新高三数学暑假自学课精讲精练基础知识复习练习题专题06对数函数与幂函数(原卷版+解析)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题06对数函数与幂函数基础知识复习1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质【知识拓展】1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．典型习题强化1．已知3−a=8A．6 B．−6 C．8 D．2．已知a=log52,b=logA．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a3．已知函数①y=4x；②y=logx2；③y=−log3xA．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥4．已知f2x+A．f(x)C．f(x)5．函数y=logax−1+4的图像恒过定点PA．16 B．8 C．4 D．26．“当x∈0,+∞时，幂函数y=mA．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要7．函数y=ln(A．R B．(1,+∞) C．[1,+∞8．已知函数fxA．当a=0时，fxB．fxC．当a=0时，fxD．若fx在区间2,+∞上单调递增，则实数a9．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数f(x)满足f(8−x)=f(x)，且当A．4 B．8 C．16 D．3210．已知函数fx=logaA．a+b<0 B．ab<−1 C．0<11．已知正实数a，b，c满足cbA．a<1 B．a<b C．b<c D．12．如图所示，直线y=a分别与函数y=log2x和y=log2x−2的图象交于P，QA．1 B．log23 C．313．fxA．y=fx+f2B．y=fx−C．fxD．y=fx14．已知函数fx=loga3−x+115．已知函数fx=lo16．已知函数y=loga(x+3)−89(a>0且17．已知函数fx(1)求m的值，并确定fx(2)令g(x)=f(18．（1）已知2x−2（2）化简并计算0.2519．已知函数fx=lo(1)证明：fx(2)若函数gx=4fx+x2+m⋅20．已知函数f(x)=lo(1)已知f（4a）=4，若函数g(x)=1(2)若函数f（x）−2≤0，对于x∈高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题06对数函数与幂函数基础知识复习1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)．于是，在条件a>0，m，n∈N*，且n>1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.2．指数函数的图象与性质【知识拓展】1．指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．典型习题强化1．已知3−a=8A．6 B．−6 C．8 D．【答案】B【解析】由3−a=8，得−所以a故选：B2．已知a=log52,b=logA．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．c>b>a【答案】B【解析】∵a=log52=log∴b>a>c故选：B3．已知函数①y=4x；②y=logx2；③y=−log3xA．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根据对数函数的定义，只有符合y=logax（a>0且a≠1）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中y=−log3故选：C.4．已知f2x+A．f(x)C．f(x)【答案】B【解析】令2x+1所以f(所以f(故选：B5．函数y=logax−1+4的图像恒过定点PA．16 B．8 C．4 D．2【答案】A【解析】当x=2时，y=所以函数y=log记f(x)=所以f(4)故选：A6．“当x∈0,+∞时，幂函数y=mA．既不充分也不必要 B．必要不充分C．充分不必要 D．充要【答案】C【解析】当x∈0,+∞时，幂函数所以有m2所以幂函数y=m2−m−故选：C7．函数y=ln(A．R B．(1,+∞) C．[1,+∞【答案】A【解析】由对数函数y=lnx的值域为R，向右平移2个单位得函数y1则y=ln(x−2)故选：A.8．已知函数fxA．当a=0时，fxB．fxC．当a=0时，fxD．若fx在区间2,+∞上单调递增，则实数a【答案】A【解析】对A，当a=0时，解x2−对B，当a=0时，fx=lgx此时fx=lg对C，由A，fx的定义域为−∞对D，若fx在区间2,+∞上单调递增，此时y=x2+ax−a−1在2,+∞上单调递增，所以对称轴x=−a2故选：A.9．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变.利用这个原理，解决下面问题：已知函数f(x)满足f(8−x)=f(x)，且当A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【解析】由题意知：fx关于x=而当x∈[0,4]时，f且f(0)=f(8)∴在x∈0,8上，f(x)、∴将所围成的图形在x轴下半部分阴影区域分成两部分相补到x轴上半部分阴影区域，可得到图示：由x轴、y轴、y=2、x=∴函数y=fx在x∈0,4的图象与直线y=2故选：C10．已知函数fx=logaA．a+b<0 B．ab<−1 C．0<【答案】C【解析】由图象可知fx在定义域内单调递增，所以a令fx=logax−b=0，即x=b+1因此a+b>0−a<ab<0，又因为a>1，所以−a<−1因为a−1<ab<a因为0<b<1，所以故选：C.11．已知正实数a，b，c满足cbA．a<1 B．a<b C．b<c D．【答案】AB【解析】由正实数a，b，c，以及cb<1，b又logca>所以ab<cb，又即blna<aln构造函数fx=f'x当x∈0,1时，故fx=lnxx又取b=c时，原式为bb故CD不正确，故选：AB12．如图所示，直线y=a分别与函数y=log2x和y=log2x−2的图象交于P，QA．1 B．log23 C．3【答案】AC【解析】由题意，设P2a，a，Q若∠AQP=9则a=t，Q2a+若∠APQ=9则2a=2t+解得：a=3若∠PAQ=9则2即2a=2即2a=2故选：AC．13．fxA．y=fx+f2B．y=fx−C．fxD．y=fx【答案】AC【解析】对于A，令gx=fx∴gx关于x=对于B，由y=fx−2−fx+2知：x−对于C，fx根据图象可知：fx对于D，y=fx则当x=1时，−x2+2故选：AC.14．已知函数fx=loga3−x+1【答案】4【解析】因为f(2)=14，所以因为幂函数y=gx的图象经过A所以2α因此g(故答案为：415．已知函数fx=lo【答案】8【解析】由图像可得：fx=logax+b过点−3,0∴ab=8故答案为：８．16．已知函数y=loga(x+3)−89(a>0且【答案】−【解析】解：由题意函数y=loga(x+又点A也在函数fx∴−89=故答案为：−117．已知函数fx(1)求m的值，并确定fx(2)令g(x)=f(【答案】(1)0,fx(2)−1【解析】(1)因为函数fx所以m2−5m+1当m=0时，函数f当m=5时，函数f综上所述，m的值为0，函数fx的解析式为f(2)由（1）知，fx所以g(令t=2x+1∵−1所以g(t)根据二次函数的性质知，g(t)所以g(t)所以g(g所以函数gx在−1218．（1）已知2x−2（2）化简并计算0.25【答案】（1）11；（2）52【解析】解：（1）∵2x−∴4x+（2）原式==219．已知函数fx=lo(1)证明：fx(2)若函数gx=4fx+x2+m⋅【答案】(1)证明见解析(2)m=−【解析】(1)证明：∵f(x)∴f====lo即为f(则f((2)解：g=(当x∈0,log2令2x=t，则y=t当−m2≤1时，即m≥−2所以t=1时，ymin=m+当1<−m2<3时即−解得：m=0当−m2≥3时，即m⩽−6，y=解得m=−3故存在满足条件的m=−120．已知函数f(x)=lo(1)已知f