人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习3.3.2抛物线的简单几何性质(七种常考题型)(原卷版+解析)

3.3.2抛物线的简单几何性质（七种常考题型）知识点一抛物线的简单几何性质标准方程图象性质范围对称轴x轴y轴顶点焦点准线离心率知识点二通径与焦半径1．通径过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p．2．焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程焦半径知识点三直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系(1)直线的斜率存在时设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程.①若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相离,无交点．②若,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个交点．因此,直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)直线的斜率不存在时设直线,抛物线：.显然,当时,直线与抛物线相离,无交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相交,有两个交点．2．直线与抛物线相交弦的弦长公式设直线与抛物线的两个交点为,则或题型一抛物线几何性质的应用1．在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.（1）求点的轨迹的方程；（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.2．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.（1）；（2）；（3）．通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．3．下列命题中正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标为．B．抛物线的准线方程为x=−1．C．抛物线的图象关于x轴对称．D．抛物线的图象关于y轴对称．4．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．05．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞26．（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（

）A．曲线的方程为B．曲线关于轴对称C．当点在曲线上时，D．当点在曲线上时，点到直线的距离7．已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（

）A．4 B．8 C．10 D．16题型二直线与抛物线的位置关系问题8．命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件9．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条10．过点与抛物线只有一个交点的直线有（）条.A．1 B．2 C．3 D．411．已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条13．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A． B．C． D．题型三与抛物线有关的弦长问题14．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．15．已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．16．已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．617．直线与抛物线交于两点，求线段AB的长．18．已知斜率为的直线过抛物线C：的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为3，则k的值为（

）A． B． C． D．题型四抛物线的焦点弦问题19．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为.20．已知抛物线过点（）．(1)求C的方程；(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．21．已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则．22．（多选）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．C． D．23．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，且是线段的中点，则（

）A． B． C． D．24．设抛物线的焦点为F，过F作直线l与C交于A、B两点．(1)若弦长，求直线l的方程；(2)求证：当直线轴时，的面积最小．题型五与抛物线有关的中点弦问题25．斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；26．已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（

）A． B． C． D．27．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是．28．已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（

）A． B． C． D．29．已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．30．已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.题型六与抛物线有关的定值问题31．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是．32．已知O为坐标原点，抛物线的准线与圆交于M，N点，抛物线C与圆O交于两点，且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)动点G在抛物线C的准线上，直线AB与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于两点，AB与的交点为G，且，设直线AB，的斜率分别为，证明：为定值．33．已知抛物线：的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．34．已知是抛物线上一点，过作圆的两条切线（切点为），交抛物线分别点且当时，.(1)求抛物线的方程;(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.35．已知为坐标原点，抛物线，点在，但不在轴上，过点且与垂直的直线交抛物线于点，（点在，之间），.(1)求抛物线的方程；(2)连接，分别交抛物线于，，设直线的斜率为，直线斜率为，求证：为定值.36．如图，已知抛物线的焦点为，圆心为焦点的圆与轴相切.过点的直线交抛物线与圆分别为（从上到下）.(1)证明：是定值；(2)若，的面积比是，求直线的方程.题型七与抛物线有关的定点问题37．设A、B为抛物线上的点，且（O为原点），则直线必过的定点坐标为．38．设抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，且．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线与抛物线C交于A，B两点，若，求证：线段AB的垂直平分线过定点．39．在平面直角坐标系中，已知点，点满足以为直径的圆均与轴相切，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.40．已知抛物线的焦点为是抛物线上的任意一点.当轴时，的面积为4（为坐标原点）.(1)求抛物线的方程；(2)设直线与抛物线相交于两点，且直线的倾斜角之和为，求证：直线过定点.41．已知点O为抛物线y2＝2x的顶点，点A，B都在抛物线上，且∠AOB＝90°，证明：直线AB必过一定点．42．已知为抛物线的焦点，为抛物线在第一象限上的一点，且轴，．(1)求抛物线的标准方程；(2)已知直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点．

3.3.2抛物线的简单几何性质（七种常考题型）知识点一抛物线的简单几何性质标准方程图象性质范围对称轴x轴y轴顶点焦点准线离心率知识点二通径与焦半径1．通径过焦点垂直于对称轴的弦称为抛物线的通径,其长为2p．2．焦半径抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径,设抛物线上任一点,则四种标准方程形式下的焦半径公式为标准方程焦半径知识点三直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系(1)直线的斜率存在时设直线,抛物线,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程.①若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相离,无交点．②若,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合,直线与抛物线只有一个交点．因此,直线与抛物线有一个交点,是直线与抛物线相切的必要不充分条件．(2)直线的斜率不存在时设直线,抛物线：.显然,当时,直线与抛物线相离,无交点；当时,直线与抛物线相切,有一个交点；当时,直线与抛物线相交,有两个交点．2．直线与抛物线相交弦的弦长公式设直线与抛物线的两个交点为,则或题型一抛物线几何性质的应用1．在平面直角坐标系中，点到直线：的距离比到点的距离大2.（1）求点的轨迹的方程；（2）请指出曲线的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.【答案】（1）；（2）对称性：曲线关于轴对称；顶点：；范围：曲线在直线右侧，且右上方和右下方无限延伸.理由见解析【分析】（1）设，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果；（2）根据由抛物线向右平移一个单位得到，结合抛物线的性质，即可得出结果.【详解】（1）由题意可得：动点到直线的距离与到的距离相等，设，则，化简整理，可得，所以点的轨迹的方程为；（2）由（1）得的方程为；即由抛物线向右平移一个单位得到；所以曲线也关于轴对称，顶点为，范围为，.2．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线.（1）；（2）；（3）．通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系．【答案】答案见解析.【分析】做出抛物线，根据图象得出结论.【详解】在同一平面直角坐标系内做出抛物线，如图，通过图象可以看出来，当x的系数为正数且越大时，抛物线的开口向右且开口越大.3．下列命题中正确的是（

）A．抛物线的焦点坐标为．B．抛物线的准线方程为x=−1．C．抛物线的图象关于x轴对称．D．抛物线的图象关于y轴对称．【答案】C【分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案.【详解】抛物线的焦点坐标为，故A错误；抛物线的准线方程为，故B错误；抛物线的图象关于x轴对称，故C正确，D错误；故选：C.4．已知点（x，y）在抛物线y2=4x上，则的最小值是（

）A．2 B．3 C．4 D．0【答案】B【分析】将抛物线方程代入，利用二次函数的性质配方即可求最值.【详解】因为点(x，y)在抛物线y2=4x上，所以x≥0，因为z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2，所以当x=0时，z最小，最小值为3.故选：B.5．若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（

）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2【答案】D【解析】根据抛物线的几何性质当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值，列不等式求解.【详解】∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2．故选：D．【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题.6．（多选）平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线．则（

）A．曲线的方程为B．曲线关于轴对称C．当点在曲线上时，D．当点在曲线上时，点到直线的距离【答案】AB【分析】由抛物线定义，可知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，依次判断，即得解【详解】由抛物线定义，知曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，其方程为，故A正确；若点在曲线上，则点也在曲线上，故曲线关于轴对称，故B正确；由知，故C错误；点到直线的距离，所以D错误故选：AB7．已知抛物线，以为圆心，半径为5的圆与抛物线交于两点，若，则（

）A．4 B．8 C．10 D．16【答案】B【分析】由圆和抛物线的对称性及|AB|的长，可以得到点A,B的纵坐标，代入抛物线方程得到其横坐标关于p的函数表达式，再代入圆的方程求得p的值.【详解】以为圆心，半径为5的圆的方程为,由抛物线，得到抛物线关于x轴对称，又∵上面的圆的圆心在x轴上，∴圆的图形也关于x轴对称，∴它们的交点A,B关于x轴对称，因为|AB|=8，∴A,B点的纵坐标的绝对值都是4，∵它们在抛物线上，于是A点的横坐标的值,不妨设A在x轴上方，则A点的坐标为,又∵A在圆上，∴,解得,故选：B.【点睛】本题考查抛物线的方程和几何性质，涉及圆的方程和性质，关键是利用抛物线和圆的对称性，结合弦长求得A,B的纵坐标，进而得到其横坐标，代入圆的方程求得p的值.题型二直线与抛物线的位置关系问题8．命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【答案】C【分析】由充分必要条件的概念结合抛物线的性质可得结果．【详解】∵抛物线的对称轴为轴，∴一条直线与抛物线有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与轴垂直，∵直线存在斜率，与轴不垂直，∴“直线与抛物线有且仅有一个公共点”等价于“直线与抛物线相切”，则命题p是命题q的充要条件.故选：C.9．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】B【分析】分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，将直线与方程联立，分析即得解；【详解】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有两个交点．不满足要求，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消得，，当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意；当时，由，可得，即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．故选：B.10．过点与抛物线只有一个交点的直线有（）条.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先验证点在抛物线外，进而根据抛物线的图象和性质可得到答案．【详解】解：由题意可知点在抛物线外故过点且与抛物线只有一个公共点时只能是：①过点且与抛物线相切，此时有两条直线；②过点且平行对称轴轴，此时有一条直线；则过点与抛物线只有一个交点的直线有3条.故选：C．11．已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件的定义先判断充分性，再利用必要性的定义判断必要性.【详解】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件；当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件.综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件.故选：B12．已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（

）A．0条 B．1条 C．2条 D．3条【答案】C【分析】考虑直线斜率存在，和不存在三种情况，设直线方程为，联立方程，根据得到答案.【详解】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；当直线斜率时，易知满足条件；当直线斜率存在且时，设直线方程为，即，，整理得到，，，解得，直线方程为.综上所述：满足条件的直线有2条.故选：C13．已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围.【详解】当时，直线，与抛物线有交点，所以，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.故选：A题型三与抛物线有关的弦长问题14．过原点的一条直线与圆相切，交曲线于点，若，则的值为．【答案】【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．【详解】易知圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，所以，解得：，由解得：或，所以，解得：．当时，同理可得．故答案为：．15．已知直线l过点，且垂直于x轴．若l被抛物线截得的线段长为，则抛物线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将代入可得交点坐标，结合弦长为可得，进而得到抛物线的焦点坐标即可【详解】当时，，显然，解得，故，解得，故抛物线，焦点坐标为故选：A16．已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】将代入，求出点、的坐标，利用弦长求出，进而求得结果.【详解】将代入，解得，则、，所以，解得，则.故选：C.17．直线与抛物线交于两点，求线段AB的长．【答案】．【分析】直线方程与抛物线方程联解得一个关于的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段的长度．【详解】解：抛物线，直线，将直线方程代入到抛物线方程中，得：，整理得：，设，，，，由一元二次方程根与系数的关系得：，，所以弦长．18．已知斜率为的直线过抛物线C：的焦点F且与抛物线C相交于A，B两点，过A，B分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为，，若与的面积之比为3，则k的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设的方程为，联立直线与抛物线方程，设点、，由条件关系结合设而不求法列方程求的值.【详解】因为抛物线的焦点的坐标为，所以直线的方程为，联立，得，方程的判别式，设点、，由韦达定理可得，，由已知和抛物线定义知，所以，得，即，故，解得.故选：A.题型四抛物线的焦点弦问题19．过抛物线的焦点且倾斜角为的直线被抛物线截得的弦长为.【答案】【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线的倾斜角为，设直线与抛物线交于两点，则直线的方程为，代入得，则，，，，，则，故答案为：20．已知抛物线过点（）．(1)求C的方程；(2)若斜率为的直线过C的焦点，且与C交于A，B两点，求线段的长度．【答案】(1)(2)【分析】（1）由抛物线过点，代入原式方程可得抛物线方程；（2）由直线过抛物线的焦点与已知斜率可求出直线AB，将直线AB与抛物线联立，利用韦达定理结合抛物线的定义可得答案.【详解】（1）∵抛物线过点，∴．又∵，∴，上故的方程为．（2）设，，由（1）知，抛物线的焦点为，∵直线的斜率为，且过点，∴直线的方程为，

联立得，则．

∴，故线段的长度为．21．已知抛物线的焦点为，过的动直线与抛物线交于两点，满足的直线有且仅有一条，则．【答案】2【分析】根据抛物线定义表示焦点弦，结合通径公式，即可求解.【详解】设交点坐标为过的直线为，与抛物线联立可得，，故．，故当时，动直线有且仅有一条，即，故．故答案为：2.22．（多选）设F为抛物线C：的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】求得直线AB的方程，代入抛物线方程，由根与系数的关系求解可判断CD；利用数量积的定义计算可判断B；由抛物线的定义求解可判断A．【详解】抛物线C的焦点为，所以直线AB的方程为，将代入，整理得，设，由根与系数的关系得，故D错误；，故C错误；，故B正确；由抛物线的定义可得，故A正确.故选：AB．23．已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于、两点，交准线于点，且是线段的中点，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设点、在直线上的射影点分别为、，设，可得出，求出线段的长，可得出的值，进而可求得的值.【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，设点、在直线上的射影点分别为、，如图所示：

设，因为为线段的中点，，，则，所以，，由抛物线的定义可得，，所以，，所以，，因为轴，则，设直线交轴于点，则，，所以，，又因为，可得，故.故选：A.24．设抛物线的焦点为F，过F作直线l与C交于A、B两点．(1)若弦长，求直线l的方程；(2)求证：当直线轴时，的面积最小．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）联立直线与抛物线方程，运用韦达定理及抛物线的焦点弦公式可求得结果.（2）由韦达定理及三角形面积公式可得，转化为求此函数的最小值即可.【详解】（1）如图所示，设，,因为直线l过焦点，所以直线l的方程为，联立，所以，，所以，由抛物线的定义知，，又因为，所以，解得：，所以直线l的方程为：.（2）如图所示，证明：由（1）知，，，所以，所以当时，△的面积取得最小值2，此时直线轴.题型五与抛物线有关的中点弦问题25．斜率为1的直线交抛物线于，两点，且弦中点的纵坐标为2.求抛物线的标准方程；【答案】【分析】设，代入抛物线方程相减，利用弦中点坐标，直线斜率求得，得抛物线方程．【详解】设，，，两式相减并化简得，，所以抛物线方程为.26．已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，利用“点差法”，结合线段的中点坐标为，即可求得答案.【详解】设，则，，故，由于线段的中点坐标为，故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，故，即，所以直线的斜率为.故选：C27．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是．【答案】3【分析】由题设知直线为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得的中点横坐标，进而得纵坐标，即得.【详解】由题意，抛物线为，则，即直线为，∴将直线方程代入抛物线整理得：，设，，则，故线段的中点的横坐标为代入直线，得，∴线段的中点到轴的距离是.故答案为：3.28．已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据点差法以及两点斜率公式可得，即可求解.【详解】设,则，相减得，由于,所以，所以,将其代入中可得，所以,故,故选：C29．已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且．(1)求抛物线的方程；(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据抛物线的定义求解；（2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程；【详解】（1）因为，所以，故抛物线的方程为．（2）

易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则两式相减得，整理得．因为的中点为，所以，所以直线的方程为，即.30．已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）先求直线的方程，联立抛物线的方程，用弦长公式可得.（2）可用点差法解决中点弦问题.【详解】（1）因直线的倾斜角为，所以直线的斜率，又因直线过点，所以直线的方程为：，即，联立得，设，，所以，，所以（2）因、在抛物线上，所以，，两式相减得：，得，故直线的斜率为4，所以直线的方程为：，即题型六与抛物线有关的定值问题31．过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，则的值是．【答案】【分析】设出直线AB方程，与抛物线方程联立得出与，再代入斜率公式即可得出答案.【详解】由题意知，抛物线焦点坐标为，从而设直线AB的方程为，联立方程，得，，，.所以.故答案为：.32．已知O为坐标原点，抛物线的准线与圆交于M，N点，抛物线C与圆O交于两点，且．(1)求抛物线C的标准方程；(2)动点G在抛物线C的准线上，直线AB与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于两点，AB与的交点为G，且，设直线AB，的斜率分别为，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意，结合条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，设，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理得到，然后再由列出方程，化简即可得到结果.【详解】（1）由对称性可知，轴，所以，，则O到MN的距离与O到的距离相等，均为，所以直线过抛物线C的焦点，设，由，解得，所以抛物线C的标准方程为；（2）设，直线AB的方程为：，则，将代入可得：，所以，因为，所以，设直线的方程为：，则，同理可得|，因为，所以，即，所以为定值．33．已知抛物线：的焦点为.

(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线在轴上方一点的横坐标为，过点作两条倾斜角互补的直线，与曲线的另一个交点分别为，，求证：直线的斜率为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据已知中抛物线：的焦点为，求出值，可求抛物线的标准方程；（2）设出直线、的方程与椭圆方程联立，求出、的坐标，利用斜率公式，即可证明直线的斜率为定值．【详解】（1）抛物线：的焦点为，，解得，故抛物线的标准方程为：；（2）点的横坐标为，即，解得，故点的坐标为，设，，由已知设：，即，代入抛物线的方程得，即，则，故，所以，即，设：，即，同理可得，则，即直线的斜率，所以直线的斜率为定值．34．已知是抛物线上一点，过作圆的两条切线（切点为），交抛物线分别点且当时，.(1)求抛物线的方程;(2)判断直线的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.【答案】(1)(2)是定值，【分析】（1）由几何图形直观得到的等量关系，求解即可；（2）直线的倾斜角互补，斜率相反，从而得到直线的斜率即可.【详解】（1）如图，易知，即.∵

∴，即.代入得，∴抛物线.（2）法1:易知，直线的倾斜角互补，斜率相反，设直线，直线，则，即.依题意，有，即.用代替得，∴直线的斜率为.综上知，直线的斜率为定值.法2：易知，直线的倾斜角互补，斜率相反，设，则由得：，化简得.∴直线的斜率为.综上知，直线的斜率为定值.35．已知为坐标原点，抛物线，点在，但不在轴上，过点且与垂直的直线交抛物线于点，（点在，之间），.(1)求抛物线的方程；(2)连接，分别交抛物线于，，设直线的斜率为，直线斜率为，求证：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）首先求出与轴交于点，，设，，依题意可得直线必过点，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据求出，即可得解；（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，即可求出、，即可得到直线斜率，结合（1）的结论即可得解.【详解】（1）因为与轴交于点，，设，，因为，故直线必过点，设直线的方程为，与抛物线的方程联立，得，则，，于是，又，即，解得，因此抛物线.（2）设直线的方程为，与抛物线的方程联立得，则，于是，同理，因此直线斜率又由（1）知，，，故，因此为定值，定值为.36．如图，已知抛物线的焦点为，圆心为焦点的圆与轴相切.过点的直线交抛物线与圆分别为（从上到下）.(1)证明：是定值；(2)若，的面积比是，求直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）设的方程：，根据焦半径得到，联立直线与抛物线方程，消元，利用韦达定理计算可得；（2）由（1）的结论及面积比求出、，即可得到，再根据焦点弦公式得到方程，求出，即可得解.【详解】（1）抛物线的焦点为，所以圆的半径为，设的方程为，则有，从而，由，消去整理得，所以，，；（2）由，，则有，则有，又因为，由（1）知，则有，又，所以直线的方程为：题型七与抛物线有关的定点问题37．设A、B为抛物线上的点，且（O为原点），则直线必过的定点坐标为．【答案】【分析】设直线的方程为，则的方程为，联立方程组求得的坐标，写出直线的方程，进而得到直线过定点.【详解】设直线的方程为，联立方程组，解得，即，因为，则的方程为，联立方程组，解得，即，可得直线的方程为，令，可得，即直线必经过定点.故答案为：.十、多选题十一、解答题38．设抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，且．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线与抛物线C交于A，B两点，若，求证：线段AB的垂直平分线过定点．【答案】(1)(2)证明见详解【分析】（1）由条件可得，解出即可；（2）设，联立直线与抛物线的方程联立消元，然后韦达定理可得，由可得，然后表示出线段的垂直平分线方程可得答案.【详解】（1）由抛物线的焦半径公式可得，解得即抛物线的方程为（2）设由可得因为直线与抛物线C有两个交点，所以，，即因为，所以，所以所以，所以线段的中点坐标为所以线段的垂直平分线方程为，即，所以线段AB的垂直平分线过定点39．在平面直角坐标系中，已知点，点满足以为直径的圆均与轴相切，记的轨迹为.(1)求的方程；(2)设不经过原点的直线与抛物线交于、两点，设直线、的倾斜角分别为和，证明：当时，直线恒过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）设，由题意可得，化简即可；（2）设，，直线的方程为，联立抛物线方程消元得，由结合韦达定理可求得，从而可证明.【详解】