人教A版新高二数学暑假重点知识回顾与新课预习重点02解三角形的特殊线处理及最值(范围)问题(原卷版+解析)

重点02解三角形的特殊线处理及最值（范围）问题题型一 特殊线处理①中线例1．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．例2．如图，在中，，点为边的中点，．

(1)求；(2)求的面积．练习1．在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求的中线的最小值.练习2．在中，以，，分别为内角，，的对边，且.(1)求；(2)若，，求的面积；(3)若，，求边上中线长.练习3．在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________.练习4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，BC边上的中线长为3．(1)求a；(2)求外接圆面积的最小值．练习5．已知的内角的对边分别为是的重心，且满足(1)（i）写出表示的向量；（ii）求角；(2)若边上中线，求的面积.②角平分线例3．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．(1)求角；(2)若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长．例4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角A的大小；(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．练习6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.∠BAC的平分线交BC于点E.(1)求角C；(2)求△ABE的面积.练习7．中，，是角的平分线，且，则的最小值为（

）A． B． C．

· D．练习8．如图，在中，，，为内角，，的对边．已知，分别为边上两点，且，平分线，，，．

(1)求角的大小及边的长度；(2)求的面积.练习9．在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为_____.练习10．已知的内角A，B，C所对的边分别为．在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．①；②；③.若_____，且．(1)求角B及a的值；(2)若内角B的平分线交AC于点D，求的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．③高例5．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．(1)求A；(2)若BC上的高，求．例6．校考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若为边上的高，若，求的最大值．练习11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角A的值；(2)若边上的高为3，求a的最小值.练习12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求：(1)的值；(2)的面积和边上的高．条件①：，；条件②：，．练习13．在均为锐角的中，内角所对的边分别为，是的外接圆半径，且.(1)求；(2)若边上的高为，且，，求的值.练习14．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求；(2)若，，试求边上的高h．练习15．在中，若，且，边上的高为，求角A，B，C的大小与边a，b，c的长．④其他等分点例7．已知中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（

）A． B．C．2 D．4例8．如图，已知锐角为圆O的内接三角形，圆O的半径为R，且，∠BAC的平分线交边BC于点D，且点D为边BC上靠近点B的三等分点，，则的面积为______．练习16．如图，在四边形中，，，，.(1)若，求；(2)若，，求.练习17．在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使.(1)若，求的余弦值；(2)若，求线段的长.练习18．已知函数，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．练习19．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值．练习20．已知中，设角A，B，C的对边长分别a，b，c（a>c），已知，(1)求.(2)若D是AC边上靠近A的三等分点，从下列三个条件中选两个，使存在且唯一确定，并求BC和BD长度.①②.③题型二 最值（范围）问题①化角为边例9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（

）A． B． C． D．例10．中角所对的边分别为，若，.(1)求角的大小；(2)求的最大值.练习21．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为______.练习22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.(1)求C；(2)求的最大值.练习23．设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．练习24．的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．(1)设，，求证：；(2)设D为的中点，，求的取值范围．练习25．（多选）在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为S，其中，，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．S的最大值为C． D．角A的最小值为②利用三角函数值域求角的范围例11．在中，内角所对的边长分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)求的取值范围．例12．在中，若，则的最大值为______．练习26．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．练习27．已知的内角的对边分别为，为钝角．若的面积为，且．(1)证明：；(2)求的最大值．练习28．已知锐角的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)求的取值范围．练习29．已知锐角的内角的对应边依次记为，且满足，则的取值范围为__________.练习30．（多选）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．2③化边为角例13．在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②；③.(1)求A的大小；(2)求的取值范围.例14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)若，求证：△ABC是等边三角形；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.练习31．已知条件：①；②；③.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在中，角，，所对的边分别是，，，满足：______.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.(1)求角的大小；(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.练习32．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.练习33．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．(1)求角B的大小．(2)若，求周长的取值范围．练习34．在中，若，则面积的最大值为__________．练习35．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求A；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．

重点02解三角形的特殊线处理及最值（范围）问题题型一 特殊线处理①中线例1．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2).【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答.【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以.方法2：在中，因为为中点，，，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以.（2）方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得，又，解得，而，于是，所以.例2．如图，在中，，点为边的中点，．

(1)求；(2)求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意得到，结合向量的数量积的运算公式，求得，即可求解；（2）设，，根据向量的线性运算，求得及，联立方程组，求得，结合，即可求解.【详解】（1）解：在中，点D为边的中点，可得，因为，所以所以．（2）解：在中，因为，则，又因为在上，设，，其中，可得，则，又由，所以，解得，所以，所以的面积.

练习1．在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求的中线的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据条件，运用正弦定理余弦定理求解；（2）运用向量数量积和基本不等式求解.【详解】（1）因为所以，由正弦定理可得，所以，因为，则；（2）由题意，则，则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；综上，的最小值为.练习2．在中，以，，分别为内角，，的对边，且.(1)求；(2)若，，求的面积；(3)若，，求边上中线长.【答案】(1)(2)(3)答案见解析【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由余弦定理求出，再由面积公式计算可得；（3）由正弦定理将边化角得到，从而求出，再分类讨论，求出边上中线长.【详解】（1）因为，所以，由余弦定理可得，因为，所以．（2）因为，且，所以，解得或（舍去），所以.（3）因为，由正弦定理可得，即，因为，所以，则，所以或，即或，当时为等边三角形，所以边上中线长为；当时，则，所以为直角三角形，又，由正弦定理，即，所以，，所以边上中线长为；练习3．在中，已知，，，，边上两条中线，相交于点，则的余弦值为________.【答案】【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解.【详解】由已知得即为向量与的夹角.因为M、N分别是，边上的中点，所以，.又因为，所以,,,所以.故答案为：练习4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积，BC边上的中线长为3．(1)求a；(2)求外接圆面积的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知，利用三角形的面积公式向量的线性运算以及模长公式，再利用余弦定理求解.（2）根据第（1）问的结论，利用基本不等式、正弦定理以及进行计算求解.【详解】（1）因为的面积，所以，因为，所以，所以，因为BC边上的中线长为3，不妨设BC边中点为D，所以，两边平方有：，即，所以，由余弦定理有：，即，解得.（2）由（1）有：，所以，即，当且仅当时取等号，由（1）有：，所以，解得，又，，所以，设外接圆的半径为，由正弦定理有：，所以，所以外接圆面积的最小值为.练习5．已知的内角的对边分别为是的重心，且满足(1)（i）写出表示的向量；（ii）求角；(2)若边上中线，求的面积.【答案】(1)（i）；（ii）(2)【分析】（1）根据重心的几何意义求解；（2）根据（1）所求出的几何关系，运用余弦定理求出c即可【详解】（1）（i）由重心的几何性质可知：；（ii），代入，得，因为不共线，所以，即，由余弦定理知，又，所以；（2），则，即，由（1）知，所以，所以，；综上，，，.②角平分线例3．在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．(1)求角；(2)若为的中点，且，的角平分线交于点，且，求边长．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用向量的夹角公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）根据为的中点，有，从而得到，再根据，从而得到，再结合余弦定理即可求得的值．【详解】（1）由，则，所以，则由正弦定理得，即，所以，即，又，则，所以，得，又，所以．（2）由为的中点，则，即，所以，即，即，由是的角平分线，所以，又，则，所以，得，所以，解得，由余弦定理得，故．

例4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求角A的大小；(2)若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．注：三角形的内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题设可得，从而可求.（2）根据角平分线性质可得，利用余弦定理可得的关系，两者结合可求的长度，从而可求三角形的面积.(1)因为，故，所以即，而为三角形内角，故.(2)因为，所以，因为为角平分线，故且即，由余弦定理可得，且所以，解得，故，所以三角形的面积为.练习6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.∠BAC的平分线交BC于点E.(1)求角C；(2)求△ABE的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角正弦公式及正弦定理求解；（2）利用及面积公式，化简求出.【详解】（1）∵，，，∵（2）∵，如图，又，，即，，.练习7．中，，是角的平分线，且，则的最小值为（

）A． B． C．

· D．【答案】B【分析】根据等面积法得，从而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】根据题意，设，如图，因为，，则，所以，即，所以，则，故，即，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为.故选：B.练习8．如图，在中，，，为内角，，的对边．已知，分别为边上两点，且，平分线，，，．

(1)求角的大小及边的长度；(2)求的面积.【答案】(1)；(2)【分析】（1）利用正弦定理得出，再结合题意和二倍角公式求出与的值，由余弦定理解方程求出的值；（2）求出的面积，利用角平分线定理求出，由此求出的面积.【详解】（1）在中，，，由正弦定理得，，即，又因为，所以，所以；又因为，所以，所以，解得；由余弦定理得，，即，所以，解得或（舍去）；所以.（2）由（1）得的面积为，因为平分线，所以，由正弦定理得，，又因为，，所以，即，所以，所以的面积为.练习9．在中，角所对的边分别为，，角平分线交于点，，则的面积为_____.【答案】【分析】由余弦定理解得AD，由正弦定理解得∠ABD，从而得∠ABC，根据三角形内角和得∠C，再正弦定理解得BC即可求得面积.【详解】

中，由余弦定理可得，即，解得AD=2，再由正弦定理得，显然是锐角，则，∴，又是锐角，所以，故，由正弦定理得，所以，故答案为：练习10．已知的内角A，B，C所对的边分别为．在这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．①；②；③.若，且．(1)求角B及a的值；(2)若内角B的平分线交AC于点D，求的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由已知条件结合正弦定理求出角B，再应用余弦定理求a边即可；（2）应用面积比得出比列关系，最后应用面积公式求解即可.【详解】（1）选条件①：对于，利用正弦定理得：，所以在中，因为，所以，即，因为，所以，所以因为，所以.选条件②:因为，所以，即，因为，所以，所以，即，选条件③：对于，利用正弦定理得：.利用余弦定理得：因为，所以在中，，由余弦定理得：，解得：或（舍去）；（2）在中，，，，由三角形面积公式可得：.

因为为角的平分线，所以，而，，所以.所以.③高例5．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若．(1)求A；(2)若BC上的高，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理化简可得.（2）利用三角形面积公式和正弦定理可得.【详解】（1）由题意得：，则由余弦定理得，因为,所以．（2）由，则，所以，则由正弦定理得，则，又，即，则．例6．校考期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若为边上的高，若，求的最大值．【答案】(1)；(2)1.【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系化简已知等式，可得，结合即可求解；(2)根据三角形的面积公式可得，利用余弦定理和基本不等式求出ac的最大值，即可求解.【详解】（1），由正弦定理，得，由，得，又，所以，有，即，又，所以；（2）由，得，由余弦定理及，得，当且仅当时取到等号.所以，故，即的最大值为1.练习11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.(1)求角A的值；(2)若边上的高为3，求a的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理对原式边化角即可；（2）根据的两个面积公式得到，再结合余弦定理和基本不等式求解即可.（1）因为，由正弦定理知，所以，因为，所以，所以，因为，所以（2）由（1）知，且边上的高为3，所以的面积，即.又因为中，由余弦定理得，当且仅当b=c时取等号，所以，又因为，所以，所以a的最小值为练习12．在中，角，，所对的边分别为，，，且，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求：(1)的值；(2)的面积和边上的高．条件①：，；条件②：，．【答案】(1)(2)的面积为，边上的高为【分析】选条件①：第一问由余弦定理求出，得出，再求即可；第二问直接使用公式求出三角形面积，借助面积求高即可；选条件②：第一问求出和，由和两角和的正弦公式求解；第二问由得出，使用公式求出面积即可，作出边上的高，由直角三角形的三角函数求高即可.【详解】（1）选条件①由余弦定理，，∴，又∵，∴，，又∵中，∴.选条件②∵中，，，∴，，∴.（2）选条件①的面积为，设边上的高为，则，∴边上的高为.选条件②由第（1）问有，∵，为三角形内角，∴，∴，∴的面积为，过作，垂足为，则为边上的高，在直角中，，∴边上的高为.练习13．在均为锐角的中，内角所对的边分别为，是的外接圆半径，且.(1)求；(2)若边上的高为，且，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理的边角化及两角和差的正弦公式，再利用三角形的内角和定理及角的范围，结合三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根据三角形的等面积法及正弦定理，再利用余弦定理边角化及平方关系，结合（1）的结论及正弦定理即可求解.【详解】（1）由正弦定理得即,,，（2）由面积相等及正弦定理得，由余弦定理得，代入已知得，，联立解得或又由（1）知可得.练习14．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求；(2)若，，试求边上的高h．【答案】(1)(2)【分析】（1）在中，根据正弦定理，余弦定理转角为边得到，再根据余弦定理得到的值，进而即可得到；（2）由已知条件结合余弦定理可求解，再根据三角形的面积公式即可得到边上的高．【详解】（1）在中，有，由正弦定理得，再由余弦定理得，化简得，所以，又，所以．（2）结合（1），将，，代入中，得，解得，或（舍去）．由，得．练习15．在中，若，且，边上的高为，求角A，B，C的大小与边a，b，c的长．【答案】答案见解析【分析】由余弦定理可得，再由解得或，当时得、，可得，，，即；当时由解得、，再由边上的高为得，，，，可得.【详解】若，则，由余弦定理可得，因为，所以，，且，解得或，当时，可得，此时，因为边上的高为，所以，，，，所以，即，，，，，；

当时，而可得，解得，因为，所以，此时，因为边上的高为，所以，，，，所以.

综上所述，当，，时，，，，当，，时，，，．④其他等分点例7．已知中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是AB上的三等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（

）A． B．C．2 D．4【答案】A【分析】由正余弦边角关系可得，进而有，设，则，且，利用正弦定理、和差角正弦公式得，即可求最大值.【详解】由，则，即，所以，，则，

设，则，且，△中，则，△中，则，又，即，（为△的外接圆半径），所以，即，又，故，时，.故选：A例8．如图，已知锐角为圆O的内接三角形，圆O的半径为R，且，∠BAC的平分线交边BC于点D，且点D为边BC上靠近点B的三等分点，，则的面积为______．【答案】【分析】利用正弦定理，先求出的大小，然后由，可以得到，结合余弦定理，即可求出的值，由此可知，代入三角形的面积公式，即可得到本题答案.【详解】因为，所以根据正弦定理，得，又因为为锐角，得，由题可知，因为，所以，即，化简得，设，在中，因为，所以，化简得，所以，又，所以，则，在中，，，所以.故答案为：练习16．如图，在四边形中，，，，.(1)若，求；(2)若，，求.【答案】(1)(2)13【分析】（1）由余弦定理可得，进而由正弦定理即可求解，（2）由余弦定理得，由正弦定理得，两式结合即可求解.【详解】（1）由题意得，在中，由余弦定理得，得，由正弦定理，得.故.（2）在中，由余弦定理，得①，在中，由正弦定理，得.所以，代入①式得，得，则，即.练习17．在中，，，点D为的中点，连接并延长到点E，使.(1)若，求的余弦值；(2)若，求线段的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，由结合余弦定理求解即可求出，在中，由余弦定理即可求出答案.（2）在中，由余弦定理求出，在中，由余弦定理求出，连接，在中，由余弦定理即可求出线段的长.【详解】（1）因为，，所以，因为，所以，设，则，即，解得，所以，在中，由余弦定理知，.（2）在中，由余弦定理知，，所以，化简得，解得，因为是的中点，所以，在中，由余弦定理知，，所以，因为，所以，在中，由余弦定理知，，连接，在中，由余弦定理知，，所以.

练习18．已知函数，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A；(2)若b=3，c=2，点D为BC边上靠近点C的三等分点，求AD的长度．【答案】(1).(2).【分析】（1）运用三角恒等变换化简函数，再运用特殊角的三角函数值解方程即可.（2）方法一：在△ABC中运用余弦定理求得BC及，再在中运用余弦定理可求得AD的值.方法二：运用平面向量基本定理可得，两边同时平方运用数量积求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以．所以，即．又，所以．（2）如图所示，方法一：在△ABC中，由余弦定理可得，则．又点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以．又在△ABC中，，在中，由余弦定理可得，所以．方法二：因为点D为BC边上靠近点C的三等分点，所以．等式两边同时平方可得．所以，即．练习19．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若是线段上靠近的三等分点，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正余弦定理解三角形即可；（2）把D是线段AC上靠近A的三等分点转化为向量关系，再把向量平方可得到边长关系转化为t的范围,最后结合基本不等式即可求BD的最大值【详解】（1），∴，∴．又，．（2）方法1：由（1）得，∵，则，∴，∴，

∴，令，则，

令，则，

在锐角三角形中，∴，即，

（另解：，∵，，解得，∴，，即）∴，∴，当且仅当时取等号，

∴，∴的最大值为．

方法2：在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，∵，∴．∵，∴，，．∵，，解得，∴，∴，∴，∴的最大值为．练习20．已知中，设角A，B，C的对边长分别a，b，c（a>c），已知，(1)求.(2)若D是AC边上靠近A的三等分点，从下列三个条件中选两个，使存在且唯一确定，并求BC和BD长度.①②.③【答案】(1)；(2)选择②③，，.【分析】（1）先用正弦定理，再利用和角的正弦公式化简即得解；（2）首先分析确定选择②③，再求出，再求出，对其平方即得解.【详解】（1）由正弦定理得，，，即因为..（2）①由余弦定理知，又，，即.不合题意，所以选择②③..由余弦定理，所以.因为，所以解得..∴.题型二 最值（范围）问题①化角为边例9．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】对原式化简得，再将其代入余弦定理结合基本不等式即可求出最值.【详解】，化简得，，当且仅当时等号成立，故选：D.例10．中角所对的边分别为，若，.(1)求角的大小；(2)求的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换计算即可；（2）由余弦定理及基本不等式计算即可.【详解】（1）根据正弦定理可得，又，∴，故；（2）由（1）得，根据余弦定理可得：，由基本不等式可得，故，当且仅当时取得等号，所以的最大值为4.练习21．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为______.【答案】【分析】利用余弦定理和基本不等式求解.【详解】由余弦定理，代入，得，整理得：，则，当仅当时取“”，由因为，所以，所以角B的最大值为.故答案为：.练习22．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，.(1)求C；(2)求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，由正弦定理化边为角，化简可求解；（2）由余弦定理可得b，c的关系，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由，，可得，即，即，由正弦定理得，，即，即，又，则，所以，即，所以.（2）因为，所以，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.练习23．设的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，利用正弦定理化角为边，结合余弦定理求得角，再根据，利用余弦定理化角为边求得边，再利用余弦定理结合基本不等式求得的最大值，再根据三角形的面积公式即可得出答案.【详解】因为，由正弦定理得得，所以，又，所以，因为，所以，所以，由，得，所以，当且仅当时，取等号，则，所以的面积的最大值为.故选：B.练习24．的内角A，B，C对应的边分别为a，b，c．(1)设，，求证：；(2)设D为的中点，，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用向量的夹角公式及同角三角函数的平方关系，结合三角形的面积公式即可求解；（2）利用余弦定理及重要不等式，结合三角形三边的关系即可求解.【详解】（1）依题意，因为，，所以，在中，，所以.（2）如图所示，在中，D为的中点，，所以，设，则，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，.由，得，所以，当且仅当，即时，等号成立，此时，满足题意，所以，又，所以，综上所述，的取值范围为.练习25．（多选）在中，、、所对的边为、、，设边上的中点为，的面积为S，其中，，下列选项正确的是（

）A．若，则 B．S的最大值为C． D．角A的最小值为【答案】BC【分析】由余弦定理求得，再由面积公式计算判断A，利用余弦定理及基本不等式确定的范围，从而可得角范围，然后计算三角形面积得其最大值判断B，同时可判断D，在和中利用余弦定理可求得判断C．【详解】选项A，由得，，A错；选项B，由选项A推理过程知，，又由知，当且仅当时等号成立。，是三角形内角，所以，，所以的最大值是，B正确；选项C，由，，又，即，因此两式相加，得，所以，则，C正确；选项D，由选项B的推导过程知的最大值是，D错．故选：BC．②利用三角函数值域求角的范围例11．在中，内角所对的边长分别为a，b，c，已知．(1)求角A的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；（2）由，得到，且，利用三角恒等变换的公式，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：因为，由正弦定理得,又由余弦定理得，因为，所以.（2）解：由，可得，所以，且，则，因为，所以，结合正弦函数图象，可得，，所以的取值范围为．例12．在中，若，则的最大值为______．【答案】【分析】先由题证明得，再化简得，再利用三角函数的图像和性质求出最大值.【详解】首先证明：在△ABC中，有,在△ABC中，由余弦定理得，由正弦定理得，令，上述两式相加得所以=,当即时取等.故答案为：.练习26．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正弦定理边化角可得，由△ABC为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域.【详解】∵，即：，，∴，∴由正弦定理得：，即：，∴，∴或，解得：或（舍），又∵△ABC为锐角三角形，则，∴，解得：，∴，又∵，∴，∴，∴，即的取值范围.故选：B.练习27．已知的内角的对边分别为，为钝角．若的面积为，且．(1)证明：；(2)求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用余弦定理及面积公式将条件变形得，再利用诱导公式及三角函数的性质可证明结论；（2）利用（1）的结论及三角公式，将转化为关于的二次函数，然后配方可以求最值.【详解】（1）由余弦定理得，，，，为钝角，则均为锐角，，即；（2），令，为钝角，则，，当，即时，取最大值，且为.练习28．已知锐角的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理统一为三角函数，再由三角恒等变换化简即可求解；（2）根据，转化为关于B的正弦型函数，利用正弦函数值域求解即可.【详解】（1）由题意可得．由正弦定理得，又，，则．因为，所以．又，所以．（2）．因为锐角三角形，所以，且，所以．所以，即的取值范围是．练习29．已知锐角的内角的对应边依次记为，且满足，则的取值范围为__________.【答案】【分析】先利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角关系化简整理可得的关系，将用表示，求出的范围，再利用三角恒等变换结合三角函数的性质即可得解.【详解】因为，所以，即，展开整理得，因为锐角中，，所以，即，由，得，，因为，所以，所以，所以的范围为.练习30．（多选）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，则的可能取值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【分析】根据余弦定理，化简整理可得，根据正弦定理边化角整理可得.先判断，不合适得出，则，然后根据不等式的性质，即可得出的取值范围.【详解】由余弦定理可知，，所以.又，所以.则由可得，，则有，整理可得，，由正弦定理边化角可得，.因为，所以.因为，所以，显然，即，所以有，所以.若，则为钝角，此时必有，所以，，所以，所以，此时有，所以，则，显然不可能，所以，则，，则，此时有，所以.故选：AB.③化边为角例13．在锐角中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且有，在下列条件中选择一个条件完成该题目：①；②；③.(1)求A的大小；(2)求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①，利用正弦定理化边为角，再结合二倍角得正弦公式即可得解；选②，利用余弦定理即可得解；选③，利用正弦定理化边为角，再根据商数关系化切为弦及两角和得正弦公式即可得解；（2）先利用正弦定理求出，再根据三角恒等变换结合三角函数即可得解.【详解】（1）选①，因为，由正弦定理得，又，所以，因为，所以；选②，因为，所以，又，所以；选③，因为，由正弦定理得，即，则，则，又，所以，因为，所以；（2）由（1）得，因为，所以，则，因为为锐角三角形，所以，所以，所以，所以，即的取值范围为.例14．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)若，求证：△ABC是等边三角形；(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由结合正弦定理，可得，由，可得，从而证明△ABC是等边三角形；（2）由正弦定理和三角形内角和定理，可得，根据的范围，即可得的取值范围.【详解】（1）证明：∵，∴由正弦定理，得，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴