人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习1.3空间向量及其运算的坐标表示(六种常考题型)(原卷版+解析)

1.3空间向量及其运算的坐标表示（六种常考题型）知识点1空间直角坐标系1．空间直角坐标系（1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.（2）相关概念：O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分．画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),.2．空间向量的坐标表示（1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标．（2）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作．知识点2空间向量的运算及坐标的关系设向量,那么向量运算坐标表示加法减法数乘数量积共线垂直向量长度向量夹角公式知识点3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中,设．（1）；（2）；（3）若则题型一 空间直角坐标系及坐标表示1．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是__________2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．3．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（

）A． B． C． D．4．如图，正方体的棱长为2，，且，则（

）A． B． C． D．5．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．6．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．7．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．8．若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______．9．在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（

）A． B． C． D．10．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：(1)向量，，的坐标；(2)，的坐标．11．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.12．如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；(2)求的坐标．题型二 空间向量的坐标运算13．若向量，满足条件，则（

）A． B． C．1 D．214．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．15．若，，，则（

）A．-11 B．3 C．4 D．1516．已知，，则（

）A．-5 B．-7 C．3 D．17．已知点，，向量，则点的坐标为______．18．下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．19．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．5 C．6 D．720．（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若在上的投影向量为，则D．若与夹角为锐角，则21．设为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关.若线性相关，则（

）A．3 B．5 C．7 D．922．已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．23．（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（

）A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B．若，则的夹角是钝角C．已知，，若与垂直，则D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面题型三 空间向量的模长坐标表示24．与向量共线的单位向量可以为（

）A． B． C． D．25．，，则_______．26．已知，，，则________.27．已知点，若点P满足，则（

）．A．37 B． C．57 D．28．在正四棱锥P—ABCD中，，则该四棱锥的体积为（

）A．21 B．24 C． D．29．设空间向量，，若，则＝______．30．已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（

）A． B． C． D．31．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为_____．32．已知空间三点，，，设，，(1)求和的夹角；(2)若向量与互相垂直，求k的值．(3)求33．在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．134．已知，则的面积为__________．题型四 空间向量的平行坐标表示35．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（

）A．0 B．1 C． D．336．(多选)若点M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是（

）A．(2，2，6) B．(1，1，3)C．(3，1，1) D．(－3，0，1)37．已知向量，，若，则（

）A．2 B．18 C． D．38．在空间直角坐标系中，，，若，则实数__________.39．（多选）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．

40．已知向量与向量平行()，则的值为______.41．已知空间三点，，共线，则____________．42．设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（

）A．2 B．3 C．4 D．543．已知向量，若，则（

）A．5 B． C．4 D．44．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．题型五 空间向量的垂直坐标表示45．已知，．(1)求；(2)当时，求实数k的值．46．如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（

）A． B．C． D．47．已知，，若，则实数z的值为（

）A．5 B．2 C．3 D．448．已知空间三点，，，设，．(1)设，，求；(2)求与的夹角；(3)若与互相垂直，求k．49．长方体中，，E为与的交点，F为与的交点，又，则长方体的高等于（

）A． B． C． D．50．向量，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．51．已知四点坐标，若，则_________；若，则_________．52．已知向量，若，则的值为（

）A． B． C． D．53．已知向量，，若与垂直，则＝_____.54．（多选）如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为（

）A．2 B． C．4 D．55．已知向量，且与互相垂直，则实数__________.题型六 空间向量的夹角坐标表示56．（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的是（

）A．若非零向量满足，则B．任意向量满足C．若为空间一基底，且，则四点共面.D．已知向量，若，则为钝角.57．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求．58．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.59．已知：，∥，⊥，求：(1)，，；(2)与所成角的余弦值.60．已知向量，若，则_________．61．若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（

）A． B． C．或 D．262．已知空间三点，则的长和的大小分别是（

）A．6， B．， C．6， D．，63．若两个单位向量与向量的夹角都等于，则__________.64．设空间两个单位向量与向量的夹角的余弦值为，则（

）A． B． C． D．65．如图，在直三棱柱中，，，，分别是，的中点．(1)求的距离；(2)求的值．66．人大附中举办了“阳春德泽·欧以咏志”春日合唱比赛大获成功．数学组想举办“响亮（谐音向量）学生音乐节”独唱比：想在独唱比赛取得好的成绩取决于三个要素：情感投入，唱歌技巧和舞台效果（单位：分）．每个参赛同学各有优势．最多只能分配10分到三个不同的要素中．根据经验，数学组老师约定三个要素为时会达到最佳效果．计分方式是计算参赛同学的三维要素向量与的夹角余弦值，公式是，该值越大得分越高．根据此规则，你认为下列四位参赛同学得分最高的是（

）同学情感投入唱歌技巧每台效果A631B144C234D243A．同学A B．同学B C．同学C D．同学D

1.3空间向量及其运算的坐标表示（六种常考题型）知识点1空间直角坐标系1．空间直角坐标系（1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.（2）相关概念：O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分．画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),.2．空间向量的坐标表示（1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标．（2）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作．知识点2空间向量的运算及坐标的关系设向量,那么向量运算坐标表示加法减法数乘数量积共线垂直向量长度向量夹角公式知识点3向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中,设．（1）；（2）；（3）若则题型一 空间直角坐标系及坐标表示1．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标是__________【答案】【分析】根据已知先求坐标，然后结合图形可得坐标，然后可得答案.【详解】因为，为坐标原点，所以，又因为为正方体，所以所以.故答案为：2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点在坐标平面上的投影坐标，横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：故选：B.3．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.4．如图，正方体的棱长为2，，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件求得.【详解】依题意，，所以，所以.故选：D5．已知是空间的一个单位正交基底，向量用坐标形式可表示为________．【答案】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.【详解】因为是空间的一个单位正交基底，则有.所以向量用坐标形式表示为.故答案为：6．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据空间向量的坐标的定义即得.【详解】∵向量在基底下的坐标为，∴，设向量在基底下的坐标是，则，∴，解得，即.故选：D.7．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果．【详解】向量在基底下的坐标为，则，设在基底下的坐标为，则，所以，解得，故在基底下的坐标为．故选：A．8．若ABCD为平行四边形，且已知点、、，则顶点D的坐标为______．【答案】【分析】设，然后利用求解即可.【详解】设，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以，所以，即.故答案为：.9．在空间直角坐标系中，已知三点，若点C在平面内，则点C的坐标可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的运算可得，，由，不共线，结合向量基本定理可得，求得C点坐标为，代入验算即可得解.【详解】由，，显然，不共线，根据向量基本定理可得，故C点坐标为，经验算只有B选项符合条件，此时，故选：B10．如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：(1)向量，，的坐标；(2)，的坐标．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）先写出点的坐标，进而可得向量的坐标；（2）利用向量的坐标运算加法和减法即可.（1）由已知，则，，（2）,.11．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是___________.【答案】【分析】设点的坐标为，由题意可得，即可得到方程组，解得即可求得的坐标．【详解】解：点､，为线段上一点，且，所以，设点的坐标为，则，则，即，解得，即；故答案为：．12．如图，在空间直角坐标系中有一长方体，且，，(1)写出点的坐标，并将用标准正交基表示；(2)求的坐标．【答案】(1)点的坐标为，．(2)【分析】（1）直接利用空间向量的坐标表示即可得到点坐标，由向量加法的坐标表示即可将用标准正交基表示；（2）直接利用空间向量的坐标表示即可得到坐标.（1）因为，，，所以点的坐标为，从而．（2）同理因为，，，易得点的坐标为，所以．题型二 空间向量的坐标运算13．若向量，满足条件，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】首先通过向量的减法的坐标运算可得，再通过数量积运算即可得解.【详解】根据向量的运算可得：，所以，所以，故选：B14．已知向量，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算可得，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】由题意知，由，得，解得.故选：B.15．若，，，则（

）A．-11 B．3 C．4 D．15【答案】C【分析】先求出的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可【详解】由已知，，，∴.故选：C．16．已知，，则（

）A．-5 B．-7 C．3 D．【答案】B【分析】利用向量空间向量坐标运算法则求解．【详解】，，∴．故选：B17．已知点，，向量，则点的坐标为______．【答案】【分析】由向量的坐标运算计算即可.【详解】设，则，即，故.故答案为：18．下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A错误；对于B，设，所以三个向量共面，故不可以作为空间向量一个基底，故B正确.对于C，设，无解，即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C错误；对于D，设，无解,即向量不共面，故可以作为空间向量一个基底，故D错误.故选：B.19．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根据题意，设，列出方程组即可得到结果.【详解】因为，，，且，，三向量共面，设，则，即，解得.故选：D20．（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若在上的投影向量为，则D．若与夹角为锐角，则【答案】ABD【分析】对于A：结合向量垂直的性质即可求解；对于B：结合向量的四则运算即可求解；对于C：利用投影的几何意义即可求解；对于D：根据向量的夹角公式即可求解.【详解】对于A：，，即：，解得：.故A选项正确；对于B：，，解得：.故B选项正确；对于C：在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：，无解，故C选项错误；对于D：与夹角为锐角，，解得：，且与不共线，即，解得：，所以与夹角为锐角时，解得：.故D选项正确；故选：ABD.21．设为空间的三个不同向量，如果成立的等价条件为，则称线性无关，否则称它们线性相关.若线性相关，则（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】D【分析】确定，解得答案.【详解】线性相关，，则，不同时为0，解得.故选：D22．已知空间直角坐标系中，，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解.【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，因为，，所以，，因此，，于是得，则当时，，此时点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C23．（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的有（

）A．若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B．若，则的夹角是钝角C．已知，，若与垂直，则D．已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面【答案】ACD【分析】由空间向量的基底即可判断A，由空间向量的夹角范围即可判断B，由空间向量垂直的坐标运算即可判断C，由四点共面定理即可判断D.【详解】因为向量是空间的一个基底，则不共面，所以也不共面，所以也可以作为空间的一个基底，故A正确；当与的夹角为时，也可得，所以B错误；因为，，则，，且与垂直，所以，解得，故C正确；因为，所以，所以共面，所以四点共面，如图，取中点为，取中点为，则，又因为，故，所以，即，则在上且靠近的三等分点处，即满足此关系的点只有一个，所以点唯一，且与共面，故D正确；故选:ACD题型三 空间向量的模长坐标表示24．与向量共线的单位向量可以为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】计算出，从而得到与向量共线的单位向量.【详解】因为，所以与向量共线的单位向量可以是或.故选：D25．，，则_______．【答案】6【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得.【详解】解：因为，，所以，所以；故答案为：.26．已知，，，则________.【答案】2【分析】根据即可求解.【详解】因为，所以,因为，所以,即，解得.故答案为:2.27．已知点，若点P满足，则（

）．A．37 B． C．57 D．【答案】B【分析】通过条件，利用空间向量的坐标运算得到，从而得到，再利用空间向量的模长公式即可求出结果.【详解】设，因为，所以，，又因，所以，得到，所以，，所以，故选：B.28．在正四棱锥P—ABCD中，，则该四棱锥的体积为（

）A．21 B．24 C． D．【答案】B【分析】根据正四棱锥的性质，结合空间向量模的坐标公式、棱锥的体积公式进行求解即可.【详解】如图所示，在正四棱锥P—ABCD中，设顶点在底面的射影为，为正方形对角线的交点，，所以，，所以该四棱锥的体积为，故选：B29．设空间向量，，若，则＝______．【答案】3【分析】根据空间向量共线得，再利用空间向量的坐标运算和向量模的定义即可得到答案.【详解】，则显然，，解得，则，，故答案为：3.30．已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.【详解】由题意，，，可得，，，即角B为锐角，所以，所以边上的高.故选：B31．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为正方形，且边长均为1．平面平面，M为底面内一动点．当时，M点在底面内的轨迹长度为_____．【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的方法求得M点在底面内的轨迹，进而求得其长度.【详解】取中点N，中点O，连接，因为平面平面，，平面平面，平面所以平面，由题意可得两两垂直，以O为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，令,则由，可得，则，整理得，则M点在底面内的轨迹为线段，所以轨迹的端点的坐标为则M点在底面内的轨迹长度为故答案为：32．已知空间三点，，，设，，(1)求和的夹角；(2)若向量与互相垂直，求k的值．(3)求【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据和的数量积夹角公式计算求解；（2）向量与互相垂直应用数量积公式求k值；（3）把模转化为数量积即可计算.【详解】（1）空间三点，，．设，，（2），解得.（3）.33．在棱长为2的正方体中，点分别在棱和上，且，则的最大值为（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，设E、F坐标，根据得出E、F坐标关系式，利用函数求最值即可.【详解】如图所示，以为中心建立空间直角坐标系，设，则，，，当时取得最大值.故选：B34．已知，则的面积为__________．【答案】【分析】根据题意，求得，的坐标及其夹角的余弦值和正弦值，利用三角形面积公式即可求得结果.【详解】因为，故可得，不妨设，的夹角为，故可得，因为，所以，则.故答案为：.题型四 空间向量的平行坐标表示35．已知直线l的一个方向向量，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则等于（

）A．0 B．1 C． D．3【答案】A【分析】根据方向向量的定义以及向量平行的规则求解.【详解】因为A，B点在直线l上，必有，，，，解得：；故选：A.36．(多选)若点M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是（

）A．(2，2，6) B．(1，1，3)C．(3，1，1) D．(－3，0，1)【答案】AB【分析】根据向量平行的规则求解.【详解】因为点M，N在直线l上，，显然向量(1，1，3)，(2，2，6)与平行，所以都是直线l的方向向量；故选：AB.37．已知向量，，若，则（

）A．2 B．18 C． D．【答案】B【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可．【详解】因为，则存在实数使得，即，解得，所以，故选：B．38．在空间直角坐标系中，，，若，则实数__________.【答案】4【分析】由题意可得，即可得到方程组，进而解出方程组即可.【详解】由题意得，，即，所以，解得.故答案为：439．（多选）已知空间三点，，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．

【答案】CD【分析】由题设计算出相关向量的坐标，根据数量积的坐标运算可判断A；根据向量坐标之间的关系，可判断B；根据向量模的计算可判断C；根据向量的夹角公式可判断D.【详解】由，，，可得，故，故A错误；由,可得，即不平行，B错误；由，故，C正确；由,可得，D正确，故选：40．已知向量与向量平行()，则的值为______.【答案】【分析】利用空间向量平行的条件即可求解.【详解】因为向量与向量平行，所以，则，解得，所以，故答案为：.41．已知空间三点，，共线，则____________．【答案】【分析】利用向量平行列方程组即可求解.【详解】由已知得：.因为三点共线,所以.所以，解得：.所以.故答案为:.42．设是实数，已知三点，，在同一条直线上，那么（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】求出，.进而根据三点共线得出，即可列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，.因为三点共线，所以存在唯一实数，使得，所以，解得，所以.故选：D.43．已知向量，若，则（

）A．5 B． C．4 D．【答案】D【分析】由向量平行的坐标表示求得，再由向量的模的定义计算．【详解】由题意，解得，即，．故选：D．44．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据共线向量基本定理确定与的关系，再分别求出和，进而求解.【详解】解：若，则，因为已知向量，，所以，解得，所以.故选：.题型五 空间向量的垂直坐标表示45．已知，．(1)求；(2)当时，求实数k的值．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据空间向量的运算，先求出，，然后计算数量积；（2）根据空间向量的运算，先求出，，根据垂直关系可知它们数量积为，据此计算.【详解】（1）因为，，所以，，所以（2）因为，，所以，由（1），因为，所以，所以，解得46．如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.【详解】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点，对于A，，，，与不垂直，A不是；对于B，，，，，B是；对于C，，，，与不垂直，C不是；对于D，，，，与不垂直，D不是.故选：B47．已知，，若，则实数z的值为（

）A．5 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据向量垂直，则数量积为0，从而得到关于的方程，解出即可.【详解】∵，，，∴，即，解得：．故选：D．48．已知空间三点，，，设，．(1)设，，求；(2)求与的夹角；(3)若与互相垂直，求k．【答案】(1)或(2)(3)或【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得；（2）先求得，，再利用公式即可求得的值，根据反三角函数即可求得向量夹角；（3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值．【详解】（1）由题可知，，由，得，设，因为，所以，解得，所以或．（2）因为、、，，，所以，，则，所以与的夹角为．（3）因为，，又与垂直，所以，解得或．49．长方体中，，E为与的交点，F为与的交点，又，则长方体的高等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，设长方体的长为，表示出，由空间向量的坐标表示代入求解即可得出答案.【详解】设长方体的长为，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，由可得，所以，解得：.故选：C.

50．向量，则下列结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量垂直或平行的坐标表示，即可判断选项.【详解】因为，所以，，所以.故选：B51．已知四点坐标，若，则_________；若，则_________．【答案】【分析】分别求出的坐标，利用向量平行与垂直的条件，列式求解即可.【详解】，若，则，即，得，解得；若，则，即，解得.故答案为：；.52．已知向量，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题中条件，求出的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为，所以，又，所以，解得.故选：D.53．已知向量，，若与垂直，则＝_____.【答案】【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.【详解】向量与垂直，则有，解得，于是，所以.故答案为：54．（多选）如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为（

）A．2 B． C．4 D．【答案】CD【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，则，即，再根据，得，结合二次函数得性质即可得解.【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设，则，即，又，所以，由，得，显然且，则，所以，因为，所以，所以，所以.故选：CD.55．已知向量，且与互相垂直，则实数__________.【答案】/【分析】求出，根据向量模长公式列出方程，求出.再分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值.【详解】，所以，解得.当时，，，因为与互相垂直，所以，解得.当时，，因为与互相垂直，所以，解得，综上：.故答案为：题型六 空间向量的夹角坐标表示56．（多选）下列关于空间向量的命题中，正确的是（

）A．若非零向量满足，则B．任意向量满足C．若为空间一基底，且，则四点共面.D．已知向量，若，则为钝角.【答案】AC【分析】根据向量共线定理判断A；根据数量积的运算律判断B；根据判断C；根据向量夹角公式求解判断D.【详解】对于A选项，因为，，是非零向量，且满足，，故存在实数使得，故，所以，故A选项正确；对于B选项，因为，不一定共线且向量数量积为实数，故不一定成立，故B选项错误；对于C选项，，，是空间的一组基底，故三点不共线，，即所以，四点共面，故C选项正确；对于D选项，当与共线且反向时，有，即，，即，故D选项错误.故选：AC.57．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求．【答案】【分析】利用空间向量法求两个向量所成角的余弦值.【详解】如图，建立空间直角坐标系D－xyz，D为坐标原点，则有，，，，，，，，所以，，.所以.58．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______.【答案】【分析】根据与的夹角为钝角，由，且不共线求解.【详解】解：因为向量，，且与的夹角为钝角，所以，且，解得，所以实数的