离散傅里叶变换DFT的性质

离散傅里叶变换DFT的性质第1页，共33页。1我们为什么要讨论DFT的性质2回顾离散时间傅里叶变换DTFT的性质3DFT的隐含周期性、线性、对称性4圆周对称性、DFT乘法和圆周卷积5其他特性第2页，共33页。讨论DFT的性质有何意义呢？1.加深对离散傅里叶变换的理解，更好的掌握DFT的特性，便于体会出时域和频谱表达存在的内在联系。2.这些重要的性质有助于简化变换与反变换的求取，降低计算的复杂性。例如后面重点学习的FFT算法就利用了DFT的周期性和对称性。第3页，共33页。离散时间傅里叶变换对（DTFT）：第4页，共33页。1、周期性有没有对此产生疑惑呢？第5页，共33页。

通过上一节对离散时间信号的频域采样与重建可知，DFT对应的时域和频域都是离散的，且只在有限区域上有定义，时域为0,1…N-1，频域为0-2π。对于，可理解为是的主值序列，一旦对n的取值域不加限制时，x[n]以N为周期。第6页，共33页。2、线性第7页，共33页。3、对称性第8页，共33页。(1)实序列第9页，共33页。(2)实偶序列第10页，共33页。（3）实奇序列第11页，共33页。（4）纯虚序列自行查阅并掌握表7.1(P348)中列出的所有性质第12页，共33页。4、序列的圆周对称性第13页，共33页。N点序列的圆周移位等价于它的周期延拓的线性移位第14页，共33页。序列关于零点对称，称为圆周偶序列:

对应于周期序列为偶序列：序列关于零点反对称，称为圆周奇序列：

对应于周期序列为奇序列：共轭偶序列和共轭奇序列第15页，共33页。5、两个DFT的乘法和圆周卷积第16页，共33页。第17页，共33页。

上式具有卷积和的形式，包含了序号，因而称为圆周卷积。在圆周卷积中，折叠和移位(旋转)操作是通过对一个序列的序号做模N运算按照周期方式实现的，而在线性卷积中，不存在模运算。

第18页，共33页。例对下面两个序列进行圆周卷积：可利用圆周序列图来计算注意:序列默认是以逆时针方向画在圆周上的，反转序列则是以顺时针方向画出。第19页，共33页。以m=0为例，计算出第20页，共33页。卷积的四个步骤：

1、反转序列

2、移位反转后的序列

3、将两个序列点点相乘

4、将乘积序列各值相加注：可自行查阅《信号与系统》P59-60比较与计算线性卷积的区别第21页，共33页。例通过DFT和IDFT来计算两个序列对应的圆周卷积序列利用第22页，共33页。解:计算两个DFT的乘积:

计算的IDFT

第23页，共33页。6、序列的时域反转7、序列的圆周时域移位第24页，共33页。第25页，共33页。8、圆周频域移位（调制）9、复共轭特性Homework1：推导圆周频域移位性质和复共轭性质第26页，共33页。10、圆周相关性11、序列的乘积第27页，共33页。证明:第28页，共33页。第29页，共33页。11、帕塞瓦定理第30页，共33页。

请大家结合课上学习、课下性质推导及练习题，熟练掌握表7.2（P356）

Homework2：P3727.17.27.47.10仔细看书中的7.2DFT性质列表，与DTFT性质表进行对比1.哪些性质DFT和DTFT是完全相同的？