人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习2.1直线的倾斜角与斜率(七种常考题型)(原卷版+解析)

2.1直线的倾斜角与斜率（七种常考题型）知识点1直线的倾斜角1．倾斜角的定义当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．2．倾斜角的范围当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表.倾斜角直线平行于轴由左向右上升垂直于轴由左向右下降图示知识点2直线的斜率1．斜率的概念我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率．2．斜率与倾斜角的关系设直线的倾斜角为,斜率为的大小0°0°<<90°90°90°<<180°k的范围k=0k>0不存在k<0k的增减性随的增大而增大随的增大而增大知识点3直线斜率的坐标公式如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式：知识点4两条直线平行如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则.反之,当时,,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知,,因此于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有．知识点5两条直线垂直当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然．如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即．题型一 求直线的倾斜角1．以下四个命题，正确的是（

）A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B．经过两点的直线的倾斜角为锐角C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应2．已知点，点，则直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．135°3．直线的倾斜角α的取值范围是（）A． B． C． D．4．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

5．若直线经过点，则直线的倾斜角为（）A．0° B．30°C．60° D．90°6．下列各组点在同一条直线上的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，7．（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（

）A． B． C． D．8．直线l经过两点，则直线l的倾斜角是（

）A． B． C． D．9．经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．题型二 直线的斜率10．已知直线l经过三点，则直线l的斜率k＝__________，y＝__________．11．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．12．如图，已知直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．13．已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点______，______．14．过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________．15．已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.16．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为__________，若直线的倾斜角为，则其斜率为__________．17．已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（）A．－6 B．－4C．0 D．618．若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．19．（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值.（2）若，，三点共线，求实数的值.（3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程.题型三 倾斜角与斜率的取值范围问题20．已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．21．直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．22．已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.23．直线过相异两点和，则的倾斜角的范围是______.24．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．25．已知．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．26．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．27．若直线的倾斜角满足，则的取值范围是__________28．直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．29．已知两点，过点的直线与线段有公共点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围．题型四 斜率公式的几何意义30．点在函数的图象上，当，则的取值范围为______.31．已知点，，若点在线段上，则的取值范围（

）A． B．C． D．32．若实数、满足，，则代数式的取值范围为______33．已知坐标平面内三点.(1)求直线的斜率和倾斜角；(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；(3)若是线段上一动点，求的取值范围.34．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为______.35．已知点，若点在线段上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．36．已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（

）A． B．C． D．37．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（

）A． B．C． D．题型五 由斜率判断两条直线平行或垂直38．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合39．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形40．过点和点的直线与直线的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对41．（多选）下列说法中，正确的有（

）A．斜率均不存在的两条直线可能重合B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则42．判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)经过点，经过点；(2)的斜率为，经过点.43．（多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（

）A．若斜率，则 B．若，则C．若倾斜角，则 D．若，则44．判断下列各题中直线与是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)经过点，，经过点，．45．已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形．46．（多选）若，，，，下面结论中正确的是（

）A． B． C． D．题型六 已知直线平行或垂直求参数47．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且直线与垂直，则直线的斜率为___________.48．已知的顶点坐标为，，，若为直角三角形，则m的值为______．49．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行.50．已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（

）A．1 B．6 C．0或6 D．051．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．52．已知，，，，若直线直线，则_____．53．若直线与平行，则（

）A． B． C． D．54．已知，，．(1)求点的坐标，满足，；(2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角．55．（多选）已知点，，．若为直角三角形，则可能有（）A． B．C． D．56．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（

）A． B． C． D．题型七 直线平行或垂直在几何中的应用57．直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，则m＝________.58．已知四边形的顶点，则四边形的形状为___________.59．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是（）A．平行四边形 B．直角梯形C．等腰梯形 D．以上都不对60．过点与点(7,0)的直线l1，过点(2,1)与点(3，k＋1)的直线l2与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k为()A．－3 B．3C．－6 D．661．已知，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.62．已知等腰直角三角形的直角顶点为，点的坐标为，则点的坐标可能为（

）A． B． C． D．63．在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证：.

2.1直线的倾斜角与斜率（七种常考题型）知识点1直线的倾斜角1．倾斜角的定义当直线与轴相交时,我们以轴为基准,轴正向与直线向上的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角．2．倾斜角的范围当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角的取值范围为．直线的图象与倾斜角的关系如下表.倾斜角直线平行于轴由左向右上升垂直于轴由左向右下降图示知识点2直线的斜率1．斜率的概念我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母表示,即.倾斜角是90°的直线没有斜率,倾斜角不是90°的直线都有斜率．2．斜率与倾斜角的关系设直线的倾斜角为,斜率为的大小0°0°<<90°90°90°<<180°k的范围k=0k>0不存在k<0k的增减性随的增大而增大随的增大而增大知识点3直线斜率的坐标公式如果直线经过两点那么由,可得如下的斜率公式：知识点4两条直线平行如图,若,则l1与l2的倾斜角与相等,由,可得,即.因此,若,则.反之,当时,,由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知,,因此于是,对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,有．知识点5两条直线垂直当直线l1或l2的倾斜角为90°时,若,则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然．如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积等于；反之,如果两条直线的斜率之积等于,那么它们互相垂直．即．题型一 求直线的倾斜角1．以下四个命题，正确的是（

）A．若直线l的斜率为1，则其倾斜角为45°或135°B．经过两点的直线的倾斜角为锐角C．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应D．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应【答案】D【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念依次判断选项即可.【详解】A：直线的斜率为1，则直线的倾斜角为，故A错误；B：过点A、B的直线的斜率为，即(为直线的倾斜角)，则为钝角，故B错误；C：当直线的倾斜角为时，该直线的斜率不存在，故C错误；D：若直线的斜率存在，则必存在对应的倾斜角，故D正确.故选：D.2．已知点，点，则直线的倾斜角为（

）A．30° B．60° C．120° D．135°【答案】B【分析】先由，求斜率，再求倾斜角.【详解】设直线的斜率为k,则.令直线的倾斜角为，则，，.故选：B3．直线的倾斜角α的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用直线倾斜角的定义得解.【详解】直线的倾斜角α的取值范围是．故选：B．4．已知直线的倾斜角，直线与的交点为，直线和向上的方向所成的角为，如图，则直线的倾斜角为________．

【答案】【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，因为和向上的方向所成的角为，所以，，故．故答案为：.5．若直线经过点，则直线的倾斜角为（）A．0° B．30°C．60° D．90°【答案】A【分析】由两点的纵坐标相等，可直接得到直线的倾斜角.【详解】因为两点的纵坐标相等，所以直线平行于轴，所以直线的倾斜角为0°．故选：A6．下列各组点在同一条直线上的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】三个点任选两对点，如果求得的斜率相等，则三点在同一条直线上【详解】A选项：过，的直线的斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，A选项错误；B选项：过，的直线斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，B选项错误；C选项：过点，的直线的斜率．过点，的直线的斜率，，两者相等，故此三点共线．C选项正确D选项：过点，的直线的斜率，过点，的直线斜率，两者不相等，故三点不在同一条直线上，D选项错误.故选：C7．（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）；当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）.故选：BC.8．直线l经过两点，则直线l的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据斜率公式及倾斜角范围求解.【详解】因为线l经过,所以，即，因为，所以，故选：B9．经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，可知，且，解得，即实数m的范围是，故选：C题型二 直线的斜率10．已知直线l经过三点，则直线l的斜率k＝__________，y＝__________．【答案】-2-1【分析】根据两点斜率公式求出直线l的斜率，并根据列出方程，求出答案.【详解】由题意得，由可得，解得.故答案为：-2，-111．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)存在，1(2)存在，(3)不存在【分析】根据两点的坐标，即可求出过两点的直线斜率是否存在，以及斜率的值.【详解】（1）由题意，存在，直线AB的斜率．（2）由题意得，存在，直线CD的斜率．（3）∵，∴直线的斜率不存在．12．如图，已知直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.【详解】解：设直线的倾斜角分别为，由题图知，直线的倾斜角为钝角，.又直线的倾斜角均为锐角，且，，.故选：D.13．已知点，在曲线图像上，且，两点连线的斜率为2，请写出满足条件的一组点______，______．【答案】【分析】根据，在曲线上，设出点，的坐标，由，两点连线的斜率得出，的坐标关系，即可得到满足条件的一组点.【详解】由题意，在中，点，在曲线上，设，，，两点连线的斜率为2，∴，解得：，∴当时，，．故答案为：，.14．过不重合的两点的直线的倾斜角为，则的取值为________．【答案】【分析】由题意得，可求出的取值.【详解】由题意知，所以，即，化简得，解得或当时，重合，不符合题意舍去，当时，，符合题意，所以，故答案为：15．已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.【答案】/【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为，则，由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为，，因为，，所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为，．故答案为：，．16．在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，那么点坐标为__________，若直线的倾斜角为，则其斜率为__________．【答案】【分析】根据点A的坐标可确定直线OA的倾斜角，由题意可得OB的倾斜角，利用三角函数定义可求得B的坐标，继而求出OB的斜率.【详解】设点为角终边上一点，如图所示，．由三角函数的定义可知：，，则，则直线的倾斜角为，将点绕原点逆时针旋转到点，得直线的倾斜角为，且点在角的终边上，由三角函数定义可得点的坐标为，即，且，则．故答案为：．17．已知一直线经过两，，且倾斜角为，则的值为（）A．－6 B．－4C．0 D．6【答案】C【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值列式求得的值．【详解】直线经过两，，．又直线的倾斜角为，斜率一定存在，则直线的斜率为，即．故选：C．18．若经过点和的直线的倾斜角是钝角，则实数的取值范围是________．【答案】，【分析】根据倾斜角为钝角斜率为负，结合直线的斜率公式，解不等式即可得到所求范围．【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以斜率，解得．所以的取值范围是，．故答案为：，．19．（1）若直线经过两点，，且倾斜角为，求的值.（2）若，，三点共线，求实数的值.（3）若直线过点且倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求直线方程.【答案】（1）2（2）5（3）【分析】(1)由题意结合斜率公式得到关于m的方程，解方程即可确定m的值；(2)由题意得到关于t的方程，解方程可得t的值；(3)首先求得直线的斜率，然后利用点斜式可得直线方程.【详解】(1)由题意可得：，解方程可得：；(2)由题意可得：，即：，解方程可得：；(3)设直线的倾斜角为，则，，由点斜式可得所求直线方程为：，整理为一般式即：.【点睛】本题主要考查直线的斜率公式及其应用，二倍角的正切公式，三点共线的充分必要条件，直线的点斜式公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.题型三 倾斜角与斜率的取值范围问题20．已知直线l经过点，两点，则直线l的斜率为______；若，则直线l的倾斜角的取值范围为______．【答案】或.【分析】由两点的斜率公式求得直线的斜率，以及斜率的取值范围，根据斜率与倾斜角的关系分类得出倾斜角的范围．【详解】解：由题易知直线l的斜率存在，故.则，当且仅当，即时，等号成立.所以或，即直线l的倾斜角的取值范围是或.故答案为：；或.21．直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可【详解】设直线的倾斜角为，可得，所以的取值范围为故选：D22．已知过点和的直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】根据斜率和倾斜角关系可得，由可得，解不等式可求得的取值范围.【详解】设直线的倾斜角为，则，为钝角，，则，解得：，即实数的取值范围为.故答案为：.23．直线过相异两点和，则的倾斜角的范围是______.【答案】【分析】当时，可求得重合，由此可知直线斜率存在；由两点连线斜率公式可求得斜率的范围，进而得到，结合可求得结果.【详解】当时，，此时重合，不合题意，直线斜率存在；设直线斜率为，倾斜角为，则；，又，.故答案为：.24．若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】因为直线的斜率，又因为直线的倾斜角为锐角，所以，解得.故选：C25．已知．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为(2)【分析】（1）根据斜率公式运算求解；（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，直线AC的斜率，故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，直线AD的斜率由增大到，所以直线AD的斜率的变化范围是．

26．设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，由图可得的范围，即可得答案.【详解】设直线的倾斜角为，则有，，作出()的图象，如图所示：由此可得.故选：A.27．若直线的倾斜角满足，则的取值范围是__________【答案】【分析】根据直线倾斜角的范围解不等式即可.【详解】直线的倾斜角，，.故答案为：28．直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．【答案】【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.【详解】如图：

当直线l的斜率，直线l的倾斜角的取值范围为：.故答案为：.29．已知两点，过点的直线与线段有公共点．(1)求直线的斜率的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围．【答案】(1)．(2)．【分析】（1）由图可知要使直线与线段有公共点，只需直线的斜率满足或，从而可求得答案；（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线的倾斜角的取值范围．【详解】（1）因为，，所以因为直线与线段有公共点，所以由图可知直线的斜率满足或，所以直线的斜率的取值范围是．

（2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间，因为直线的倾斜角是，直线的倾斜角是，所以的取值范围是．题型四 斜率公式的几何意义30．点在函数的图象上，当，则的取值范围为______.【答案】【分析】把转化为与点所成直线的斜率，作出函数在部分图象上的动点，结合斜率公式，即可求解.【详解】由表示与点所成直线的斜率，又由是在部分图象上的动点，如图所示：可得，则，所以，即的取值范围为.故答案为：.

31．已知点，，若点在线段上，则的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果.【详解】设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是故选:A.32．若实数、满足，，则代数式的取值范围为______【答案】【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案.【详解】如图，，，，则，.因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，由图象可知，，所以有.故答案为：.33．已知坐标平面内三点.(1)求直线的斜率和倾斜角；(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；(3)若是线段上一动点，求的取值范围.【答案】(1)斜率为1，倾斜角为；(2)；(3).【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；(2)设，根据求解即可；(3)因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案.（1）解：因为直线的斜率为.所以直线的倾斜角为；（2）解：如图，当点在第一象限时，.设，则，解得，故点的坐标为；（3）解：由题意得为直线的斜率.当点与点重合时，直线的斜率最小，；当点与点重合时，直线的斜率最大，.故直线的斜率的取值范围为，即的取值范围为.34．已知实数，满足方程，当时，的取值范围为______.【答案】【分析】由题意，将问题转化为过定点且与已知线段相交的直线的斜率的取值范围，作图，可得答案.【详解】由方程，令，解得，令，解得，设，由表示的是点与点所连直线的斜率，则问题等价于过点与线段相交的直线的斜率的取值范围，作图如下：则直线的斜率，直线的斜率，即，故答案为：35．已知点，若点在线段上，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解【详解】可看作与的斜率，则，，因为点在线段上，所以的取值范围为，故选：A36．已知点，，若点在线段上，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】表示点与与直线的斜率取值范围，先求出与点连线斜率，再结合题意即可得出答案.【详解】解：∵，∴可得为点与与直线的斜率取值范围，如图所示：∴与点连线斜率为，与点连线斜率为，∴可得斜率取值范围为．故选:A．37．已知点，，若点在线段AB上，则的取值范围（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，分别求出，，根据表示直线的斜率即可得到结果.【详解】设，则，因为点在线段上，所以的取值范围是，故选：A.题型五 由斜率判断两条直线平行或垂直38．两直线的斜率分别是方程的两根，那么这两直线的位置关系是（

）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】由题意利用根与系数的关系可得两直线的斜率乘积为，从而可判断出两直线的位置关系.【详解】设两直线的斜率分别为，，因为，是方程的两根，所以利用根与系数的关系得，所以两直线的位置关系是垂直．故选：A．39．（多选）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC40．过点和点的直线与直线的位置关系是（

）A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对【答案】B【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.【详解】过点和点的直线方程为，斜率为0，又因为直线斜率为0，所以两直线平行.故选：B41．（多选）下列说法中，正确的有（

）A．斜率均不存在的两条直线可能重合B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则【答案】ACD【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，若，则斜率均不存在，但两者重合，故A正确；对于BD，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为，故B错误；D正确；对于C，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为时，这两条直线垂直，故C正确.故选：ACD.42．判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)经过点，经过点；(2)的斜率为，经过点.【答案】(1)不平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【分析】（1）分别计算出和的斜率，再比较两斜率是否相等即可；（2）求出的斜率，再与的斜率比较即可.【详解】（1）设直线，的斜率分别为，，因为经过点，经过点，所以，，所以，所以与不平行；（2）设直线，的斜率分别为，，则，因为经过点，所以，所以，所以与不平行.43．（多选）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（

）A．若斜率，则 B．若，则C．若倾斜角，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则，正确；对于D,若，不妨取，则，不满足，不垂直，D错误，故选：44．判断下列各题中直线与是否平行．(1)经过点，，经过点，；(2)经过点，，经过点，．【答案】(1)不平行(2)平行【分析】（1）求出、，即可判断；（2）求出、的方程，即可判断.【详解】（1）因为经过点，，所以，又经过点，，所以，因为，所以与不平行；（2）直线经过点，的方程为，直线经过点，的方程为，故直线和直线平行；45．已知四边形的顶点坐标为，求证：四边形为矩形．【答案】证明见解析【分析】先利用斜率的关系证明两组对边分别平行，可得四边形为平行四边形，再由一组邻边所在的直线的斜率乘积为，可得一组邻边垂直，从而可得结论.【详解】因为，所以，，所以，，所以∥，∥，所以四边形为平行四边形，因为，所以，所以四边形为矩形.46．（多选）若，，，，下面结论中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】通过点的坐标得到相应直线的斜率，通过直线斜率判断直线的位置关系即可.【详解】，，且C不在直线AB上，∴，故A正确；又∵，∴，∴，故B正确；∵，，∴，，∴，故C正确；又∵，，∴∴，故D错误．故选:ABC．题型六 已知直线平行或垂直求参数47．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且直线与垂直，则直线的斜率为___________.【答案】【分析】设，的倾斜角分别为，，求出直线的斜率即求出；根据题意可知，进而求出即求出直线的斜率；然后根据直线与垂直，求出直线的斜率.【详解】直线直线的斜率为，设，的倾斜角分别为，，则，直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍

，，直线的斜率为.直线与垂直，，.直线的斜率为.故答案为：48．已知的顶点坐标为，，，若为直角三角形，则m的值为______．【答案】，3或【分析】结合斜率公式，分，，三种情况讨论求解即可.【详解】解：，，．若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得．综上所述，m的值为，3或．故答案为：，3或49．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：(1)倾斜角为135°；(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行.【答案】(1)m＝－或1(2)m＝或－3(3)m＝或－1【分析】（1）倾斜角是，斜率为，由两点坐标计算出斜率，等于－1可得值；（2）求出过两点(3,2)，(0，－7)的直线的斜率，由斜率互为负倒数可得；（3）求出过两点(2，－3)，(－4,9)的直线的斜率，由斜率相等可得．【详解】（1）由kAB＝＝－1，解得m＝－或1.（2）由kAB＝，且＝3，∴＝－，解得m＝或－3.（3）令＝＝－2，解得m＝或－1.50．已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（

）A．1 B．6 C．0或6 D．0【答案】D【分析】求出直线与的斜率，利用两个斜率乘积等于即可求解.【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，且与垂直，所以直线斜率存在，由经过点和，所以直线斜率为，所以，解得：，故选：D51．已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值．【答案】5或2【分析】分析两直线的斜率是否存在，再根据直线垂直判断斜率之间的关系求出a.【详解】因为直线经过点，，且，所以的斜率存在，设斜率为，当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直．当时，，此时直线斜率存在．由，得．解得．综上，的值为或．52．已知，，，，若直线直线，则_____．【答案】0或1【分析】讨论直线斜率不存在的情况，表示出直线，的斜率，然后解方程，判断两直线是否重合，可得答案.【详解】当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，与不平行，不合题意；当时，直线的斜率不存在，而直线的斜率存在，与不平行，不合题意；当且时，，,因为直线直线，所以，即，解得或,经检验，当时，,即，不重合，同理当时，直线，不重合．综上，的值为或．故答案为：或．53．若直线与平行，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】斜率存在的两直线平行，斜率相等截距不等.【详解】直线与平行，所以，.故选：C.54．已知，，．(1)求点的坐标，满足，；(2)若点在x轴上，且，求直线的倾斜角．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；（2）根据条件可得即可求出结果.【详解】（1）设，由已知得，又，可得，即．①由已知得，又，可得，即．②联立①②解得，∴．（2）设，∵，∴，又∵，，∴，解得．∴，又∵，∴轴，故直线MQ的倾斜角为90°．55．（多选）已知点，，．若为直角三角形，则可能有（）A． B．C． D．【答案】AB【分析】若为直角三角形，则直角顶点有三种情况，以分别为直角顶点，讨论找关系，得到AB选项正确，CD选项错误，最后得答案.【详解】由题意知，若为直角顶点，则在轴上，则必为，此时，重合，不符合题意，故C错误；若为直角顶点，则，故A正确；若B为直角顶点，根据斜率关系,可知，所以，即，故B正确；和不可能同时成立，所以不可能成立，故D错误.故选：AB．56．已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（

）A． B．