初高中数学暑假衔接材料：第10讲 函数及其表示方法（暑假预习讲义）（原卷版及解析）

2/14第10讲函数及其表示方法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：函数关系判断题型2：具体函数定义域求解题型3：抽象函数定义域求解题型4：同一函数判定题型5：函数表示法应用题型6：函数值与值域求解题型7：待定系数法求解析式题型8：换元配凑法求解析式题型9：方程组法求解析式题型10：分段函数求值题型11：分段函数值域与最值04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数的定义函数的三要素区间的表示函数的表示方法分段函数函数的定义域1.理解函数的定义，明确函数的三要素（定义域、值域、对应关系），能准确判断两个函数是否为同一函数。2.掌握区间的概念与表示方法，能熟练进行数集与区间形式的相互转化。3.掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法，能根据不同问题情境选择恰当的表示方法刻画函数。4.理解分段函数的概念，能求解分段函数的函数值、定义域与值域，能绘制简单分段函数的图像。5.掌握函数定义域的求解规则，能根据函数解析式、实际问题背景准确求解函数的定义域。学习重点：函数的概念与三要素，函数的三种表示方法，函数定义域的求解，分段函数的理解与应用。学习难点：函数概念的抽象理解，同一函数的判断，复杂函数定义域的求解，分段函数的图像绘制与综合应用。知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01函数的概念1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作.2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集．3．对应关系除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系．注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数．（2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性．（3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样．即时即练已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（

）A． B． C． D．知识点02同一个函数1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数．即时即练下列函数中哪个与函数是同一个函数（

）A． B． C． D．知识点03常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数反比例函数一次函数二次函数即时即练函数的定义域为（

）A． B．或C． D．或或知识点04函数的表示法函数的表示法解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．即时即练根据表中数据，可得__________.x1234f23414123知识点05分段函数1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的．（3）分段函数的图象要分段来画．即时即练已知函数．(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域．

题型1：函数关系判断【典例1-1】（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数y=fx的图象的交点个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定【典例1-2】下列从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函数的是（）A．，对应关系B．，对应关系C．，对应关系D．，对应关系【变式1-1】（2026·高一·上海·阶段检测）函数y=fx的解析式为，值域为，则符合要求的函数fx的个数为（

）A．1个 B．2025个 C．2835个 D．2026个【变式1-2】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（

）A．B．C．D．【变式1-3】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（

）A． B． C． D．题型2：具体函数定义域求解【典例2-1】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【典例2-2】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式2-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．（3，4）【变式2-3】（2026·高一·山西阳泉·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．题型3：抽象函数定义域求解【典例3-1】（2026·高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C．[1，3] D．(1，3]【变式3-1】（2026·高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知y=fx定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【变式3-2】（2026·高一·江西九江·开学考试）已知函数y=fx的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（2026·高一·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．题型4：同一函数判定【典例4-1】（2026·高一·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【典例4-2】（2026·高一·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【变式4-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【变式4-2】（2026·高一·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数fx与是同一函数（

）A．， B．，C．， D．，【变式4-3】（2026·高一·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，题型5：函数表示法应用【典例5-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则__________，不等式的解集为__________.x123f230

【典例5-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数fx的图象如图所示，则______.【变式5-1】（2026·高一·上海·期中）已知函数y=fx和的部分取值如表所示．则_______．x123f6910234【变式5-2】（2026·高一·广东·阶段检测）设，则∀x∈R，且__________.【变式5-3】（2026·高一·山西运城·期中）若函数fx满足，则________.题型6：函数值与值域求解【典例6-1】（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域：(1)；(2).【典例6-2】（2026·高一·山东淄博·期中）（1）化简求值:（2）已知求f(x);（3）求函数的值域．【变式6-1】已知函数的值域是，求实数m，n的值．【变式6-2】求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；(4)，．【变式6-3】求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（x>1）．题型7：待定系数法求解析式【典例7-1】（2026·高一·四川泸州·期中）已知一次增函数fx满足，则（

）A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1【典例7-2】（2026·高一·福建福州·期中）若函数fx是二次函数，满足，则fx=（

A． B． C． D．【变式7-1】若是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．【变式7-2】（2026·高一·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（

）A．3 B．−3 C． D．7【变式7-3】（2026·高三·全国·中职高考）已知二次函数fx满足，且fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．题型8：换元配凑法求解析式【典例8-1】（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（

）A． B．C． D．【典例8-2】若则当x≠0，且时，（）A． B． C． D．－1【变式8-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式8-2】（2026·高一·陕西西安·期末）若函数，则（

）A． B． C． D．【变式8-3】（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【变式8-4】（2026·高一·云南·期末）已知函数，则函数fx的解析式为（

）A． B．C． D．题型9：方程组法求解析式【典例9-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则fx的解析式是（

）A． B．C． D．【典例9-2】（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数满足，则（

）A．的最小值为2 B．C．的最大值为2 D．【变式9-1】若函数满足方程且x≠0，则：（1）___________；（2）___________．【变式9-2】（2026·高二·福建·期末）若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）【变式9-3】（2026·高一·山西朔州·期中）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.题型10：分段函数求值【典例10-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，则（

）A．15 B．5 C．−3 D．21【典例10-2】（2026·高一·浙江·期中）已知函数，则（

）A．63 B． C． D．【变式10-1】（2026·高一·陕西西安·期中）已知函数，则（

）A． B． C．2 D．1【变式10-2】（2026·高一·山东德州·期末）设函数，则（）A．−1 B．−12 C．1 题型11：分段函数值域与最值【典例11-1】（2026·高一·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A．0,1 B． C． D．【典例11-2】（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数(1)求，的值；(2)若，求a的值；(3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数fx【变式11-1】（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数(1)画出函数fx(2)求函数fx(3)若，求x的值；(4)求的值.【变式11-2】（2026·高一·重庆江津·阶段检测）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)写出的值域；(2)写出不等式的解集；(3)求的解析式．【变式11-3】（2026·高一·陕西商洛·阶段检测）已知（1）求，值；（2）若，求x值；（3）作出该函数简图；（4）求函数值域．

1．（2026·高一·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（2026·高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（

）A． B．C． D．3．（2026·高一·重庆·阶段检测）定义在上的函数fx满足，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．84．（2026·高一·浙江温州·阶段检测）设函数则（）A．—2 B．−12 C．125．（2026·高一·广西河池·期中）已知函数，求的值（

）A．2 B．5 C．3 D．16．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（

）A． B． C． D．7．（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．8．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数fx满足：对任意的非零实数x，y，都有成立，，若，，则n=（

）A．−3 B．−2 C．2 D．39．（2026·高一·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2026·高一·辽宁盘锦·开学考试）已知，函数表示3小数点后第n位数字y，并规定，则（

）A．1 B．7 C．3 D．211．（2026·高一·江西宜春·阶段检测）已知函数，若，则a=（

）A．4 B．3 C．2 D．112．（2026·高一·福建厦门·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．7 D．913．（2026·高一·广东惠州·期末）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（

）A． B．C． D．14．（2026·高一·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（

）A． B．C． D．15．（多选题）（2026·高一·福建泉州·期中）已知函数fx满足，则（）A． B．fx的值域为C．的定义域为 D．16．（多选题）（2026·高二·陕西榆林·期中）下列说法正确的是（

）A．函数与是相同的函数B．函数的最小值为6C．若，则D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为17．函数的值域是__.18．（2026·高一·河北保定·阶段检测）函数的值域为______.19．已知函数，，其中表示不超过x的最大整数，如，，则______.20．求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；21．（2026·高二·全国·期末）（1）已知fx是二次函数，且，，求fx的解析式；（2）已知函数fx满足，求fx22．（2026·高一·河北唐山·开学考试）函数，a，(1)当时，若，求实数b的值；(2)已知，且，求的解集．23．（2026·高一·贵州毕节·期中）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，．(1)求不等式的解集；(2)若，，，求m的取值范围；(3)若的解集为，求a的取值范围．

第10讲函数及其表示方法内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解题型1：函数关系判断题型2：具体函数定义域求解题型3：抽象函数定义域求解题型4：同一函数判定题型5：函数表示法应用题型6：函数值与值域求解题型7：待定系数法求解析式题型8：换元配凑法求解析式题型9：方程组法求解析式题型10：分段函数求值题型11：分段函数值域与最值04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航函数的定义函数的三要素区间的表示函数的表示方法分段函数函数的定义域1.理解函数的定义，明确函数的三要素（定义域、值域、对应关系），能准确判断两个函数是否为同一函数。2.掌握区间的概念与表示方法，能熟练进行数集与区间形式的相互转化。3.掌握函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法，能根据不同问题情境选择恰当的表示方法刻画函数。4.理解分段函数的概念，能求解分段函数的函数值、定义域与值域，能绘制简单分段函数的图像。5.掌握函数定义域的求解规则，能根据函数解析式、实际问题背景准确求解函数的定义域。学习重点：函数的概念与三要素，函数的三种表示方法，函数定义域的求解，分段函数的理解与应用。学习难点：函数概念的抽象理解，同一函数的判断，复杂函数定义域的求解，分段函数的图像绘制与综合应用。知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01函数的概念1．函数的定义：设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么就称为从集合到集合的一个函数,记作.2．函数的定义域与值域：函数中,叫做自变量,x的取值范围叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域．显然,值域是集合的子集．3．对应关系除解析式、图象表格外,还有其他表示对应关系的方法,引进符号统一表示对应关系．注意：（1）当为非空数集时,符号“”表示到的一个函数．（2）集合中的数具有任意性,集合中的数具有唯一性．（3）符号“”它表示对应关系,在不同的函数中的具体含义不一样．即时即练已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数.选项A：，当x=−1时，，当x=0时，，当x=1时，，满足函数定义，不符合题意；选项B：，当x=−1时，，当x=0时，，当x=1时，，满足函数定义，不符合题意；选项C：，当x=−1时，，当x=0时，，当x=1时，，满足函数定义，不符合题意；选项D：，当x=−1时，无意义，不满足函数定义，符合题意.故选：D知识点02同一个函数1．函数三要素：由函数的定义可知,一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．2．相同函数：值域是由定义域和对应关系决定的,如果两个函数的定义域和对应关系相同,我们就称这两个函数是同一函数．两个函数如果仅对应关系相同,但定义域不同,则它们不是相同的函数．即时即练下列函数中哪个与函数是同一个函数（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数的定义域是,值域是,A.

函数的定义域是，所以A错误；B.

函数的定义域是，所以B错误；C.

函数与的对应法则不同，所以C错误；D.

函数，与函数是同一个函数,所以D正确.知识点03常见函数的定义域和值域函数函数关系式定义域值域正比例函数反比例函数一次函数二次函数即时即练函数的定义域为（

）A． B．或C． D．或或【答案】D【解析】由题意函数要有意义则：，解得，即函数的定义域为或或，故选：D．知识点04函数的表示法函数的表示法解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图象法用图象表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．即时即练根据表中数据，可得__________.x1234f23414123【答案】3【解析】由题意得，则，故答案为：3.知识点05分段函数1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．注意：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．（2）分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如，其“段”是不等长的．（3）分段函数的图象要分段来画．即时即练已知函数．(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图象（不写画法），写出该函数的定义域、值域．【解析】（1）当，；当，.故；（2）定义域为，值域为.

题型1：函数关系判断【典例1-1】（2026·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与函数y=fx的图象的交点个数为（

）A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定【答案】C【解析】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个x，只有唯一的y与之对应，若a在函数定义域内，则直线与函数y=fx的图象的交点个数为1，若不在函数定义域内，则直线与函数y=fx的图象的交点个数为0，所以函数y=fx的图象与直线的交点个数为0或1.【典例1-2】下列从集合A到集合B的对应关系中，y是x的函数的是（）A．，对应关系B．，对应关系C．，对应关系D．，对应关系【答案】B【解析】A，当x=0时，函数没有意义，所以y不是x的函数，不符合；B，当时，对于，任意，都有唯一的y与之相对应，所以y是x的函数，符合；C，当x<0时，函数没有意义，所以y不是x的函数，不符合；D，令x=1，由，得，不符合函数的定义，所以y不是x的函数，不符合.故选：B【变式1-1】（2026·高一·上海·阶段检测）函数y=fx的解析式为，值域为，则符合要求的函数fx的个数为（

）A．1个 B．2025个 C．2835个 D．2026个【答案】C【解析】由题意函数的解析式为，fx因为fx的值域为，由图象可得有4个解，要使，则fx的定义域中必须包含这4个解的集合中的至少一个元素，此时符合条件的定义域有个，同理有3个解，此时符合条件的定义域有个，有2个解，此时符合条件的定义域有个，有2个解，此时符合条件的定义域有个，有2个解，此时符合条件的定义域有个，所以要使fx的值域为，则fx的定义域的组合情况有个，所以符合要求的函数fx的个数为个，故选：C【变式1-2】（2026·高一·上海宝山·阶段检测）存在函数满足，对任意都有（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】选项A：令（），则，原式可变形为（）.令（），则，所以，即，满足题意，A正确；选项B：令（），对于同一个t，有两个不同结果（如时，x=0或，或），一个t对应两个函数值，故不存在这样的函数，B错误；选项C：令（），对于同一个t，有两个不同结果（如t=0时，，或），一个t对应两个函数值，故不存在这样的函数，C错误；选项D：令（），对于同一个t，有两个不同结果（如时，x=0或，或），一个t对应两个函数值，故不存在这样的函数，D错误；故选：A【变式1-3】（2026·高一·贵州遵义·阶段检测）下列图形可作为函数图象的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象，对于A、B、D均存在x使得一个x对应两个及两个以上的y值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象.故选：C.题型2：具体函数定义域求解【典例2-1】（2026·高二·贵州遵义·阶段检测）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由，解得或，故fx的定义域是.故选：B【典例2-2】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题可知且，所以函数的定义域为.故选：D．【变式2-1】（2026·高一·广东肇庆·阶段检测）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】要使函数有意义，则，解得且，故函数fx的定义域为：．故选：C.【变式2-2】（2026·高一·宁夏吴忠·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．（3，4）【答案】C【解析】要使有意义，只需，即，解得或，所以函数的定义域为.故选：C【变式2-3】（2026·高一·山西阳泉·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由得，，解得,由得，，解得,综合两个条件，函数的定义域为.故选：C.题型3：抽象函数定义域求解【典例3-1】（2026·高一·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得，解得，所以函数的定义域为.【典例3-2】（2026·高一·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C．[1，3] D．(1，3]【答案】B【解析】因为函数的定义域为，所以函数fx的定义域为，所以的定义域需满足：，解得.【变式3-1】（2026·高三·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知y=fx定义域为，则的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】设，则可化为.因为y=fx定义域为，即1<x≤3，则中的，即，解得.所以的定义域为.【变式3-2】（2026·高一·江西九江·开学考试）已知函数y=fx的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，∵函数fx的定义域为，，即，解得，所以函数的定义域是．故选：B．【变式3-3】（2026·高一·安徽合肥·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，当时，，则函数的定义域为，在函数中，，解得且，所以函数的定义域为.故选：A题型4：同一函数判定【典例4-1】（2026·高一·安徽淮北·期中）下列各组函数表示同一函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误；对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误；对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误；对于D，的定义域为，的定义域为，，所以表示同一函数，D正确.【典例4-2】（2026·高一·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解析】对于A，当n为奇数时，，所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数；对于B，n为偶数时，，所以，与fx对于C，与都可化为，且定义域均为，故是同一个函数；对于D，与的定义域都是，fx是关于x的二次函数，而是关于a的函数，当x≠0时为一次函数，当x=0时为常数函数，两函数对应关系不相同，故不是同一个函数.故选：D.【变式4-1】（2026·高一·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是；对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是；对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是；对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是.故选：B【变式4-2】（2026·高一·贵州贵阳·期末）下列哪一组中的函数fx与是同一函数（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】对于A：的定义域为，定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项A不正确；对于B：的定义域为，的定义域为，对应关系不同，所以不是同一函数，故选项B错误；对于C：的定义域为，的定义域为，定义域和对应关系都相同，所以是同一函数，故选项C正确；对于D：的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，故选项D错误；故选：C.【变式4-3】（2026·高一·广西河池·期末）下列表示为同一个函数的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是；对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是；对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是；对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是.故选：B题型5：函数表示法应用【典例5-1】（2026·高一·北京·期中）已知函数的全部对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线，其中，则__________，不等式的解集为__________.x123f230

【答案】2【解析】由图知：，所以；由题知：函数的全部对应关系如表中所示，所以时，x=1或，故不等式的解集为.故答案为：2；【典例5-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数fx的图象如图所示，则______.【答案】4【解析】由函数fx的图象，可得，则.故答案为：4.【变式5-1】（2026·高一·上海·期中）已知函数y=fx和的部分取值如表所示．则_______．x123f6910234【答案】10【解析】当时，，则.故答案为：10【变式5-2】（2026·高一·广东·阶段检测）设，则∀x∈R，且__________.【答案】0【解析】.故答案为：0.【变式5-3】（2026·高一·山西运城·期中）若函数fx满足，则________.【答案】/1.5【解析】令，得x=3，所以，故答案为：题型6：函数值与值域求解【典例6-1】（2026·高三·全国·一轮复习）求下列函数的值域：(1)；(2).【解析】（1）因为x>1，所以，所以，当且仅当x=4时取等号，所以函数的值域为.（2）由，得，由，得，所以，所以函数的值域为.【典例6-2】（2026·高一·山东淄博·期中）（1）化简求值:（2）已知求f(x);（3）求函数的值域．【解析】（1）.（2）令，，则，，所以，所以fx的解析式为：；（3），由，有，得，可得，所以函数的值域为.【变式6-1】已知函数的值域是，求实数m，n的值．【解析】由可得，，即，此方程一定有解，则，即，因为函数的值域是，所以不等式的解集为，所以−2和4是方程的两根，所以，解得或.【变式6-2】求下列函数的值域：(1)，；(2)；(3)；(4)，．【解析】（1），且，则．所以函数的值域为．（2）函数的定义域为，由，得，所以的值域为．（3）函数图象的对称轴为，当时，，所以函数的值域为．（4）因为，则，可得，所以在的值域为．【变式6-3】求下列函数的值域．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)（x>1）．【解析】（1）因为，所以．故值域为．（2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为．（3）令，则，且，所以（）．故函数的值域．（4），其中，，当x=1时，．又因为，所以．故函数的值域为．（5）因为x>1，所以，所以，当且仅当，即x=4时，取等号，即y取得最小值8．故函数的值域为．题型7：待定系数法求解析式【典例7-1】（2026·高一·四川泸州·期中）已知一次增函数fx满足，则（

）A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1【答案】D【解析】由一次增函数fx，可设，则，所以，解得或（舍去），当时，，此时，，故选：D【典例7-2】（2026·高一·福建福州·期中）若函数fx是二次函数，满足，则fx=（

A． B． C． D．【答案】B【解析】设（a≠0），由，则，由，则，整理可得，则，解得，所以.故选：B.【变式7-1】若是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由题设有，解得，所以．故选：B．【变式7-2】（2026·高一·天津·期中）已知函数为一次函数，且，则（

）A．3 B．−3 C． D．7【答案】C【解析】∵，∴且，解得，∴，∴.故选：C.【变式7-3】（2026·高三·全国·中职高考）已知二次函数fx满足，且fx的最大值是8，则此二次函数的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，由得:图象的对称轴为直线x=12，设二次函数为，因的最大值是8，所以，当x=12时，，即二次函数，由得:，解得：，则二次函数，故选：A.题型8：换元配凑法求解析式【典例8-1】（2026·高一·湖北襄阳·阶段检测）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，则，因为x≠0，所以，由，可得，所以．【典例8-2】若则当x≠0，且时，（）A． B． C． D．－1【答案】B【解析】∵＝，∴.【变式8-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）若，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】将代入，得到，解得.故选：B.【变式8-2】（2026·高一·陕西西安·期末）若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，则有，故.故选：B.【变式8-3】（2026·高一·安徽蚌埠·期末）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，可得，由题意得x≠0，则，因为，所以，则，故D正确.故选：D【变式8-4】（2026·高一·云南·期末）已知函数，则函数fx的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】设，则，因为，可得，所以函数．故选：C．题型9：方程组法求解析式【典例9-1】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则fx的解析式是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，（1）在（1）中将x替换为，则

（2）在（1）中将x替换为，则

（3）可得：且故选：B.【典例9-2】（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数满足，则（

）A．的最小值为2 B．C．的最大值为2 D．【答案】B【解析】因为，，所以.所以，所以fx的最小值1，无最大值，为故A，C错误.对选项B，，因为，所以，即，故B正确.对选项D，，因为，所以，即，故D错误.故选：B【变式9-1】若函数满足方程且x≠0，则：（1）___________；（2）___________．【答案】23【解析】令x=1可得：，所以；由①得，②，联立①②可得：.故答案为：①23；②.【变式9-2】（2026·高二·福建·期末）若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）【答案】【解析】若，满足.若，满足.故答案为：，答案不唯一.【变式9-3】（2026·高一·山西朔州·期中）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.【答案】【解析】令代入等式，解方程组可得答案.因为，可得，由，解得.故答案为：.题型10：分段函数求值【典例10-1】（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数，则（

）A．15 B．5 C．−3 D．21【答案】A【解析】因为函数，所以．【典例10-2】（2026·高一·浙江·期中）已知函数，则（

）A．63 B． C． D．【答案】C【解析】函数，则，所以.故选：C【变式10-1】（2026·高一·陕西西安·期中）已知函数，则（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【解析】因为函数，所以.故选：C.【变式10-2】（2026·高一·山东德州·期末）设函数，则（）A．−1 B．−12 C．1 【答案】B【解析】因为函数，.题型11：分段函数值域与最值【典例11-1】（2026·高一·江苏连云港·期末）已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（）A．0,1 B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以当时，即；要使函数fx的值域为，所以当时fx的值域需包含，又，所以，解得，即实数a的取值范围是.故选：D【典例11-2】（2026·高一·天津宝坻·阶段检测）已知函数(1)求，的值；(2)若，求a的值；(3)在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象写出函数fx【解析】（1）因为函数，所以，，所以；（2）①当时，，解得，不满足，故舍去；②当时，，解得，又因为，所以，③当时，，解得a=4，综上所述，a的值为或4；（3）函数的图象，如下图所示：由图象可知，函数fx的值域为．【变式11-1】（2026·高一·内蒙古赤峰·阶段检测）已知函数(1)画出函数fx(2)求函数fx(3)若，求x的值；(4)求的值.【解析】（1）因为，所以函数fx的图象如下所示：（2）因为，所以fx的定义域为，由fx的图象可知，当时fx取得最大值，即，所以fx的值域为；（3）因为，令，则或或，解得或或，综上可得所对应的x的值为或.（4）因为，所以，则，，所以.【变式11-2】（2026·高一·重庆江津·阶段检测）如图，定义在上的函数的图象由一条线段及抛物线的一部分组成．(1)写出的值域；(2)写出不等式的解集；(3)求的解析式．【解析】（1）结合图象可得函数的值域为.（2）结合图象可得不等式的解集为.（3）当时，设，则即，此时，当x>0时，设，而，故，故此时，故.【变式11-3】（2026·高一·陕西商洛·阶段检测）已知（1）求，值；（2）若，求x值；（3）作出该函数简图；（4）求函数值域．【解析】（1）由已知，，；（2）当时，，x=−12；当时，，；当时，x=12无解，综上x=−12，或（3）图象如图，（4）由图象知函数值域中．

1．（2026·高一·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为函数的定义域为，即，所以，所以的定义域为，又，则x>2，所以，因此函数的定义域为，故选：C．2．（2026·高三·全国·中职高考）若二次函数满足，且，则的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，a≠0，∵，则，又∵，令x=0，则，∴，即，，令x=1，则，，即，，∴，，.故选：D.3．（2026·高一·重庆·阶段检测）定义在上的函数fx满足，则的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】B【解析】因为，①令，可得.②①②得，所以.所以.故选：B.4．（2026·高一·浙江温州·阶段检测）设函数则（）A．—2 B．−12 C．12【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以，所以.5．（2026·高一·广西河池·期中）已知函数，求的值（

）A．2 B．5 C．3 D．1【答案】B【解析】，．6．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，则或，当时，，当时，，综上，此函数的值域为．7．（2026·高一·浙江杭州·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】已知的定义域为，则.对于，则，解得：.又因为，即：.所以函数的定义域.8．（2026·高一·浙江杭州·期中）已知函数fx满足：对任意的非零实数x，y，都有成立，，若，，则n=（

）A．−3 B．−2 C．2 D．3【答案】B【解析】令，得，因为，所以，解得.9．（2026·高一·广东梅州·开学考试）已知函数的定义域是，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数的定义域是，所以不等式对任意x∈R恒成立，当时，，对任意x∈R恒成立，符合题意；当m≠0时，即解得，综上，实数m的取值范围是．故选：D.10．