张获得车票的概率为616=38,小李获