人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习3.1.1椭圆及其标准方程(六种常考题型)(原卷版+解析)

3.1.1椭圆及其标准方程(六种常考题型)知识点一椭圆的定义我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距．根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集．知识点二椭圆的标准方程椭圆焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形焦点坐标焦距的关系题型一 根据椭圆的定义求动点轨迹1．设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段2．在平面直角坐标系中，已知点，，动点与点关于原点对称，四边形的周长为8，记点的轨迹为曲线．求的方程.3．已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是______．4．方程化简后为______．5．方程，化简的结果是（

）A． B． C． D．6．已知椭圆：的右焦点为F，直线交椭圆E于M，N两点，若，短轴的一个端点到直线l的距离是.(1)求椭圆E的方程；7．已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，求顶点C的轨迹方程．8．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6，求点的轨迹的方程.题型二 求椭圆的标准方程9．若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．以上都不对10．若已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（

）A．4 B．5 C．7 D．811．过点且与有相同焦点的椭圆方程为（

）A． B．C． D．12．已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.(1)求椭圆的标准方程；13．已知椭圆的左焦点到直线的距离为，求椭圆的标准方程.14．如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.(1)若，轴，求椭圆C的方程；15．已知椭圆C过点，；过原点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点.(1)求椭圆C的标准方程；16．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.(1)求椭圆的方程；题型三 根据方程表示椭圆求参数17．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件18．“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件19．方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（

）A．且 B． C． D．20．已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的______条件．21．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是__________．22．若曲线是焦点在x轴的椭圆，则的取值范围为_________．23．（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（）A．1 B． C．2 D．324．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______．题型四 椭圆的焦点三角形问题25．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．26．已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．27．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.28．设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（

）A．12 B．24 C． D．29．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（

）A．20 B．36 C．64 D．10030．已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_________.31．已知椭圆的两个焦点为、，若点P是椭圆上的点，且，则______．32．已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（

）A．25 B． C．12 D．2433．设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.题型五 与椭圆有关的轨迹问题34．已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线35．已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是________；36．设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；37．已知在平面直角坐标系xOy中一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为．设点A的坐标是．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．38．在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．39．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程；40．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．41．已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为______________．42．以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是____.题型六 椭圆中的最值问题43．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．444．已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A．64 B．16 C．8 D．445．如图，菱形架ABCD是一种作图工具，由四根长度均为4的直杆用铰链首尾连接而成.已知A，C可在带滑槽的直杆上滑动；另一根带滑槽的直杆DH长度为4，且一端记为H，另一端用铰链连接在D处，上述两根带滑槽直杆的交点P处有一栓子（可在带滑槽的直杆上滑动）.若将H，B固定在桌面上，且两点之间距离为2，转动杆HD，则点P到点B距离的最大值为__________.46．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．647．已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值．48．已知为椭圆上的一点，若分别是圆和上的点，则的最大值为__________.49．已知点，P是椭圆上的动点，则的最大值是______．50．（多选）已知点，P为椭圆上的动点，则的（

）A．最大值为 B．最大值为C．最小值为 D．最小值为

3.1.1椭圆及其标准方程(六种常考题型)知识点一椭圆的定义我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距．根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集．知识点二椭圆的标准方程椭圆焦点在轴上焦点在轴上标准方程图形焦点坐标焦距的关系题型一 根据椭圆的定义求动点轨迹1．设定点，，动点P满足条件，则点P的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段【答案】A【分析】根据椭圆的定义可判断动点的轨迹.【详解】因为，，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.2．在平面直角坐标系中，已知点，，动点与点关于原点对称，四边形的周长为8，记点的轨迹为曲线．求的方程.【答案】（）【分析】先根据点与点关于原点对称，点与点也关于原点对称，得四边形为平行四边形，再根据四边形的周长，求出，进而判断出点的轨迹，然后即可求解.【详解】因为动点与点关于原点对称，所以四边形为平行四边形，又因为四边形的周长为8，所以，所以点的轨迹为椭圆（去掉长轴两端点），设其方程为，其中半焦距，，所以，所以曲线的方程为（）.3．已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是______．【答案】【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程.【详解】因为M到顶点和的距离的和为，所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（），则，，所以，，M的轨迹方程为.故答案为：.4．方程化简后为______．【答案】【分析】运用方程的几何意义得出结果.【详解】解：∵，故令，，∴，∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆，即，，，∴方程为.故答案为：.5．方程，化简的结果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由条件利用椭圆的定义、标准方程，即得.【详解】由，可得点到定点，的距离之和等于12，即，所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，设其方程为，则，，所以，，故方程为.故选：B.6．已知椭圆：的右焦点为F，直线交椭圆E于M，N两点，若，短轴的一个端点到直线l的距离是.(1)求椭圆E的方程；【答案】(1)【分析】（1）根据椭圆的定义，结合题意进行求解即可；【详解】（1）设椭圆的左焦点为，则，∵，∴，∴，由点到直线l的距离为得，故椭圆E方程为：；7．已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，求顶点C的轨迹方程．【答案】【分析】利用椭圆的定义进行求解即可,【详解】因为△ABC的周长为16，所以，设，因此顶点C的轨迹是以A（－3，0），B（3，0）为焦点不与横轴相交的椭圆，设，所以，所以顶点C的轨迹方程为.8．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6，求点的轨迹的方程.【答案】【分析】根据题意可知，的和为定值，利用椭圆的定义可求得轨迹方程.【详解】解：因为为的重心，所以且边上的两条中线长度之和为6，所以，故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以,的轨迹的方程为.题型二 求椭圆的标准方程9．若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为，则这个椭圆的方程为（

）A． B．或C． D．以上都不对【答案】B【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得，由焦点到椭圆上点的最短距离为，结合可得.【详解】

由题意，当椭圆焦点在轴上，设椭圆方程为：，由题意，，所以，，，，所以椭圆方程为：，当椭圆焦点在轴上时，同理可得：，故选：B10．若已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于（

）A．4 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】根据题意直接列式求解即可.【详解】由题意可得：，解得.故选：A.11．过点且与有相同焦点的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可.【详解】由知，焦点为，，即，.设所求椭圆方程为，则，解得，故所求椭圆方程为.故选：A.12．已知点为椭圆的左顶点，点为右焦点，直线与轴的交点为，且，点为椭圆上异于点的任意一点，直线交于点.(1)求椭圆的标准方程；【答案】(1)【分析】（1）根据焦点坐标和条件列方程求解；【详解】（1）由已知得，故，由得，，得，又因，所以，所以椭圆的标准方程；13．已知椭圆的左焦点到直线的距离为，求椭圆的标准方程.【答案】【分析】椭圆方程转化为标准方程，求出左焦点，由点到直线的距离公式列式求解即可.【详解】椭圆转化为标准方程得：，所以，则左焦点，由点到直线的距离公式可得：，所以椭圆的标准方程为.14．如图，A、F是椭圆C：（）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点.(1)若，轴，求椭圆C的方程；【答案】(1)【分析】（1）首先得，将点代入椭圆方程，结合关系即可得到答案；【详解】（1）由已知可得，所以.又点在椭圆C：上，所以.联立，解得，，因此椭圆C的方程为.15．已知椭圆C过点，；过原点且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点.(1)求椭圆C的标准方程；【答案】(1)【分析】（1）设出椭圆方程，通过代点求出系数，得到椭圆方程.【详解】（1）设椭圆，则解得故椭圆C的标准方程为；16．已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.(1)求椭圆的方程；【答案】(1)【分析】（1）由于椭圆的焦点位置未知，可设椭圆的一般式方程，将点代入所设方程，即可求解；【详解】（1）设椭圆的方程为，因过，，故,解得，，所以椭圆的方程为：；题型三 根据方程表示椭圆求参数17．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】把方程化为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，方程，可化为标，当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立；若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立，所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.故选：A.18．“”是“方程表示椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示椭圆的条件求解.【详解】方程表示椭圆，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选：B.19．方程表示椭圆的一个充分不必要条件是（

）A．且 B． C． D．【答案】B【分析】根据方程表示椭圆，列出不等式组，求出的取值范围，然后根据充分不必要条件概念即可求解.【详解】若方程表示椭圆，则有，解得且，因为是集合且的真子集，所以“”是“方程表示椭圆”的充分不必要条件，故选：B.20．已知P：，Q：表示椭圆，则P是Q的______条件．【答案】必要不充分【分析】先求出方程表示椭圆时的范围，再利用充分条件与必要条件的定义判定即可．【详解】若方程表示椭圆，则且，且，是方程表示椭圆的必要不充分条件，即P是Q的必要不充分条件.故答案为：必要不充分．21．已知方程表示椭圆，则实数k的取值范围是__________．【答案】且【分析】根据方程表示椭圆有，即可得范围.【详解】由方程表示椭圆，则，可得且.故答案为：且22．若曲线是焦点在x轴的椭圆，则的取值范围为_________．【答案】【分析】先化曲线方程为椭圆标准方程形式，再根据条件列不等式，即可得解.【详解】由曲线，得，因为曲线是焦点在x轴的椭圆，所以，解得，即的取值范围为.故答案为：.23．（多选）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的可能取值为（）A．1 B． C．2 D．3【答案】ABC【分析】根据焦点在轴上的椭圆标准方程的方程特征可得答案.【详解】方程可化为，依题意，解得.故选：ABC．24．方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______．【答案】【分析】根据椭圆方程分析运算.【详解】由题意可得且，若表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，所以实数k的取值范围为.故答案为：.题型四 椭圆的焦点三角形问题25．已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（

）A．6 B．12 C． D．【答案】C【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.【详解】由椭圆，得，，.

设，，∴，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.26．已知是椭圆上的点，､分别是椭圆的左､右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由条件根据向量夹角公式求，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.【详解】设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，，即.设，所以由椭圆的定义可得：①.因为，所以由数量积的公式可得：，所以.在中，所以由余弦定理可得：②，由①②可得：，所以.故选：A.27．设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，，若，的周长为16，求.【答案】5【分析】由已知可求得，然后根据已知结合椭圆的定义可推得，，即可得出答案.【详解】由已知，，可得，.因为的周长为16，则.根据椭圆定义可得，，所以，，所以，，所以，.28．设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为（

）A．12 B．24 C． D．【答案】D【分析】将三角形周长整理并结合椭圆的定义，即可求得答案.【详解】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，又过的直线交椭圆于A、B两点，故的周长，故选：D29．已知点为椭圆上一点，椭圆的两个焦点分别为，，则的周长是（

）A．20 B．36 C．64 D．100【答案】B【分析】根据给定的椭圆方程，求出长短半轴长、半焦距即可作答.【详解】椭圆的长半轴长，短半轴知，半焦距，依题意，的周长为.故选：B30．已知椭圆的焦点分别为，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为_________.【答案】8【分析】由图形及椭圆定义可得答案.【详解】由椭圆方程可得，又由图可得的周长为.故答案为：831．已知椭圆的两个焦点为、，若点P是椭圆上的点，且，则______．【答案】4【分析】由椭圆的定义可得，由，得，进而可得，则，又，得，解得，再代入椭圆的方程，解得，即可得出答案．【详解】由题知，，，因为点在椭圆上，所以，则，又因为，所以，故，设，由，得，将代入椭圆方程解得，故.故答案为：4.32．已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（

）A．25 B． C．12 D．24【答案】A【分析】计算得到，，根据正弦定理得到答案.【详解】由椭圆，可得，，所以，所以，．在中，由正弦定理可得．故选：A33．设和为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且满足，则的面积是__________.【答案】/【分析】将椭圆方程化为标准式，即可求出、、，由，可得点为短轴顶点，最后由面积公式计算可得.【详解】椭圆，即，所以，，，因为，所以点为短轴顶点，所以.故答案为：题型五 与椭圆有关的轨迹问题34．已知，A，B分别在y轴和x轴上运动，O为原点，，则动点P的轨迹方程是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【分析】设出点的坐标，利用进行转化，利用可得答案.【详解】设，因为，所以；因为，所以，即，所以，整理得，其轨迹是椭圆.故选：B.35．已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是________；【答案】【分析】设，由，得，在根据，转化为平面向量关系建立方程组，建立间的关系，代入中化简即可.【详解】设，因为，所以，①因为点在线段上，且，所以，即代入①，即，故答案为：.36．设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程；【答案】；【分析】首先设点和的坐标，再根据向量间的关系，采用代入法求点的轨迹.【详解】设，，则，，由得.因为在C上，所以.因此点P的轨迹为.37．已知在平面直角坐标系xOy中一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且右顶点为．设点A的坐标是．(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)结合题干条件得，再求得半短轴长即可；(2)假设，点由中点坐标公式得，代入椭圆方程即可;(3)分直线是否垂直于x轴两种情况分析，求得弦长，点A到直线BC的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值即可.【详解】（1）由已知得，则．又椭圆的焦点在横轴上，∴椭圆的标准方程为（2）设线段PA的中点为，点，则由点P在椭圆上，则整理得：∴线段PA中点M的轨迹方程是（3）当直线BC垂直于x轴时，BC=2，则；当直线BC不垂直于x轴时，设直线方程为，代入计算得出，则，则，，则|,点A到直线BC的距离∴当，当，而，则，故则当且仅当，即时，最大值为.∴最大值为.38．在直角坐标系xOy中已知，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，然后根据斜率之积为列方程整理可得；（2）方法一：利用点差法求得直线斜率，再联立直线方程和椭圆方程消元，由弦长公式可得；方法二：设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理和点Q坐标求出直线方程，然后由弦长公式可得.【详解】（1）设，由题可得，则．整理得，故曲线C的方程为．（2）（法一）设，则两式相减得，则，因为线段MN的中点，所以，所以，故直线l的方程为，即，联立方程组，消去y整理得，，则，则.

（法二）易知直线斜率存在，设直线方程为，联立方程组，消去y整理得，，则,

又，可求得，即有，则.39．在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足.记的轨迹为.求的方程；【答案】.【分析】设，则，，，根据题意列出等式，化简求出结果即可；【详解】设，则，，，，.，即，的轨迹为的方程为.40．点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解.【详解】设，因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，所以，即，整理得，故选:C.41．已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为______________．【答案】.【分析】先设点,再由应用相关点法求轨迹方程即可.【详解】设点，由得点，而点P为椭圆上的任意一点，于是得，整理得：，所以点M的轨迹方程是.故答案为:42．以为圆心的动圆与圆和圆均相切，若点的轨迹为椭圆，则的取值范围是____.【答案】【分析】根据条件，进行以为圆心的动圆与两圆相外切和与圆外切，与圆内切，两种情况讨论，利用点的轨迹为椭圆，即可得出结果.【详解】由题知，若以为圆心的动圆与两圆均外切，如图，

令以为圆心的动圆半径为，则，，因，所以此时点的轨迹不是椭圆，不符合题意；若以为圆心的动圆与圆外切，与圆内切，如图，

令以为圆心的动圆半径为，则，，因，若点的轨迹为椭圆，则，即，且圆与圆不相交，即，综上，若点的轨迹为椭圆，则.故答案为：题型六 椭圆中的最值问题43．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【分析】由椭圆的定义可得，结合，即可求解.【详解】由椭圆，可得，所以，又由椭圆的定义可得，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：D.44．已知分别为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，则的最大值为（

）A