初高中数学暑假衔接材料：暑假预习专题 第3讲 集合的运算（原卷版及解析）（暑假预习讲义）

2/14暑假预习专题第3讲集合的运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航交集并集补集1．理解交集、并集和补集的概念，会准确使用集合的运算符号“∩”、“U”、“”(重点)2.掌握集合之间的交、并运算，会求给定集合中一个子集的补集.(重、难点)学习重点：集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常借助维恩图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果带入端点验证是否符合题意。学习难点：会用维恩图、数轴等图形语言表示集合的三种运算，体会困形对理解抽象概念的作用，感悟数形结合思想。1、交集：由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，即A∩B=文氏图直观地反映A∩B的几种不同情况2、并集：由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集，记作“A∪B”，读作“A并B”，即A∪B=文氏图直观地反映A∪B的几种不同情况3、补集：文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作A符号语言A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言4、常用结论：（1）并集运算性质：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A⊆A∪B,B⊆A∪B；若A∪B=B，则A⊆B；（2）交集运算性质：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；A∩B⊆A,A∩B⊆B；若A∩B=A，则A⊆B.知｜知｜识｜框｜架知｜识知｜识｜精｜讲知识点01交集交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即①；②，；③；④；⑤若，则；定义由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,(1)两集合为不包含关系时①与有部分公共元素:②两集合为包含关系时：①②③【经典例题】【例1】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【技巧归纳】先求得集合,再根据交集定义求解．【例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则.【技巧归纳】求两个集合的交集,关键在于紧扣交集的定义，找到两个集合的公共元素.【例3】（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合，则【技巧归纳】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案.【例4】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值.【技巧归纳】根据分类讨论找到两个集合中的公共元素，就可以看出两个集合的交集即可．【对点练习】【练习1】已知集合，，求.【练习2】已知集合，，求.【练习3】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值.【练习4】设集合，则集合____【练习5】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若9∈A∩B，求a的值.知识点02并集并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即.①；②，；③；④；⑤若，则.自然语言定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记符号语言图形语言（1）两集合为不包含关系时:①A与B有部分公共元素;②A与B没有公共元素（2）两集合为包含关系时①②③【经典例题】【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是．【易错提醒】据集合并集的定义即可求解..【例5】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足，则实数的值为．【易错提醒】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可.【例6】满足条件的集合的个数是．【易错提醒】根据题意确定的元素，一定要有，最多只能有三个元素，直接得答案.【例7】已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有个.【易错提醒】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数.【例8】（23-24高一上·上海虹口·期中）已知全集为R，集合，集合．(1)求；(2)若，且，求实数m的取值范围．【易错提醒】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可；（2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可.【对点练习】【练习8】满足条件的集合的个数是．【练习9】集合各含8个元素，含5个元素，则含有个元素.【易错提醒】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案.【练习10】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∪B＝B，求a的值．【练习11】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【练习12】已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－6＝0}且A∪B＝A，求实数a的值组成的集合知识点03补集补集：设为全集，是的子集，则由中所有不属于集合的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集，记作“A”或“”，读作“A补”，即①，；②若A⊂B,则③，；④若，则；若，则；⑤，.1.全集的概念在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素2.补集的概念自然语言定义设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作（读作＂补＂）．有时为了强调全集，集合在全集中的补集符号语言图形语言3.补集的运算性质性质说明任何集合与其补集的并集为全集任何集合与共补集的交集为空集任何集合的补集的补集为集合本身全集的补集为空集，空集的补集为全集【经典例题】【例9】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，，则.【易错提醒】根据集合的交集运算和补集运算求解即可.【例10】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值.【易错提醒】本题考查集合的补集，利用补集的定义来求得正确答案．【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？【易错提醒】根据集合补集和交集的定义，即可判断.【例12】已知集合，且．(1)若，求实数a组成的集合；(2)若全集为A，，求m，a的值．【易错提醒】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求；（2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a.【例13】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为.【易错提醒】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解.【例14】（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则.【易错提醒】本题考查集合的补集，根据题意画出韦恩图即可得知．【例15】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，.(1)若，求实数的值；(2)若全集为，，求实数的取值范围.【易错提醒】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解；（2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【对点练习】【练习13】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若全集，集合，，则=【练习14】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，则．【练习15】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合.【练习16】已知集合，，，全集．；若，则实数b的取值范围为．【练习17】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，，，．【练习18】已知全集，，，且，求的值．1．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，如果，则的值是.2．集合，，若，则实数．3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则．4.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则．5.（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则．6.集合各含8个元素，含5个元素，则含有个元素.7.（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则．8.（24-25高一上·上海·期末）已知全集，，则．9.（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则10.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）全集为，，，则.11.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是.12.（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则=13.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为.14.若、、为三个集合，，则一定有（）A． B． C． D．15．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（

）A． B． C． D．16．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）判断下列命题为真命题的个数（

）①0是的真子集；②；③如果集合A是集合B的子集，那么集合B就不是集合A的子集；④如果，那么除以4的余数为0或1.A．0个 B．1个 C．2个 D．3个17．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．18.（24-25高一上·上海·期中）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.19.已知集合，．(1)若是的真子集，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．20.（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知集合，集合或，全集.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.21.（24-25高一上·上海·期中）已知集合，，.(1)若，求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.

暑假预习专题第3讲集合的运算内容导航01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理03过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固关键词学习目标导航交集并集补集1．理解交集、并集和补集的概念，会准确使用集合的运算符号“∩”、“U”、“”(重点)2.掌握集合之间的交、并运算，会求给定集合中一个子集的补集.(重、难点)学习重点：集合的交、并、补运算的混合运算，以及根据集合的运算结果求参数的取值范围，常常借助维恩图和数轴解决含有参数的问题，这里端点处的值不太好判断，比较好的方法是求出结果带入端点验证是否符合题意。学习难点：会用维恩图、数轴等图形语言表示集合的三种运算，体会困形对理解抽象概念的作用，感悟数形结合思想。1、交集：由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，即A∩B=文氏图直观地反映A∩B的几种不同情况2、并集：由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集，记作“A∪B”，读作“A并B”，即A∪B=文氏图直观地反映A∪B的几种不同情况3、补集：文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作A符号语言A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言4、常用结论：（1）并集运算性质：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A⊆A∪B,B⊆A∪B；若A∪B=B，则A⊆B；（2）交集运算性质：A∩(B∩C)=(A∩B)∩C；A∩B⊆A,A∩B⊆B；若A∩B=A，则A⊆B.知｜知｜识｜框｜架知｜知｜识｜精｜讲知识点01交集交集：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即①；②，；③；④；⑤若，则；定义由既属于集合又属于集合的所有元素组成的集合，叫做集合与的交集,(1)两集合为不包含关系时①与有部分公共元素:②两集合为包含关系时：①②③【经典例题】【例1】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】，又，所以，故选：B．【技巧归纳】先求得集合,再根据交集定义求解．【例2】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，则.【答案】【分析】由集合交集可得答案.【详解】由交集定义，结合，则；故答案为：.【技巧归纳】求两个集合的交集,关键在于紧扣交集的定义，找到两个集合的公共元素.【例3】（24-25高一上·上海松江·期末）已知集合，则【答案】【详解】依题意，；故答案为：.【技巧归纳】根据给定条件，利用交集的定义直接求得答案.【例4】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}．若A∩B＝B，求a的值.【解析】化简集合A，得A＝{－4，0}．由于A∩B＝B，则有B⊆A可知集合B或为空集，或只含有根0或－4.①若B＝∅，由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，得a<－1.②若0∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得a2－1＝0，即a＝1或a＝－1，当a＝1时，B＝{x|x2＋4x＝0}＝{0，－4}＝A，符合题意；当a＝－1时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A，也符合题意；③若－4∈B，代入x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，得a2－8a＋7＝0，即a＝7或a＝1，当a＝1时，②中已讨论，符合题意；当a＝7时，B＝{x|x2＋16x＋48＝0}＝{－12，－4}，不合题意；综合①②③得a＝1或a≤－1．【技巧归纳】根据分类讨论找到两个集合中的公共元素，就可以看出两个集合的交集即可．【对点练习】【练习1】已知集合，，求.【答案】【练习2】已知集合，，求.【答案】【解析】表示方程组的解得集合，也可以理解为两个函数图像的交点坐标的集合.【练习3】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若A∩B＝{9}，求a的值.【答案】∵A∩B＝{9}，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3；当a＝5时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}．此时A∩B＝{－4，9}≠{9}．故a＝5舍去．当a＝3时，B＝{－2，－2，9}，不符合要求，舍去．经检验可知a＝－3符合题意．【练习4】设集合，则集合____【答案】【练习5】已知集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}，若9∈A∩B，求a的值.【答案】∵9∈A∩B且9∈B，∴9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3.而当a＝3时，a－5＝1－a＝－2，故舍去．∴a＝5或a＝－3.知识点02并集并集：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即.①；②，；③；④；⑤若，则.自然语言定义由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的并集,记符号语言图形语言（1）两集合为不包含关系时:①A与B有部分公共元素;②A与B没有公共元素（2）两集合为包含关系时①②③【经典例题】【例4】（24-25高一上·上海·期中）已知集合，若，则实数的取值范围是．【答案】【详解】因为，，所以.所以实数的取值范围是；故答案为：.【易错提醒】据集合并集的定义即可求解..【例5】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知集合满足，则实数的值为．【答案】1或或0【详解】因为，所以或或，若，解得或，当时出现两个1，矛盾；当时符合要求；若，解得或，经验证都符合要求；若，解得或者，由上知不符合，经验证时符合，所以或或或；故答案为：1或或0.【易错提醒】根据并集结果得到等式，依次求解并确定是否符合要求即可.【例6】满足条件的集合的个数是．【答案】【详解】因为，所以中最少有一个元素，最多有三个元素.所以或，或，或；满足条件的集合M的个数是4；故答案为：．【易错提醒】根据题意确定的元素，一定要有，最多只能有三个元素，直接得答案.【例7】已知集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}的集合B共有个.【答案】16【详解】因为集合A={1，2，3，4}，则满足A∪B={1，2，3，4，5}，所以集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数，即为，故答案为：16.【易错提醒】由题意可得集合B等于集合A的子集中加上元素5即可，所以集合B的个数就是集合A子集的个数.【例8】（23-24高一上·上海虹口·期中）已知全集为R，集合，集合．(1)求；(2)若，且，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可；（2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可.【详解】（1），或，所以或，即；（2）因为，所以，①若，此时；②若，此时需满足，不等式无解，综上可知.【易错提醒】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可；（2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可.【对点练习】【练习8】满足条件的集合的个数是．【答案】【解析】根据题意确定的元素，一定要有，最多只能有三个元素，直接得答案.【详解】因为，所以中最少有一个元素，最多有三个元素.所以或，或，或；满足条件的集合M的个数是4；故答案为：．【练习9】集合各含8个元素，含5个元素，则含有个元素.【答案】11【详解】因为集合各含8个元素，含5个元素，所以由集合元素的互异性可得包含元素的个数为；故答案为：.【易错提醒】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案.【练习10】设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若A∪B＝B，求a的值．【详解】化简集合A，得A＝{－4，0}．因为A∪B＝B，所以A⊆B，又A＝{－4，0}，而B至少只有两个根，且根据一元二次方程根的特点，因此应有A＝B.由(1)知，a＝1.【练习11】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1}，若A∪B＝A，求实数m的取值范围．【详解】∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥－2,2m＋1≤5))，∴－eq\f(1,2)≤m≤2.【练习12】已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－6＝0}且A∪B＝A，求实数a的值组成的集合【详解】因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，a＝0；当B≠∅时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2；当x＝1时，a＝6；当x＝2时，a＝3；所以C＝{0，3，6}．知识点03补集补集：设为全集，是的子集，则由中所有不属于集合的元素组成的集合叫做集合在全集中的补集，记作“A”或“”，读作“A补”，即①，；②若A⊂B,则③，；④若，则；若，则；⑤，.1.全集的概念在数学研究中,所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素,这个确定的集合称为全集,常用符号U表示.它含有我们所要研究问题的全部可能的元素2.补集的概念自然语言定义设为全集,A是的子集.由中所有不属于的元素组成的集合称为集合在全集中的补集，记作（读作＂补＂）．有时为了强调全集，集合在全集中的补集符号语言图形语言3.补集的运算性质性质说明任何集合与其补集的并集为全集任何集合与共补集的交集为空集任何集合的补集的补集为集合本身全集的补集为空集，空集的补集为全集【经典例题】【例9】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）已知全集，集合，，则.【答案】【详解】因为集合，，所以，又全集，所以；故答案为：.【易错提醒】根据集合的交集运算和补集运算求解即可.【例10】（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值.【答案】【详解】由题意可知：，则，解得，所以实数的值为.【易错提醒】本题考查集合的补集，利用补集的定义来求得正确答案．【例11】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，集合，，是否存在实数a，使得？【答案】存在实数a，使得.理由见解析.【分析】根据集合补集和交集的定义，即可判断.【详解】存在实数a，使得.理由如下：由题意，所以或，又因为当时，，不符合条件，故舍去；当时，，，符合条件；综上，存在实数a，使得.【易错提醒】根据集合补集和交集的定义，即可判断.【例12】已知集合，且．(1)若，求实数a组成的集合；(2)若全集为A，，求m，a的值．【答案】(1)；(2).【详解】（1），，由得，当，则；当，则；当，则；综上可得实数a组成的集合为；（2）由全集为A，，即得，∴，∴，∴；综上，.【易错提醒】（1），可得，由得，对B分类讨论即可求；（2）由全集为A，，即得，代入可得m，，即，代入可得a.【例13】（24-25高一上·上海虹口·期末）已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为.【答案】【详解】全集，集合，，所以或，所以．集合或，且，所以或，解得或，即的范围为；故答案为：.【易错提醒】利用并集的定义得，从而得，根据集合包含关系列不等式求解.【例14】（24-25高一上·上海·阶段练习）若全集为的子集，且，，则.【答案】【分析】根据题意画出韦恩图即可得知.【详解】，，作出维恩图，如图所示：

则；故答案为：.【易错提醒】本题考查集合的补集，根据题意画出韦恩图即可得知．【例15】（24-25高一上·上海·阶段练习）设，.(1)若，求实数的值；(2)若全集为，，求实数的取值范围.【答案】(1)或；(2)且且且.【详解】（1）因为，，且，则是方程的根，所以，，解得或，当时，，此时，，合乎题意；当时，，此时，，合乎题意.综上所述，或；（2）对于方程，，因为全集为，，则，分以下几种情况讨论：当时，则，可得，此时，，合乎题意；当时，则，可得，因为，则、都不是方程的根，所以，，解得且且且，此时，或或或.综上所述，实数的取值范围是且且且.【易错提醒】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解；（2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【对点练习】【练习13】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若全集，集合，，则=【答案】【详解】，所以；故答案为：【练习14】（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知全集，集合，，则．【答案】．【详解】全集，，则，集合，则；故答案为：．【练习15】（24-25高一上·上海·期中）已知全集，若，，，则集合.【答案】【分析】先求出，再求出，从而可求.【详解】因为，故，而且两两相交为空集，故，故，故答案为：.【练习16】已知集合，，，全集．；若，则实数b的取值范围为．【答案】【分析】利用交集的定义直接求解，再求出集合的补集，然后由，列不等式组可求出实数b的取值范围.【详解】因为，，所以；因为，所以；因为，所以，所以；故答案为：；．【练习17】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知全集，，，．【答案】【分析】用列举法表示全集，再根据集合间运算求解.【详解】由题意得，，∵∴，∴；故答案为：.【练习18】已知全集，，，且，求的值．【答案】．【分析】由题意可得，2是关于的方程的一个根，得且，故．进而得到，3一定是关于的方程的一个根，求得的值，即可得到的值．【详解】解：∵，，∴，又，∴2是关于的方程的一个根，∴，∴且，∴，而，∴，又，∴3一定是关于的方程的一个根，∴，∴且，∴．1．（24-25高一上·上海·阶段练习）集合，，如果，则的值是.【答案】/0.0625【分析】利用可得，再结合两个集合的约束条件求出即得.【详解】由，得，因此方程与为同一方程，则，解得，所以；故答案为：.2．集合，，若，则实数．【答案】【分析】根据交集的性质得，由此求得，并检验满足题意．【详解】，则，所以，，此时满足题意；故答案为：．3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则．【答案】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设；故答案为：.4.（24-25高一上·上海长宁·期末）已知全集，集合，集合，则．【答案】【分析】应用集合的并运算求集合.【详解】由题设；故答案为：.5.（24-25高一上·上海奉贤·期中），，则．【答案】【分析】根据题意结合并集运算求解即可.【详解】因为，，所以；故答案为：.6.集合各含8个元素，含5个元素，则含有个元素.【答案】11【分析】结合集合及的元素，利用集合元素的性质即可得到答案.【详解】因为集合各含8个元素，含5个元素，所以由集合元素的互异性可得包含元素的个数为；故答案为：.7.（24-25高一上·上海·期末）设全集，集合，则．【答案】【分析】应用集合的补运算求集合.【详解】由全集，且，则.故答案为：8.（24-25高一上·上海·期末）已知全集，，则．【答案】；【分析】根据集合的补集定义计算即可.【详解】因为全集，，所以.故答案为：9.（24-25高一上·上海闵行·期末）已知全集，集合，则【答案】【分析】根据补集概念进行求解.【详解】.故答案为：10.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）全集为，，，则.【答案】【分析】根据集合的运算求解.【详解】，，，，.故答案为：.11.（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知集合，集合，且，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据并集的结论得集合的包含关系，再由包含关系得结论．【详解】因为，所以，又，所以，故答案为：．12.（24-25高一上·上海静安·期末）设全集为，若的子集集合，子集，则=【答案】【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案.【详解】由，，解得或，则；由，解得，则，可得或；所以.故答案为：.13.（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）已知，，，记，，若，则集合为.【答案】或或【分析】由得到，进而得知与只能相差，由此求得.【详解】因为，所以，，即，，因为，所以由，，知与可能相差，又因为，，所以与可能相差，那么与只能相差，符合条件的集合可以为或或,故答案为：或或14.若、、为三个集合，，则一定有（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果.【详解】因为，所以，，，所以,所以，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，当且仅当时，，故B错误；对于C，当时，满足，故C错误；对于D，当时，满足，故D错误；故选：A.15．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为