小学四年级数学四则混合运算思维拓展与模型建构教案

小学四年级数学四则混合运算思维拓展与模型建构教案

一、课程基础与目标定位

（一）教学内容分析

本课“四则混合运算思维拓展与模型建构”是基于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域第二学段的要求进行设计的。内容聚焦于整数四则混合运算的顺序、运算律的深化应用以及利用混合运算解决实际问题的思维建模。它并非简单重复运算规则，而是将运算视为一种数学模型，引导学生探索数字与符号之间的内在联系，体会运算的等价性与结构性。本课内容在整个小学数学体系中具有承上启下的【重要】地位：它既是对一至三年级所学的加减乘除意义及两步混合运算的巩固与系统化，又是后续学习小数、分数四则运算以及更复杂的代数思想（如方程、简便运算本质）的基石。本设计旨在超越单纯的计算技能训练，转向对运算本质的理解和数学思维的深度拓展。

（二）学情分析

授课对象为小学四年级学生。他们已经掌握了基本的加减乘除计算能力，理解了“先乘除后加减”以及有括号先算括号内的基本运算顺序，能够解决一些简单的两步计算实际问题。然而，学生在学习中仍存在以下【难点】：1.对于运算顺序的规则理解往往停留在机械记忆层面，当遇到多层括号或需要灵活处理运算顺序的题目时，容易出错。2.对运算律（如加法交换律、结合律，乘法分配律）的认识较为孤立，不能自觉地在四则混合运算中灵活运用以达到简算或优化思维的目的，缺乏对算式整体结构的感知能力。3.在解决复杂的实际问题时，难以准确提炼数量关系，将生活情境正确转化为综合算式的能力有待提高。因此，本设计着重于激活学生已有经验，通过认知冲突和变式练习，帮助他们完成从程序性知识向策略性知识的转化。

（三）核心素养导向

本教学设计以培养学生的数学核心素养为【核心】目标：

1.运算能力：能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够根据运算律和运算性质正确、灵活地进行四则混合运算，并选择简洁的运算路径。

2.模型意识：能够从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用四则混合运算这一数学模型来表达数量关系，并运用模型解决问题，初步体会模型的价值。

3.推理意识：能够基于运算规则和运算律进行简单的逻辑推理，对运算过程的合理性进行解释，初步养成讲道理、有条理的思维习惯。

4.应用意识：感受数学与现实生活的紧密联系，有意识地将所学的四则运算知识应用于日常生活中，并在解决问题的过程中获得成功的体验。

（四）教学目标

基于上述分析，设定本课的教学目标如下：

1.知识与技能：学生能进一步掌握四则混合运算的顺序（包括有中括号的），能正确计算三步及三步以上的混合运算试题。能自觉运用运算律进行简便计算，提高运算的合理性与灵活性。能从不同角度分析数量关系，掌握用综合算式解决实际问题的策略。

2.过程与方法：通过观察、比较、分析、归纳等活动，经历运算顺序的再认识过程和运算律的整合过程。在问题解决中，学习画图、列表等分析数量关系的策略，建立解决问题的数学模型。

3.情感态度价值观：在挑战性的思维活动中，激发探究兴趣，培养独立思考、合作交流的学习习惯。感受数学的简洁美与逻辑美，增强学习数学的自信心。

（五）教学重难点

1.【教学重点】熟练掌握四则混合运算的顺序，特别是带有括号的运算。理解并灵活运用运算律进行简便计算，提升运算的灵活性。能够将实际问题中的数量关系用综合算式正确表达。

2.【教学难点】在具体情境中，根据算式和数据特点，创造性地选择运算律和运算性质进行简算。能够突破思维定势，从不同角度思考问题，构建解决复杂问题的数学模型（如归一、归总、行程、工程问题的变式）。

二、教学方法与准备

（一）教学方法

本课采用“问题驱动—自主探究—合作建模—分层拓展”的教学模式。

1.问题驱动法：通过创设富有挑战性和思考价值的核心问题（如“你能用几种方法计算？”“为什么这样算更简单？”“这个算式能解决生活中的什么问题？”），引发学生的认知冲突和探究欲望，驱动学生主动思考。

2.自主探究法：给予学生充分的时间独立思考、尝试计算、寻找策略，鼓励他们形成自己的见解和解题方案，培养独立解决问题的能力。

3.合作交流法：组织小组讨论，让学生在交流中分享各自的解题思路、辨析不同方法的优劣，通过思维的碰撞，深化理解，建构知识。教师在其中扮演倾听者、引导者和点拨者的角色。

4.分层拓展法：设计不同层次的练习和拓展题，从基础巩固到变式提升，再到综合创新，满足不同层次学生的学习需求，实现“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。

（二）教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含生活情境图、核心问题、分层练习题、思维导图等）。精心设计的探究学习单。具有层次性和挑战性的例题和练习题组。

2.学生准备：常规学习用具（笔、草稿纸）。预习回顾四则混合运算的顺序和学过的运算律。

三、教学实施过程

（一）【基础唤醒】——运算顺序的深度理解与结构化（约12分钟）

1.情境引入，激活经验

课件出示情境：学校图书馆新购进一批图书。其中故事书120本，科技书是故事书的2倍少30本，连环画比科技书多15本。连环画有多少本？

设计意图：选取学生熟悉的校园生活情境，自然地引出两步计算问题，为后续的三步计算做铺垫。

教学实施：学生先独立分步解答，然后尝试列综合算式。指名板演，可能出现两种列式：120×2-30+15或120×2-（30+15）。引导学生辨析两种算式的合理性，并回顾计算顺序：在没有括号的算式里，有乘、除法和加、减法，要先算乘除法，后算加减法。此为基础【基础】要求，务必确保全体学生掌握。

2.认知冲突，引入中括号

将情境深化：如果连环画的条件变为“连环画的本数比故事书的2倍少45本，再除以3，正好是科技书的本数”，那么科技书有多少本？你能用一个算式表示出来吗？

学生尝试列式，可能会遇到困难。引导思考：要改变运算顺序怎么办？（加括号）我们已经认识了小括号（），它能改变运算顺序。可是在这个问题里，我们需要先算出“120×2-45”，得到连环画的本数，再除以3，这需要先计算减法和乘法，再算除法。如果只用小括号，写成（120×2-45）÷3，这表示先算小括号里的，再除以3，符合要求吗？引导学生发现这正是我们需要的。接着追问：如果问题变成“故事书的2倍减去45本后，再除以3的商，比连环画多多少本？”（假设连环画数量已知），那么需要列式为[（120×2-45）÷3]-连环画本数。这里，为了改变小括号内外的运算顺序，我们引入了新的符号——中括号“[]”。【重要】知识：在一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的。

3.专项练习，巩固顺序

呈现一组对比练习，强化对运算顺序的感知，此为【高频考点】。

(1)360÷（12+6）×5

(2)360÷[（12+6）×5]

(3)（360÷12+6）×5

(4)360÷（12+6×5）

学生独立计算，完成后小组内互批，并讨论：为什么算式中的数字和运算符号都一样，结果却不同？引导学生总结出：括号（包括小括号和中括号）是改变运算顺序的工具，括号的位置决定了计算的路径，最终决定了计算结果。这一环节旨在帮助学生建立“看整体、分层次、按顺序”的计算意识。

（二）【思维建模】——运算律的整合与灵活运用（约15分钟）

1.观察比较，激活旧知

出示两组算式，让学生快速计算，并说说运用了什么知识。

第一组：25+36+7536+（64+50）

第二组：25×13×425×（40-4）

学生完成后，引导回顾：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。这些运算律是使计算变得简便的“法宝”，它们的本质是数的位置和运算顺序可以基于规律进行等价变换，而不改变最终结果。此为【核心素养】运算能力的体现。

2.变式深化，突破难点——乘法分配律的逆用与推广

乘法分配律是四则混合运算简便计算中的【重中之重】，也是【难点】所在。设计以下层次的练习进行突破：

基础层：用简便方法计算。

125×（80+8）36×45+36×55

学生完成后，追问：125×（80+8）为什么可以变成125×80+125×8？36×45+36×55为什么可以变成36×（45+55）？引导学生用语言描述“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加”，以及它的逆应用“两个积相加，如果有一个相同的乘数，可以先把另外两个数相加，再与那个相同的乘数相乘”。

提升层：巧算。

99×36+3638×102

对于99×36+36，引导学生观察，可以把最后一个36看作36×1，这样就变成了99×36+1×36，符合乘法分配律的逆用结构，结果为（99+1）×36=3600。对于38×102，引导学生将102拆分成（100+2），然后运用乘法分配律，38×100+38×2=3800+76=3876。这里体现了“凑整”的思想，是简便计算的重要策略。

拓展层：推广到多个数。

计算：75×28+19×28+28×6

引导学生观察，每个乘法部分都有相同的乘数28，可以将其看作一个整体，利用乘法分配律的推广形式，将28提取出来，计算（75+19+6）×28=100×28=2800。这一环节旨在打破学生只能对两项运用分配律的思维定势，培养对算式结构的敏锐洞察力。

3.策略选择，优化思维

出示一道稍复杂的题目：计算25×32×125。

学生独立思考，尝试多种解法。小组交流后，全班汇报。可能出现的方法：

方法一：直接按顺序计算，但比较繁琐。

方法二：25×32×125=25×（4×8）×125=（25×4）×（8×125）=100×1000=100000。

引导学生对比分析，为什么方法二简便？因为它运用了乘法结合律，通过拆分32为4×8，创造了25×4和8×125这样能凑成整百、整千的组合。让学生体会简便计算的本质在于“凑整”，而“凑整”的基础是对数字敏感（如25和4是好朋友，125和8是好朋友）和对运算律的灵活组合运用。教师总结：在四则混合运算中，我们不仅要算得对，还要算得巧、算得快，这就是思维灵活性的体现。【重要】能力。

（三）【模型建构】——解决实际问题的策略优化（约15分钟）

1.典型模型一：归一与归总问题

情境创设：学校组织植树活动。3个小组4小时可以植树120棵。

问题1：照这样计算，5个小组6小时可以植树多少棵？

引导学生分析：要求5个小组6小时植树量，关键要先求出什么？（“单一量”，即1个小组1小时植树多少棵）。这是“二次归一”问题。

学生尝试画图或用列表法分析数量关系。

列表如下：

小组数时间（小时）植树总数（棵）

34120

11？（120÷3÷4=10）

56？（10×5×6=300）

引导学生列出综合算式：120÷3÷4×5×6。并解释每一步的含义。

问题2：如果有240棵树苗，要求5个小组在相同的时间内完成植树任务，需要多少小时？

这个问题是归总问题的变式。引导学生思考：不变的量是什么？（总任务量240棵，但这里的“总”和前面120不同，是新的任务；关键要先求出“单一量”10棵/小组·小时）。再根据“工作总量=工作效率×工作时间×小组数”的模型，推导出“工作时间=工作总量÷（工作效率×小组数）”。列式为：240÷（120÷3÷4×5）。

通过这两个问题，帮助学生建立“归一问题”的数学模型：先求单一量，再求总量或份数。【热点】题型。

2.典型模型二：相遇与工程问题

情境创设：一条公路长540米。甲队单独修需要18天，乙队单独修需要12天。

问题：两队合修，多少天可以修完？

引导学生回顾工程问题的基本数量关系：工作总量÷工作效率和=合作时间。

学生尝试列式：540÷（540÷18+540÷12）。然后引导观察，这个算式可以简化吗？为什么？学生发现，工作总量540被反复使用。教师引导：我们可以把工作总量看作“1”，那么甲队的工作效率就是1/18，乙队的工作效率就是1/12。合修时间就是1÷（1/18+1/12）。这是一种更抽象的数学模型，体现了单位“1”的思想，为后续学习分数应用题打下基础。让学生对比两种解法，感受用单位“1”建模的简洁与普适性。【思维难点】的突破。

3.综合应用，变式提升

在以上建模基础上，提供变式练习：

变式一：一辆客车和一辆货车同时从相距450千米的两地相对开出。客车每小时行80千米，货车每小时行70千米。行了2小时后，两车还相距多少千米？

引导学生画线段图分析，得出：还相距的路程=总路程-已行的路程，即450-（80+70）×2。

变式二：两艘轮船同时从同一个码头向相反方向开出。甲船每小时行28千米，乙船每小时行32千米。开出几小时后，两船相距240千米？

引导学生分析，这是背向而行，求时间和。数量关系为：速度和×时间=总路程，所以时间=240÷（28+32）。

通过这两个变式，让学生体会虽然情境不同，但都可以归结为“速度（和）×时间=路程”这一基本模型，只是对“路程”的理解要根据情境（相遇、相距、背向）而变化。

（四）【综合拓展】——思维挑战与自我建构（约6分钟）

1.挑战性题目

出示一道需要逆向思维的题目：在下面的算式中添上合适的运算符号和括号，使等式成立。

4444=2

4444=3

4444=4

...

这是一个开放性的题目，旨在激发学生的兴趣和创造性思维。学生可以小组合作，尝试不同的组合，并汇报自己的思路。比如得到2的方法可以有：4÷4+4÷4=2；4×4÷（4+4）=2等。得到3的方法：（4+4+4）÷4=3。这个活动极大地锻炼了学生对运算顺序和符号的理解，是思维拓展的有效形式。

2.思维导图梳理

引导学生回顾本节课的学习历程，尝试用思维导图的形式，将“四则混合运算”的知识网络建构起来。可以从“运算顺序”、“运算律”、“解决问题”三大板块进行发散，每个板块下包含具体的知识点、注意事项和典型例题。让学生在梳理中形成知识体系，实现知识的内化与结构化。

（五）【课堂总结与作业布置】（约2分钟）

1.课堂总结

请学生分享本节课的收获。可以从知识、方法、情感三个维度进行引导：

知识上：我巩固了什么？新学了什么？（如中括号、运算律的灵活运用、归一问题模型等）

方法上：我学会了哪些解决问题的策略？（如画图、列表、从问题出发分析、灵活运用运算律等）

情感上：我有什么感受或遇到的困难是如何克服的？

教师进行提炼：四则混合运算不仅是计算工具，更是我们分析和解决复杂问题的数学模型。面对一个问题，我们要善于观察数据特点，选择最优策略，做到“心中有数，算之有理，用之有法”。

2.分层作业布置

基础巩固（必做）：完成练习册中关于四则混合运算顺序和基本简便计算的练习题。【基础】

能力提升（选做）：寻找生活中可以用三步或三步以上计算解决的问题，并尝试用两种方法解答。【重要】

思维挑战（选做）：完成课堂上未完成的“4444”组数游戏，并尝试创造新的组合，看看能得到哪些结果。【拓展】

四、板书设计

小学四年级数学四则混合运算思维拓展与模型建构

一、运算顺序（法则）二、运算律（技巧）三、问题解决（模型）

1.无括号：先乘除，后加减1.交换律：a+b=b+a【模型一：归一问题】

2.有括号：先小