小学数学五年级“最小公倍数”问题驱动式导学案

小学数学五年级“最小公倍数”问题驱动式导学案

一、课程基本信息与设计理念

【学科】小学数学【学段/年级】五年级第二学期【课题】最小公倍数的问题驱动与模型建构【课型】新授课（概念理解与策略探究课）【课时】1课时（40分钟）

【设计理念】本导学案严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》核心素养导向，以“三会”（会用数学眼光观察现实世界、会用数学思维思考现实世界、会用数学语言表达现实世界）为顶层设计目标。摒弃传统“灌输式”定义教学，采用“大单元教学”理念，将“最小公倍数”置于“数的运算”与“解决问题”这一大概念背景下。通过创设真实、复杂且富有挑战性的问题情境，驱动学生自主经历“问题感知—策略探究—建模归纳—迁移应用”的全过程。教学设计强调“教学评一体化”，注重学生数感、量感、运算能力、推理意识及模型意识的协同发展，力求在知识习得中实现思维进阶与素养落地。

二、教材与学情分析

（一）教材分析（【基础】）

本课内容隶属于“数与代数”领域，是“因数与倍数”这一单元的深化与延伸。在此之前，学生已系统学习了因数和倍数的意义，掌握了找一个数的倍数和因数的方法，理解了公因数和最大公因数的概念及其求法，具备了初步的符号意识和抽象能力。本课“最小公倍数”不仅是单元知识链的关键一环，更是后续学习通分、异分母分数加减法及解决实际周期性问题（如相遇问题、铺砖问题）的【非常重要】的认知基础和工具。教材编排通常从具体的生活情境（如铺长方形墙砖）或数的序列对比入手，引导学生发现公倍数的存在，进而探究其最小值的意义和求法。

（二）学情分析（【重要】）

1.知识储备：学生已熟练掌握倍数概念，能熟练找出一个数的有限个倍数。对“公”字头的概念（公因数）有了初步的认知经验，具备类比迁移学习的基础。

2.认知特点：五年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们对直观、可操作的材料依然敏感，但已具备一定的归纳、概括和提出猜想的能力。对于“无限”与“最小”这一对辩证关系，需要通过丰富的实例才能深刻理解。

3.潜在困难（【难点】）：

1.4.概念混淆：容易将“最小公倍数”与“最大公因数”的概念、求法相互混淆。

2.5.无限理解：对“公倍数有无限个，但最小只有一个”这一特性，缺乏深刻的数感体验。

3.6.算法优化：在面对较大数字时，仅会使用列举法，对于短除法、分解质因数法的优越性体会不深，算法选择意识薄弱。

4.7.模型应用：在解决实际问题时，难以准确判断问题是属于求“公因数”还是“公倍数”的模型。

三、教学目标与核心素养体现

基于课程标准与学生实际，确立如下【非常重要】的教学目标：

1.知识与技能：理解公倍数和最小公倍数的意义，掌握求两个数的最小公倍数的基本方法（列举法、筛选法、短除法），能正确、熟练地求两个数的最小公倍数（10以内的数以及存在倍数关系和互质关系的特殊数）。

2.过程与方法：经历观察、类比、归纳、猜想等数学活动，通过解决实际问题（如“铺墙砖”），经历公倍数和最小公倍数概念的生成过程，体验解决问题策略的多样性，并在优化比较中掌握短除法。

3.情感态度与价值观：在探索与交流中感受数学与生活的紧密联系，培养善于思考、勇于探索、敢于质疑的理性精神，增强学习数学的兴趣和信心。

4.核心素养点：

1.5.数感：在寻找公倍数的过程中，深化对数的无限性和倍数特征的感知。

2.6.推理意识：能够依据概念进行有条理的思考，对自己和他人的解题方法进行合乎逻辑的解释与评价。

3.7.模型意识：初步建立用求最小公倍数解决“周期重合”类问题的数学模型。

四、教学重难点

1.教学重点（【高频考点】）：理解公倍数与最小公倍数的意义，掌握用列举法和短除法求两个数的最小公倍数。

2.教学难点：理解公倍数无限而最小唯一的辩证关系；能够根据不同数据特点灵活选择最优的求法；准确建构“最小公倍数”的实际应用模型。

五、教学方法与准备

1.教法：问题驱动法、情境创设法、引导探究法、比较归纳法。

2.学法：自主探究法、小组合作法、操作体验法、类比迁移法。

3.教学准备：多媒体课件（包含动态演示的铺墙砖动画）、长3厘米宽2厘米的长方形卡片（或电子模拟学具）、学习任务单。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）【启动阶段】创境激疑，聚焦问题——从“铺墙”到“找砖”

1.情境导入，引发思考

教师利用多媒体展示一个真实的生活情境：“学校劳动实践基地要为一堵长方形的墙面进行装饰，墙面长6分米。现有两种规格的长方形墙砖，一种长3分米、宽2分米（【基础】数据），另一种是……如果用这种整块的长3分米、宽2分米的墙砖来铺，可以铺满吗？为什么？”

此环节的设计旨在唤醒学生已有知识经验（整除与倍数关系）。学生通过观察与口算，会发现墙面的长6是砖长3的倍数，也是砖宽2的倍数，因此可以正好铺满，没有空隙。

2.变换条件，制造冲突

教师进一步提出问题：“如果这是一面长6分米、宽4分米的墙面，还能用这种长3分米、宽2分米的墙砖正好铺满吗？请大家在脑海中想象，或者在学习任务单上画一画、算一算。”

这个问题将学生的思维从“一维长度”引入“二维平面”。学生通过独立思考或小组初步交流，可能会产生认知冲突：砖的长3能整除墙长6，砖的宽2能整除墙宽4，看起来好像可以，但实际铺起来是否真的严丝合缝？需要验证。

3.操作验证，直观感知

学生利用手中的长方形卡片（或电子学具）在方格纸上进行模拟拼摆。

1.4.铺法一：沿着长边摆，6÷3=2（块），长边刚好摆2块。

2.5.铺法二：沿着宽边摆，4÷2=2（行），宽边刚好摆2行。

3.6.结论：铺满整个墙面需要2×2=4块砖，且正好铺满，没有剩余。

此时教师追问：“你们发现了什么？这背后隐藏着怎样的数学关系？”引导学生初步感知：墙面的长既是砖长的倍数，墙面的宽既是砖宽的倍数，这是能正好铺满的关键。

7.深化问题，引出课题

教师继续增加挑战性：“如果现在换一种规格的墙砖，它的长是2分米、宽是3分米，要铺满一间长是6分米、宽是4分米的储藏室地面，这种规格的墙砖能用整块正好铺满吗？为什么？如果长和宽的数据再变大一些，比如墙长8分米、宽6分米，又该选哪种规格的砖呢？我们该怎样去找到一种‘万能’的砖，让它能正好铺满任意给定的长方形墙面？”这一系列问题层层递进，将学生的思维焦点从具体的“铺”引向抽象的“数”的关系上，从而自然引出本节课的核心任务：寻找两个数共有的倍数——公倍数。教师顺势板书课题：最小公倍数。

（二）【建构阶段】自主探究，建构模型——从“列举”到“优化”

1.核心问题聚焦：公倍数的意义（【非常重要】）

教师将问题简化并数学化：“我们暂时放下砖，来研究一组数。比如，哪些数既是2的倍数，又是3的倍数？请大家独立思考，并把你的发现写在练习本上。”

1.2.独立探索：学生开始回忆倍数概念，写出2的倍数（2,4,6,8,10,12,…）和3的倍数（3,6,9,12,15,…）。

2.3.对比发现：学生通过对比，自然会发现6、12、18……这些数同时出现在两个集合中。教师引导学生用自己的语言描述这些数的特点：“它们既是2的倍数，也是3的倍数。”教师顺势给出规范定义：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。【基础】概念必须在此刻由学生在充分感知的基础上抽象概括出来，而不是教师直接告知。

4.关键追问：公倍数的个数与最小性（【难点】、【热点】）

教师指着列举出的公倍数（6,12,18,…）提问：“请大家观察这些公倍数，你们发现了什么规律？还能继续往下写吗？写得完吗？”（学生回答：可以一直加6得到下一个，写不完，有无数个。）

教师继续追问：“在这无数个公倍数中，有没有一个‘最特殊’的？它特殊在哪里？”（学生回答：有，6是最小的。）

教师明确：几个数公有的倍数中，最小的那个，就是这几个数的最小公倍数。【非常重要】的概念必须在此刻由学生自主发现并归纳。教师板书概念，并强调“最小”的唯一性和“公倍数”的无限性，这是理解上的【难点】，必须通过直观的数列对比来突破。

5.方法探究一：列举法与筛选法

教师布置任务：“请尝试求出4和6的最小公倍数。你可以用自己喜欢的方法。”

学生展示方法：

1.6.列举法：分别列出4的倍数（4,8,12,16,20,24,…）和6的倍数（6,12,18,24,30,…），然后圈出公倍数12,24,…，最后找到最小的12。【基础】方法，必须人人掌握。

2.7.筛选法：先列出较大数（6）的倍数（6,12,18,24,…），然后从中从小到大筛选出哪些也是4的倍数，第一个满足条件的就是最小公倍数12。【重要】策略，是一种优化思维的萌芽。

教师组织学生比较两种方法的异同，并引导学生体会筛选法在某些时候比完整的列举法更快捷。

8.方法探究二：特殊关系的数（【高频考点】）

教师出示两组特殊数：5和7，8和16。

问题：“请快速找出这两组数的最小公倍数。说说你是怎么想的，有什么发现？”

学生通过计算会发现：

1.9.5和7的最小公倍数是35。因为它们是互质数，最小公倍数就是它们的乘积。

2.10.8和16的最小公倍数是16。因为16是8的倍数，较大数就是它们的最小公倍数。

教师引导学生总结这两种特殊情况下的快捷求法。这是考试中的【高频考点】，必须让学生熟练掌握并能清晰阐述原理。

11.方法探究三：短除法（【非常重要】、【核心】）

教师呈现一个更具挑战性的问题：“如果要求12和18的最小公倍数，用列举法或筛选法可能有点麻烦，有没有一种更通用、更简洁的算法？这就要用到我们数学中的‘法宝’——短除法。”

教师示范短除法的书写格式与步骤：

1.12.写出短除式，用两个数的公因数（除了1）去除。通常从最小的质因数（如2、3）开始尝试。【重要】步骤。

2.13.例如：用公因数2去除12和18，商分别是6和9。

3.14.再用6和9的公因数3去除，商分别是2和3。

4.15.当最后的两个商（2和3）只有公因数1时（即互质），停止除。

教师重点讲解算理：“为什么把所有除数和最后的商连乘起来，就是它们的最小公倍数？（2×3×2×3=36）”

5.16.算理解析：结合分解质因数法（12=2×2×3，18=2×3×3），让学生直观看到，最小公倍数必须包含它们全部公有的质因数（一个2和一个3）以及各自独有的质因数（12独有的2，18独有的3）。短除法正是这种逻辑的简洁呈现。这个环节是【非常重要】的，不仅要让学生“会算”，更要让学生“懂理”，从而避免机械记忆。

学生模仿练习，尝试用短除法求24和36的最小公倍数，并在小组内交流计算过程和心得。

17.方法优化与总结

教师引导学生回顾本节课学到的几种求最小公倍数的方法：

1.18.一般情况：数据较小时，可用列举法或筛选法。

2.19.特殊情况：两数互质时，积为最小公倍数；两数成倍数关系时，大数为最小公倍数。

3.20.通用高效：短除法适用于所有情况，特别是当数据较大时，更显其简洁与优势。

教师强调：“没有最好的方法，只有最合适的方法。我们要根据题目中数据的特点，灵活选择算法。”【重要】策略意识的培养。

（三）【深化阶段】回归生活，模型应用——从“数学”到“生活”

1.解决初始情境问题

回到课始的“铺墙砖”问题：“现在你明白了吗？要铺满一间长6分米、宽4分米的墙面，如果用长3分米、宽2分米的砖，为什么能正好铺满？因为墙面的长6是砖长3的倍数，墙面的宽4是砖宽2的倍数，6和4的最小公倍数问题……实际上，我们需要的砖的尺寸，必须同时是墙面长和宽的什么数？”（引导学生答出：公因数）。注意此处需要厘清：铺砖问题的本质是用小长方形铺大长方形，要求大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的倍数，这实际上是在寻找小长方形长和宽的“公倍数”作为大长方形的边长。这是一种数学模型。

2.模型拓展——生活中的“周期重合”问题

教师出示一组生活化问题，让学生判断该用何种模型解决：

1.3.【问题1】公交车站，1路车每6分钟发一班，2路车每8分钟发一班。如果早上7:00两车同时发车，下一次同时发车是几时几分？（【非常重要】的实际应用模型）

2.4.【问题2】暑假里，小明每3天游泳一次，小刚每4天游泳一次。7月1日两人刚好都在游泳，下一次两人同时游泳是几月几日？

3.5.【问题3】一些糖果，如果每人分4块，正好分完；如果每人分6块，也正好分完。这些糖果至少有多少块？

学生小组讨论，辨析每个问题的本质，并列出算式解答。教师引导学生总结：这类问题的共同特点是寻找两个或几个有周期规律的事件“再次同时发生”所需的时间，本质上就是在求它们周期的最小公倍数。这就是数学模型思想的初步建立。【热点】题型，必须强化训练。

6.变式辨析——区分“公因数”与“公倍数”

教师呈现一个极易混淆的问题：“把一张长20厘米、宽12厘米的长方形纸剪成同样大小的正方形且没有剩余，正方形的边长最大可以是几厘米？如果要剪成正方形且没有剩余，正方形的边长可以是几厘米？最小呢？”引导学生辨析：第一个问题求的是最大公因数（裁剪成最大的正方形），第二个问题求的是公因数。而本节课的铺砖问题，本质是“拼”，所以是求倍数。通过对比，强化学生对两种模型的精准区分。【难点】突破的关键在于此。

（四）【升华阶段】分层练习，内化提升

1.基础练习（面向全体，巩固概念）

找出下列每组数的最小公倍数，并说说你是怎么找到的。

1.2.4和10（【基础】练习，强化短除法）

2.3.3和9（【基础】练习，巩固倍数关系）

3.4.5和8（【基础】练习，巩固互质关系）

此环节要求所有学生独立完成，同桌互批，确保基本技能人人过关。

5.综合练习（面向多数，形成技能）

1.6.用短除法求24、30的最小公倍数。（【重要】步骤规范性训练）

2.7.已知A=2×2×3×5，B=2×3×3×5，求A和B的最小公倍数。（结合分解质因数，加深对算理的理解）

3.8.五年级同学参加植树活动，如果分成4人一组或6人一组都恰好分完。五年级参加植树的至少有多少人？（【高频考点】模型应用）

9.拓展练习（面向学有余力，发展思维）

1.10.【挑战1】两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，其中一个数是12，另一个数是多少？（【非常重要】的逆向思维训练，考察对概念本质的理解。）

2.11.【挑战2】有一包糖果，无论是平均分给8个人，还是平均分给10个人，都剩下3块。这包糖果至少有多少块？（“剩余问题”的变式，为后续学习埋下伏笔，体现思维的张力。）

3.12.【挑战3】用长4厘米、宽3厘米、高2厘米的长方体木块，堆成一个正方体，至少需要多少块这样的木块？（从二维平面拓展到三维空间，实现跨维度的模型迁移。）

（五）【反思阶段】课堂总结，梳理建构

1.知识梳理

教师引导学生回顾：“这节课我们主要研究了什么？你学会了哪些求最小公倍数的方法？你最喜欢哪种方法，为什么？”请几位学生代表发言，分享自己的收获和困惑。

2.思维提升

教师用板书串联起本节课的知识脉络：从“生活问题（铺砖）”出发，抽象出“数学概念（公倍数、最小公倍数）”，然后探究“多种方法（列举、筛选、短除、特殊规律）”，最后又回到“生活应用（周期问题、分组问题）”，形成一个完整的“问题—概念—方法—应用”的认知闭环。强调数学学习就是不断地经历这个过程。

3.情感激励

教师肯定学生在探究过程中的积极思考与大胆表达，鼓励大家在今后的学习中，遇到新问题也要像今天一样，敢于从旧知识中寻找方法，敢于提出自己的猜想，并善于与同伴合作验证。

七、板书设计（结构式板书，凸显逻辑）

（一）概念区

*公倍数：几个数公有的倍数。

*最小公倍数：公倍数中最小的一个。

（二）方法区

1.列举法（基本）

2.筛选法（优化）

3.特殊关系：

*互质→积

*倍数→大数

4.短除法（通用）

*除到互质为止