新高三数学暑假自学课精讲精练基础知识复习练习题专题13三角恒等变换(原卷版+解析)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题13三角恒等变换基础知识复习1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).【知识拓展】1．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).典型习题强化1．已知函数fx=sinx+acosxa>0的最大值为2，若方程fxA．8π3 B．10π3 C．4π 2．已知函数fx=sin4ωx2+cos4ωx2A．1 B．2 C．3 D．43．已知a，β都是锐角，且cosα+π3A．25−2C．215−24．已知a=ln12,b=12A．a>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．a>c>b5．已知α，β都是锐角，且cosα+π3=10A．−22 B．22 C．−6．已知α+β=15∘A．−33 B．33 C．17．已知(1,2)为角α终边上一点，关于x的函数f(x)=cos2A．−2 B．2 C．−128．若角α的终边经过点Psin70°,cos70°，且A．−3 B．−33 C．39．已知函数fx=cos2x+sin2A．x=kπ+π12C．x=kπ210．下列化简结果正确的个数为（

）①cos22∘sin5③cos15∘−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11．已知α∈π,2πA．tanα=3 B．cosα=12 12．下列等式成立的是（

）A．1−tanC．tan22°+tan23°+13．已知函数fxA．π2是fB．fx的最小值为C．fD．fx=214．若cos2αcosα+15．已知α，β为锐角，sinα=45，cos16．已知函数f(①f(x)的值域是[−②f(x)在[0,π③f(x)是周期为π的周期函数④将f(x)的图象向左平移π2其中所有正确结论的序号是___________．17．设函数f((1)求函数f(x)(2)在锐角△ABC中，若f(A)=0，且能盖住△ABC18．已知：函数fx(1)求fx(2)求fx(3)若函数gx=fx−k在19．已知向量a=sinx(1)若a⊥b，求(2)令f(x)=a⋅b，把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿20．设O为坐标原点，定义非零向量OM=a,b的“相伴函数”为fx(1)设函数hx=2sin(2)记OM=0,2的“相伴函数”为fx，若函数gx=fx+(3)已知点Ma,b满足3a2−4ab+b2<高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题13三角恒等变换基础知识复习1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)(T(α－β))tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)(T(α＋β))2．二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).【知识拓展】1．降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α.3．辅助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)，其中sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2)).典型习题强化1．已知函数fx=sinx+acosxa>0的最大值为2，若方程fxA．8π3 B．10π3 C．4π 【答案】A【解析】f(x)=sin解得a=3，于是f方程f(x)=b在区间0，13π6由f(x)图象的对称性可知，x1+x2故选：A．2．已知函数fx=sin4ωx2+cos4ωx2A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意可得fx则fx的最小正周期T=2π2ω=πω，因为对任意的实数a，fx在a，a+3上的值域是[12故选：B3．已知a，β都是锐角，且cosα+π3A．25−2C．215−2【答案】B【解析】因为a是锐角，所以0<α<π2因为cosα+π3=1因为β是锐角，所以0<β<π2因为sinβ−π3=−5因为α+π3+故选：B.4．已知a=ln12,b=12A．a>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．a>c>b【答案】C【解析】因为a=ln12=−所以b>c>a.故选：C.5．已知α，β都是锐角，且cosα+π3=10A．−22 B．22 C．−【答案】B【解析】因为α，β都是锐角，所以π3<α+π又cosα+π3所以π3<α+π所以sinα+cosβ−所以sin所以sinα+所以sinπ所以cosα−β故选：B.6．已知α+β=15∘A．−33 B．33 C．1【答案】D【解析】因为tanα+β=tan所以11+故选：D.7．已知(1,2)为角α终边上一点，关于x的函数f(x)=cos2A．−2 B．2 C．−12【答案】A【解析】因为(1,2)为角α终边上一点，所以tanα=f(x)=cos(2x+α)所以tan2m=故选：A.8．若角α的终边经过点Psin70°,cos70°，且A．−3 B．−33 C．3【答案】D【解析】∵sin70°=cos20°，cos70°=sin20°，∴Pcos20°,sin20°，故tan故选：D．9．已知函数fx=cos2x+sin2A．x=kπ+π12C．x=kπ2【答案】D【解析】f由题意可得g则2x−π故选：D．10．下列化简结果正确的个数为（

）①cos22∘sin5③cos15∘−A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】cos22∘sin5tan24∘+cos15∘−sin15∘sin3故选：C.11．已知α∈π,2πA．tanα=3 B．cosα=12 【答案】BD【解析】因为sinα=所以cosα=12所以sinα=−32tanβ所以tanβ=cosβ=故C错误，D正确．故选：BD.12．下列等式成立的是（

）A．1−tanC．tan22°+tan23°+【答案】AC【解析】解：对于A：1=co对于B：cos20=====1对于C：tan45°=所以tan22°+所以tan22°+对于D：sin40=======−故选：AC13．已知函数fxA．π2是fB．fx的最小值为C．fD．fx=2【答案】AD【解析】解：∵f(∴fx是以π2为周期的函数，当x∈0,则x+π4∈∴函数fx的最小正周期为π2，函数由fπ由f(−π4)=故选：AD14．若cos2αcosα+【答案】−【解析】解：因为cos2α所以cos2α−所以cosα−sinα=−所以tan2α=故答案为：−15．已知α，β为锐角，sinα=45，cos【答案】−35【解析】解：因为α，β为锐角，则α,β∈0,又sinα=45所以cosα=35则sinβ=所以cos2β=故答案为：−316．已知函数f(①f(x)的值域是[−②f(x)在[0,π③f(x)是周期为π的周期函数④将f(x)的图象向左平移π2其中所有正确结论的序号是___________．【答案】②③【解析】f(=(=1=1所以f(x)的值域为[令2kπ≤当k=0时，f(x)的一个单调递减区间为f(x)的周期T=f(x)的图像向左平移π2个单位长度后得到的函数图像对应的解析式为故答案为：②③17．设函数f((1)求函数f(x)(2)在锐角△ABC中，若f(A)=0，且能盖住△ABC【答案】(1)周期是π，对称轴方程是x=kπ2(2)3,2【解析】(1)解：因为f(所以函数f(x)令2x+π3=kπ+π所以函数f(x)的周期是π，对称轴方程是x=(2)解：因为f(A)又因为△ABC为锐角三角形，所以0<A<π2所以2A+π3因为能盖住△ABC的最小圆为△ABC的外接圆，设半径为R，所以πR2=因为由正弦定理有asin所以b=2sinB，b+c=2sin因为△ABC为锐角三角形，所以π6所以π3<B+π所以3<b+c≤所以AB+AC的取值范围是3,2318．已知：函数fx(1)求fx(2)求fx(3)若函数gx=fx−k在【答案】(1)π(2)kπ+π12,(3)3【解析】(1)解：因为f=sin2即f所以f(x)(2)解：令2kπ+π2解得kπ+π12≤x≤kπ+所以f(x)的单调递减区间为kπ+(3)解：由x∈[0,π4而函数f(x)在0,π12上单调递增，所以f所以若函数g(x)=f(x)所以k∈319．已知向量a=sinx(1)若a⊥b，求(2)令f(x)=a⋅b，把函数f(x)的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿【答案】(1)−(2)最大值3，有最小值−2【解析】(1)因为a⊥b，所以所以tanx=−3，所以(2)由题可得f则g(当x∈0,π2时，2π3≤2当2x+2π3=20．设O为坐标原点，定义非零向量OM=a,b的“相伴函数”为fx(1)设函