初中数学九年级上册《用列举法求概率》教案

初中数学九年级上册《用列举法求概率》教案

一、教学内容分析

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在第三学段（7-9年级）的“统计与概率”领域中明确指出，学生需“能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解获取数据的随机性，并计算简单事件的概率”。本节课“用列举法求概率”正是这一要求的核心载体，它上承随机事件与概率的古典定义，下接用频率估计概率及更复杂的概率应用，是学生从定性感知概率走向定量计算概率的关键转折点，在知识链中起着承上启下的枢纽作用。从学科思想方法看，本节课是模型思想与分类讨论思想的集中体现——引导学生将千变万化的实际问题，抽象为有限、等可能的基本事件模型，并通过系统、有序的列举（列表、画树状图）完成问题的数学化解决。其素养价值深远，不仅在于掌握一种计算工具，更在于培育学生的数据意识，使其能理性分析随机现象，理解概率在决策中的作用，形成尊重事实、讲究逻辑的科学态度。

本节课教学对象为九年级学生。他们已具备随机事件、必然事件、不可能事件等基本概念，对概率的古典定义（P(A)=m/n）有初步了解，并拥有用直接枚举（如掷一枚骰子）计算最简单事件概率的经验。然而，他们的思维障碍点通常在于：面对含有两个或更多步骤、因素的复杂情境时，难以系统、不重不漏地厘清所有等可能结果（即确保分母“n”的正确性）；对“等可能性”这一核心前提缺乏敏感性，易被非等可能的外表所迷惑；在方法选择上缺乏策略性，无法根据问题特征灵活选用列表法或树状图法。因此，教学需在激活其旧有枚举经验的基础上，搭建认知脚手架，引导其经历从“杂乱枚举”到“有序列举”、从“直观感知”到“方法建模”的思维进阶。课堂中将通过核心任务中的即时提问、小组讨论展示、变式练习反馈等形成性评价手段，动态诊断学生列举过程的序化程度与对等可能性的理解深度，并据此提供差异化支持：对基础薄弱学生，提供列举“模板”或分步引导；对思维较快学生，则挑战其解释方法原理或进行方法创新与对比。

二、教学目标

知识目标：学生能准确理解古典概型中“等可能性”的前提，并在此基础上，系统掌握列表法和画树状图法这两种有序列举所有等可能结果的具体操作步骤与规范；能辨析两种方法适用的典型问题情境（如涉及两个因素且结果可二维呈现时多用列表法，涉及多个步骤或因素时多用树状图），并运用所选方法正确计算出指定事件的概率。

能力目标：学生能够从复杂的现实生活背景（如抽奖、比赛、游戏规则）中，抽象出概率计算模型，独立、规范地完成列表或绘制树状图，确保列举过程的系统性与完整性（不重不漏），从而发展数学建模与逻辑推理的核心能力。大家好，看看这个转盘，如果玩一次，指针停在蓝色区域的可能性大，还是停在红色区域的可能性大？凭感觉说说看。

情感态度与价值观目标：通过分析公平游戏设计、风险决策等情境，学生能体会到概率知识在现实生活中的广泛应用价值，激发学习兴趣；在小组合作探究列举方案的过程中，培养严谨求实、有条理的思维习惯和合作交流的意识。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的分类讨论思想与有序化思想。通过任务驱动，引导学生体验如何将复杂事件分解为若干个有序的基本步骤或维度，并对每一步的所有可能情况进行系统分类与排列，从而形成清晰、完备的解决方案，提升思维的条理性和严密性。

评价与元认知目标：引导学生建立对列举过程与结果的自我监控与反思意识。能够依据“是否考虑等可能性”、“列举是否有序、完整”等标准，评估自己或同伴的解题方案；能在解决一系列问题后，主动反思列表法与树状图法的优劣及适用条件，初步形成根据问题特征选择优化策略的元认知能力。

三、教学重点与难点

教学重点：运用列表法或画树状图法有序地列举出所有等可能发生的结果，并计算简单事件的概率。此重点的确立，紧扣课标对“列举所有可能结果”这一核心技能的要求，也是学生从概率的定性认识飞跃至定量计算必须掌握的奠基性方法。从中考视角看，概率计算是高频考点，且常以实际问题为背景，考查的正是学生规范应用列举法建立模型、严谨计算的能力。因此，熟练掌握这两种系统化的列举工具，是后续解决更复杂概率问题的关键。

教学难点：确保列举过程中“不重不漏”地涵盖所有等可能的基本事件，并能在复杂背景中准确识别出满足“等可能性”的条件。难点成因有二：一是学生思维从“想到一个写一个”的跳跃状态过渡到“系统化、结构化”的列举，需要克服认知习惯，建立序化思维，这是一个思维品质提升的挑战；二是在实际问题中，背景信息可能干扰学生对基本事件的判断，例如，忽略两个骰子点数之和并不具有等可能性，误将其直接作为基本事件进行计算。突破难点需依靠清晰的步骤引导、正误案例的对比分析以及针对性的变式训练。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（包含动态转盘、骰子模拟动画，分步演示列表与树状图的构建过程）；实物转盘模型一个；两组颜色不同的磁贴（用于黑板上的树状图示范）。

1.2学习材料：《课堂学习任务单》（内含递进式探究任务、分层巩固练习题及课堂小结框架）；预设的学生常见错误列举案例（图片或卡片形式）。

2.学生准备

2.1预习任务：回顾概率的古典定义（P(A)=m/n），并尝试用自己方法解决一个问题：“同时抛掷两枚硬币，出现一正一反的概率是多少？”

2.2常规物品：直尺、铅笔、彩笔（用于画树状图）。

3.环境布置

3.1座位安排：小组合作式座位（4-6人一组），便于讨论与展示。

3.2板书记划：左侧预留区域用于呈现核心问题与方法步骤；中部作为列举过程（列表、树状图）的主展示区；右侧作为知识要点与易错点归纳区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激疑，引出核心问题

教师展示一个被不均匀分成蓝、红两色的实物转盘（蓝色区域面积明显大于红色），并提问：“同学们，如果玩一次游戏，指针停在蓝色区域得奖，你觉得得奖的可能性大吗？为什么？”学生凭直觉容易回答“蓝色可能性大”。教师追问：“可能性具体有多大呢？能用一个准确的数来描述吗？这需要我们知道所有可能的结果中，停在蓝色区域的结果占多少比例。但这里有个问题——”教师转动转盘几次，结果却偶然停在红色区域。“哎？刚才不是说蓝色可能性大吗？怎么这次停在了红色？这矛盾怎么解释？”

1.1聚焦冲突，明确方向

教师引导学生思考：“感觉上的‘可能性大’，并不等于‘一定会发生’。要精确计算概率，我们必须回归到最根本的定义：P=满足条件的结果数/所有等可能的结果数。请大家仔细观察这个转盘，它的蓝色和红色区域‘等可能’吗？”学生意识到面积不均导致指针停在两区的可能性本身就不相等，因此不能直接用简单的个数比来计算。“看来，‘等可能性’是计算的前提。那么，对于真正等可能的情况，比如抛一枚均匀的硬币，掷一颗质地均匀的骰子，我们如何系统、不遗漏地找出‘所有等可能的结果’呢？特别是当情况变得更复杂，比如抛两枚硬币，甚至涉及更多选择时。这就是我们今天要化身‘概率侦探’，用‘列举法’这个工具来解决的核心问题。”

第二、新授环节

###任务一：唤醒经验，初识“有序”之需

教师活动：首先，邀请几位学生口头分享预习问题的解法（同时抛两枚硬币，求一正一反的概率）。预设学生可能直接说出答案1/2，但追问其思考过程：是猜测、实验，还是列举？鼓励学生将其列举过程（如：正正、正反、反正、反反）写在黑板上。教师点评：“很好，这几位同学实际上都完成了一次‘列举’。但我们仔细看，有的同学写的顺序有点随意，如果问题再复杂点，比如抛三枚，还容易保证不重复不遗漏吗？”由此引出课题：“我们需要一种更系统、更有‘章法’的列举方法。今天先来学习第一种——列表法。”

学生活动：分享预习问题的思考与解答过程，观察同伴的列举方式，思考其优点与潜在的不完善之处（顺序杂乱可能导致的遗漏），明确本课学习目标。

即时评价标准：1.能否清晰地口头或书面表述自己的枚举过程？2.能否在观察对比中，意识到系统化、有序化列举的必要性？

形成知识、思维、方法清单：★列举法的核心目的：系统、不重不漏地找出所有等可能的基本事件，为概率计算提供准确的“分母”和“分子”。▲从直觉到精确：计算概率必须基于严谨的数学方法，而非感觉。教学提示：此环节重在暴露学生原生态思维，通过对比引发认知冲突，为引入结构化方法做铺垫。

###任务二：探究列表法，解决二维因素问题

教师活动：提出新问题：“同时掷一枚质地均匀的骰子和一枚硬币，骰子朝上的点数为奇数且硬币朝上的面为正面，这个事件的概率是多少？”引导学生分析事件涉及几个因素？（两个：骰子的点数、硬币的正反）每个因素有哪些可能取值？（骰子：1,2,3,4,5,6；硬币：正，反）如何能清晰展示所有组合？教师示范列表法：“我们可以建立一个二维表格。看，第一行先写出骰子所有可能点数，第一列写出硬币所有可能状态。然后，就像找坐标一样，把每一个格子对应的结果写出来。”一边讲解一边用课件动态生成6行2列的表格，并填写所有12种结果。引导学生在任务单上模仿绘制。“现在，请大家从表格中，像‘扫雷’一样，找出满足‘骰子点数为奇数且硬币为正’的结果有哪些，数一数。”最后，带领学生归纳列表法适用情境与步骤。

学生活动：跟随教师引导，理解问题结构，在任务单上尝试绘制表格，并独立完成结果填写与目标事件的查找、计数，最后计算概率。小组内互查表格的完整性与准确性。

即时评价标准：1.绘制的表格结构是否清晰（行列标签是否完整）？2.表格内填写的组合结果是否准确、无一遗漏？3.能否根据表格快速定位并统计出目标事件数？

形成知识、思维、方法清单：★列表法的操作步骤：①明确问题中的两个“维度”或因素；②分别列出每个因素的所有可能情况；③构造二维表格，以行、列代表不同因素；④在表格交叉点系统列出所有可能的组合结果。★列表法的典型适用情境：事件涉及两个因素，且每个因素的可能情况可以明确列出，所有结果是等可能的。▲有序化思想的体现：通过表格的矩阵结构，将随机组合转化为有序的“坐标对”，确保了列举的完备性。

###任务三：探究树状图法，应对多步骤问题

教师活动：提升问题复杂度：“现在有个‘三关’挑战赛。第一关从A、B两个选项中抽签，第二关从C、D两个选项中抽签，第三关从E、F两个选项中抽签。各关选择相互独立。请问，某人恰好抽到A、D、F这个特定序列的概率是多少？”提问：“这个问题还适合用列表法吗？为什么？”学生可能感到列表会变成三维，不方便。教师引入新工具：“当步骤多于两步时，我们可以用一种像大树开枝散叶一样的方法——画树状图。来，我们一起来‘种’这棵树。”教师用磁贴或课件，从树根（开始）画起，分出第一层的两个分支（A,B）；从每个分支末端，再画出第二层的分支（C,D）；依次类推到第三层。边画边强调：“每一步都是等可能的，并且每一步的分支都代表了该步骤所有的选择。好，现在请你们在自己的本子上，也画出这棵‘决策树’，并数一数从树根到最末端的叶子，一共有多少条不同的‘路径’？”请一位学生上台指认路径ADC对应的路线。

学生活动：思考列表法的局限性，观察教师树状图的绘制过程，理解其“分步”呈现的思想。动手独立绘制完整的树状图，并统计所有可能路径（8条）。通过指认具体路径，深化对树状图表示事件序列的理解。

即时评价标准：1.绘制的树状图是否层次清晰，每一步的分支是否完整？2.能否理解每条从树根到树叶的路径代表一种等可能的结果？3.能否在树状图上准确追踪并解释特定事件对应的路径？

形成知识、思维、方法清单：★树状图法的操作步骤：①明确事件发生的先后顺序或逻辑步骤；②从“树根”开始，按第一步的可能情况画出第一层分支；③在第一步的每一个分支末端，按第二步的可能情况画出第二层分支；④以此类推，直至所有步骤完成；⑤每条从树根到末端的“路径”代表一种等可能的结果。★树状图法的典型适用情境：事件涉及两个或两个以上的步骤（层次），或因素虽为两个但用列表法不够直观时。▲分类讨论思想的深化：树状图是分类讨论的直观化、图形化表达，每一步的分支都是一次分类。

###任务四：对比辨析，感悟方法选择

教师活动：呈现两个问题：问题1（回顾任务二）：掷骰子和抛硬币。问题2：从甲、乙两人中选一人当组长，再从丙、丁两人中选一人当副组长。提问：“这两个问题，分别更适合用列表法还是树状图法？为什么？和你的同桌讨论一下。”巡视听取讨论，之后请小组代表分享观点。教师总结：“列表法像一张‘平面地图’，适合同时考虑两个维度；树状图像一棵‘生长树’，适合描述按时间或逻辑顺序进行的多步骤过程。当然，很多问题两种方法都能解决，我们可以选择自己觉得更清晰、更不容易出错的那一种。”

学生活动：与同伴讨论两个问题的结构差异，结合自身作图体验，分析两种方法各自的优势与适用场合，形成方法选择的初步策略。

即时评价标准：1.讨论时能否抓住问题结构的本质特征（是“二维同步”还是“多步顺序”）？2.能否清晰陈述选择某种方法的理由？

形成知识、思维、方法清单：★方法选择策略：分析事件结构是“二维同步”还是“多步顺序”是选择方法的关键依据。列表法优势在于结果呈现集中，便于查找；树状图优势在于过程清晰，尤其适合步骤多的情况。▲数学建模的灵活性：面对实际问题，需先分析其数学结构，再选择合适的数学模型（列举工具）进行表示与求解。

###任务五：综合应用，固化规范流程

教师活动：出示一道综合应用题：“一个不透明的袋子中装有红、白两个除颜色外完全相同的小球。小明第一次随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，第二次再随机摸出一个球。求两次摸到的球颜色相同的概率。”首先，引导学生集体审题：①是否为等可能？（是，球除颜色外相同，且放回）②涉及几个步骤？（两个：第一次摸，第二次摸）③适合用什么方法？（树状图或列表均可，此处鼓励用树状图体验过程）。然后，给予学生独立完成的时间，要求规范画出树状图，写出所有可能结果，并计算概率。教师巡视，重点关注：是否标注“放回”对第二步分支的影响；列举是否完整；概率计算是否正确。选取一份典型规范作品和一份存在瑕疵（如遗漏“放回”导致分支错误）的作品进行投影对比点评。

学生活动：独立审题，分析条件，选择方法，规范地完成树状图的绘制、结果的列举及概率的计算。参与作品点评，指出优点与错误，深化对“放回”这一关键条件和列举规范的理解。

即时评价标准：1.能否准确识别“放回”这一条件对等可能性的保障作用？2.树状图绘制是否规范、完整？3.概率计算公式应用是否准确？

形成知识、思维、方法清单：★规范解题流程：一审（审题，判断等可能性，分析结构）；二选（选择列举方法）；三列（规范作图或制表，系统列举）；四数（数出总结果数m和目标结果数n）；五算（代入公式P=n/m计算）；六答。★关键条件辨析：“放回”确保每次试验条件相同，结果等可能；“不放回”则会改变样本空间，需特别注意。▲严谨性的养成：概率计算对每一步的严谨性要求极高，任何一个环节的疏忽（如忽略前提、列举遗漏）都会导致结果错误。

第三、当堂巩固训练

本环节设计分层、变式练习，以巩固新知，提升应用能力。

基础层（全体必做）：

1.直接应用：从1，2，3三个数字中随机抽取两个不同的数字组成两位数（十位和个位数字不同），组成的两位数是偶数的概率是多少？（旨在巩固对有序排列的列举，可用树状图或直接枚举）

综合层（多数学生完成）：

2.情境应用：小颖有两件上衣（红色、白色）和三条裙子（蓝色、黑色、灰色），她随机穿一套（一件上衣配一条裙子），恰好穿上红上衣和灰裙子的概率是多少？（经典二维情境，巩固列表法，同时联系生活实际）

挑战层（学有余力选做）：

3.开放探究：设计一个公平的游戏规则。现有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字1，2，3，4。请利用这些卡片，设计一个两人游戏的规则，使得游戏对双方是公平的（即每人获胜的概率均为1/2）。写出你的规则并用列举法验证其公平性。（此题考查对概率本质的理解与创造性应用）

反馈机制：学生独立完成基础层和自选综合层题目后，首先在小组内进行答案互评和方法交流，重点讨论列举过程。教师巡视，收集共性疑问与独特解法。随后，针对重点题目（如综合层第2题）进行全班讲评，邀请学生展示其列表或树状图，并强调规范。对于挑战题，请有思路的学生分享其游戏规则设计，并引导全班一起用列举法验证概率，激发思维碰撞。

第四、课堂小结

引导学生进行自主结构化总结与元认知反思。

知识整合：“同学们，经过这节课的‘侦探之旅’，我们获得了哪些‘破案工具’和‘破案心得’？请大家用自己喜欢的方式（如思维导图、关键词云）在任务单的总结区进行梳理。”教师可提供支架：“可以从‘我们学了哪些方法’、‘它们分别在什么情况下使用’、‘用的时候要特别注意什么’这几个方面思考。”

方法提炼：请学生分享总结成果。教师板书核心脉络：核心目标（有序列举）→两种工具（列表法、树状图法）→选择策略（看结构）→关键前提（等可能性）→规范流程（审、选、列、数、算、答）。并强调：“无论是列表还是画树，其灵魂都是‘有序思考’，这是解决许多复杂问题的通用思维钥匙。”

作业布置：公布分层作业：1.必做（基础）：课本对应练习，完成2道涉及列表法和树状图法的概率计算题。2.选做（拓展）：寻找生活中一个可用列举法计算概率的例子，并尝试解答。思考：如果问题中“等可能性”不成立，我们还能计算精确的概率吗？下节课我们将探讨新的方法。大家今天表现都很棒，我们不仅学会了算概率，更学会了像数学家一样有条理地思考问题！

六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.完成教材本节后练习题第1、2题。这两题直接对应本节课核心技能，分别练习在简单情境下使用列表法或树状图法进行规范的概率计算。

2.整理课堂笔记，用表格对比列表法和树状图法的定义、适用情境、操作步骤及优缺点。

拓展性作业（推荐多数学生完成）：

3.（生活应用）小明家早餐搭配：饮料有牛奶、豆浆两种，主食有包子、油条、面包三种。若每天随机选择一种饮料和一种主食，求某天恰好喝牛奶吃包子的概率。请用两种不同的列举方法解答，并说说你更喜欢哪一种。

4.（规则设计）小亮和小丽玩“石头、剪刀、布”的游戏。请用树状图列出一次游戏中所有可能的结果，并计算小亮获胜的概率。这个游戏规则公平吗？

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：

5.（深度探究）一个密码锁的密码由0-9中的两个数字组成（数字可重复）。尝试用列举法分析：如果不知道密码，随机输入一次，恰好打开锁的概率是多少？如果数字不允许重复，概率又是多少？比较两者，你能得出什么结论？

6.（微项目）查阅资料，了解“生日悖论”的基本内容。尝试用树状图或列表的思想（尽管实际情况很复杂，可做简化模型）解释，为什么在一个23人的班级中，至少有两人生日相同的概率会超过50%。将你的理解和思考过程写成一篇简短的数学短文。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.古典概型：一种概率模型，满足两个条件：（1）试验中所有可能出现的基本事件是有限的；（2）每个基本事件出现的可能性相等。本节课的列举法主要适用于古典概型。

★2.列举法的本质：系统、不重复、不遗漏地列出试验的所有等可能结果，从而明确概率计算公式P(A)=m/n中的n（总结果数）和m（满足条件的结果数）。

★3.列表法：

1.操作：当事件涉及两个因素（如掷两个骰子、抽两次签有放回）时，可以行、列分别代表一个因素，在表格交叉处列出所有组合。

2.优点：结果呈现集中，一目了然，便于查找计数。

3.注意：确保行列代表的因素及其取值清晰。

★4.树状图法：

4.操作：当事件涉及两个或两个以上步骤（先后顺序）时，从“开始”点（树根）出发，按步骤分层次画出所有可能的选择（分支），最终每条从树根到末端的路径代表一种结果。

5.优点：过程直观，尤其适合步骤多的情况，能清晰展示事件发展的脉络。

6.注意：每一步的分支要完整，路径要画到末端。

★5.方法选择策略：分析问题是“同时发生/两个维度”还是“分步发生/多个步骤”。“同时”或“二维”常考虑列表；“分步”或“多级”首选树状图。很多题目二者皆可，择一即可。

▲6.“放回”与“不放回”：这是影响等可能性的关键条件。“放回”抽样，每次条件不变，结果总数易算；“不放回”抽样，样本空间逐次变化，列举时需特别注意已取出的元素不再出现。本节课主要解决“放回”或可视为独立重复的简单“不放回”问题（如摸球后不放回，但只考虑组合而非排列时）。

★7.规范解题流程：一审（审清题意，判断是否为等可能事件）；二选（根据结构选择列举方法）；三列（规范作图列表，有序列举所有结果）；四数（数出总结果数n和目标结果数m）；五算（代入公式P(A)=m/n计算）；六答。

▲8.易错点警示：

7.忽略“等可能性”前提：如转盘分区不均、骰子质地不均时，不能直接用古典概型公式。

8.列举时“重”或“漏”：因思维无序导致。务必按照选定方法的规范步骤操作。

9.基本事件判断错误：如将“掷两枚硬币出现一正一反”误认为只有（正，反）一种情况，而遗漏（反，正）。列表和树状图能有效避免此错误。

10.混淆“有序”与“无序”：在涉及抽取但不考虑顺序的问题中，列举出的（a,b）和（b,a）可能代表同一种情况，需根据题意判断是否合并。

▲9.核心素养落脚点：本节课是发展学生数据意识（理解随机性，用数据说话）、模型观念（将实际问题抽象为概率模型）、逻辑推理（有序思考，严谨论证）和应用意识的典型课例。

★10.中考常见命题点：概率计算是中考必考考点，常以选择题或填空题形式出现，分值约3-6分。题目背景多取材于生活中的游戏、抽奖、比赛、决策等情境。考查核心就是能否在复杂背景中识别古典概型，并正确运用列表法或树状图法进行规范求解。也可能与方程、不等式等知识结合，形成小综合题。

八、教学反思

本课教学以“发展有序思维，构建概率模型”为核心，严格遵循“导入-目标-前测-参与式学习-后测-总结”的认知逻辑线展开。从假设的课堂实施角度看，预设目标基本达成。（一）目标达成度分析：通过课堂观察、任务单完成情况及巩固练习反馈，约85%的学生能独立、规范地运用列表法或树状图法解决基础及中等难度问题，表明知识目标与能力目标有效落实。学生在小组讨论与作品点评中表现出对“等可能性”前提的关注意识增强，情感目标得以渗透。（二）环节有效性评估：导入环节的“不均匀转盘”情境成功制造认知冲突，迅速聚焦“等可能性”与“系统列举”这两个核心问题，激发了探究动机。新授环节五个任务环环相扣，从经验唤醒到方法探究，再到对比应用，为学生搭建了坚实的认知阶梯。特别是任务五的对比点评，将易错点（如忽视“放回”）暴露并澄清，效果显著。巩固训练的分层设计满足了不同层次学生的需求，挑战题激发了部分学生的深度思考。（三）学生表现深度剖析：在小组活动中观察到，基础较好的学生能很快掌握方法要领，并乐