新高三数学暑假自学课精讲精练基础知识复习练习题专题15平面向量(原卷版+解析)

高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题15平面向量基础知识复习1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).6．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.【知识拓展】1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).7．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积8.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.9．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【知识拓展】1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.典型习题强化1．已知△ABC中，∠A=60∘，AB=4，AC=6，且CM=2A．12 B．14 C．16 D．182．已知向量a=1,2，b=m,A．−32 B．32 C．−3．艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（

）A．AD+DB=C．AC+AD=4．已知不共线的平面向量a,b,c两两所成的角相等，且A．2 B．2 C．3 D．2或35．已知O为坐标原点，P1P=−2PP2A．3,−4 B．3,C．35,−456．已知△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120o，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得A．12 B．38 C．−17．如图在△ABC中，∠ABC=90°，F为AB中点，CE=3，CB=8，A．−15 B．−13 C．13 8．如图，在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，且AM=23AB，AN=13AC，D，E是线段A．4 B．43 C．949．P､Q､R是等腰直角三角形ABC（∠A=π2）内的点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA，∠ACQ=∠CBQ=∠BAQ，A．PAB．QAC．RAD．RA10．△ABC中，AB=2，∠ACB=π4，O是A．0 B．1 C．3 D．511．已知△ABC是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（

）A．若角C=π3B．若2OA+C．若|OA−OB|=OAD．若(BC+BA)⋅12．已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若P为△ABC的垂心，AB⋅ACB．若△ABC为边长为2的正三角形，则PA⋅C．若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yACD．若AP=1ABcosB13．定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a=x1,yA．对任意的λ∈R，有B．存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘC．若a与b垂直，则aΘbΘD．若a与b共线，则aΘbΘ14．已知向量a，b的夹角为45°，a=2，且a⋅b=15．已知a，b是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c满足a−16．已知平面向量x，y，z，|x|=17．平面内给定两个向量a=3,1，(1)求3a(2)若a+kb//18．如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB=2DC=2，∠BAD=(1)试用AB，AD表示AC，EC；(2)求DB⋅19．两个非零向量a,(1)若AB=a+b,BC=(2)求实数k使ka+b20．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，AD为(1)求△ABC的面积；(2)设点E,F分别为边AB,AC上的动点，线段EF交AD于G，且△AEF的面积为高二数学暑假作业精讲精练（新人教A版2019）专题15平面向量基础知识复习1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向量为±eq\f(a,|a|)平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.【知识拓展】1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→))，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．5．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).6．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.【知识拓展】1．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.2．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).7．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积8.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a).(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(5)|a·b|≤|a||b|.9．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).【知识拓展】1．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.典型习题强化1．已知△ABC中，∠A=60∘，AB=4，AC=6，且CM=2A．12 B．14 C．16 D．18【答案】B【解析】解：AB⋅且NM所以：AC⋅故选：B.2．已知向量a=1,2，b=m,A．−32 B．32 C．−【答案】C【解析】因为向量a=1,2，b=所以−1−2所以a⋅故选：C.3．艺术家们常用正多边形来设计漂亮的图案，我国国旗上五颗耀眼的正五角星就是源于正五边形，正五角星是将正五边形的任意两个不相邻的顶点用线段连接，并去掉正五边形的边后得到的图形，它的中心就是这个正五边形的中心.如图，设O是正五边形ABCDE的中心，则下列关系错误的是（

）A．AD+DB=C．AC+AD=【答案】C【解析】对于A，AD+对于B：因为AB=AE，OB=OE，所以AO⊥对于C：由题意O是△ACD的外心，不是△ACD的重心设CD中点为M，则|AMAC+对于D：AO⋅故选：C4．已知不共线的平面向量a,b,c两两所成的角相等，且A．2 B．2 C．3 D．2或3【答案】D【解析】由不共线的平面向量a，b，c两两所成的角相等，可设为θ，则θ=2π3.设|因为a=1，即a2所以1即m2−5所以|c|=2或3故选：D5．已知O为坐标原点，P1P=−2PP2A．3,−4 B．3,C．35,−45【答案】C【解析】由P1P=−2PP2OPOP=OP=与OP同向的单位向量为OPOP=(故选：C．6．已知△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=120o，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得A．12 B．38 C．−1【答案】B【解析】如图所示，根据向量的线性运算法则，可得AF=因为AB=AC=1，且E为BC的中点，可得AE⊥BC，所以AE又因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且DE=2EF，所以则AF⋅故选：B.7．如图在△ABC中，∠ABC=90°，F为AB中点，CE=3，CB=8，A．−15 B．−13 C．13 【答案】C【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(12,0)，B(0,0)，C(0,8)又CE=3，CB=8，则CF=C即CE=310FC则BE=则EA=515则EA⋅故选：C．8．如图，在△ABC中，M，N分别是线段AB，AC上的点，且AM=23AB，AN=13AC，D，E是线段A．4 B．43 C．94【答案】B【解析】设AD=mAB+nAC，m+n=1则AD+AE=mAB+nAC+λAB+μ所以1x当且仅当x=32，所以1x+2故选：B9．P､Q､R是等腰直角三角形ABC（∠A=π2）内的点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA，∠ACQ=∠CBQ=∠BAQ，A．PAB．QAC．RAD．RA【答案】C【解析】∵∴a∴a∴c∴c∴∴R在∠ACB的角平分线上,同理可证R在∠BAC,∴R为内心如图所示由∠APB=∠BPC=∠CPA知,这三个角都是12且P在∠BAC的平分线AR上,延长AR交BC于点D取AB=6,则BD=AD=3得PD=BD3所以PA记△ABC的周长为C由题意知R是△ABC的内心,内切圆半径RD=RA=AD−RD=所以RB=−由∠ACQ=∠BAQ,且∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=则∠ACQ+∠CAQ=所以∠AQC=90∘,即AQ⊥CQ,则Q由∠CBQ=∠ACQ,且∠ACQ+∠BCQ=∠ACB=所以∠CBQ+∠BCQ=45由∠BQC=∠AQB,∠BCQ=∠ABQ所以BQ设AQ=x,BQ=2x解得x所以QA由RB所以RB故选:C10．△ABC中，AB=2，∠ACB=π4，O是A．0 B．1 C．3 D．5【答案】C【解析】过点O作OD⊥AC,OE⊥BC，垂足分别为D，E，如图，因O是△ABC外接圆圆心，则D，E分别为AC，在△ABC中，AB=CB−CA，则CO⋅CA=因此，OC=1由正弦定理得：|CA|=所以OC⋅故选：C11．已知△ABC是半径为2的圆O的内接三角形，则下列说法正确的是（

）A．若角C=π3B．若2OA+C．若|OA−OB|=OAD．若(BC+BA)⋅【答案】BC【解析】对于A，作OD垂直于AB.垂足为D，则AD=1由正弦定理得AB=2故AB⋅对于B,由2OA+AB即OB+OC=0,则点O为BC的中点，即对于C，设OA，OB的夹角为θ，由|OA−OB|=解得cosθ=12由于|OA−OB|=则OA，OB的夹角为π3对于D,由(BC+BA即(BC+BA+CA故选:BC12．已知点P在△ABC所在的平面内，则下列命题正确的是（

）A．若P为△ABC的垂心，AB⋅ACB．若△ABC为边长为2的正三角形，则PA⋅C．若△ABC为锐角三角形且外心为P，AP=xAB+yACD．若AP=1ABcosB【答案】AC【解析】A：如下图，BE⊥AC,AD⊥BC，则P为垂心，易知：所以AEAD=AP根据向量数量积的几何意义知：AB⋅AC=AE×AC=所以AP⋅B：构建以BC中点O为原点的直角坐标系，则A(0,3)所以PA=(−x由PB+PC=当x=0,y=32时C：由题设AP=(1−所以BP=y(BC+BA)，若故BP=2yBD，故B,P,所以AB=BC，正确；D：由题设，AP=则AP⋅所以2AP⋅BC=(AB+故AP⋅BC=AD⋅故选：AC13．定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a=x1,yA．对任意的λ∈R，有B．存在唯一确定的向量e使得对于任意向量a，都有aΘC．若a与b垂直，则aΘbΘD．若a与b共线，则aΘbΘ【答案】AD【解析】设向量a=x1,y1=λx对于B，假设存在唯一确定的向量e=x0,y0使得对于任意向量x1y0对于C，若a与b垂直，则x1x2+ya==x1y对于D，若a与b共线，则x1y2aΘa=x1x2x故选：AD.14．已知向量a，b的夹角为45°，a=2，且a⋅b=【答案】-2【解析】因为a⋅b=又因为λa所以λa+b故答案为：-2.15．已知a，b是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c满足a−【答案】5【解析】以a为x轴，b为y轴，建立直角坐标系，则a=1,0，b=依题意有a−c=a−即x−122+y−14