《函数与方程、不等式之间的关系》课件

3.2函数与方程、不等式之间的关系第3章函数必修一1.了解函数（结合二次函数）零点的概念；2、理解函数零点与方程的根以及函数图象与x轴交点的关系；3、掌握零点存在性定理的运用.利用零点存在性定理判定在哪个区间存在零.知识梳理1.函数的零点（1）一般地，如果函数y=f（x）在实数a处的函数值等于零，即f（a）=0，则称a为函数y=f（x）的零点.a是函数f（x）零点的充分必要条件是，（a，0）是函数图像与x轴的公共点。因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0相对大小比较的不等式的解集.（2）依照零点的定义可知，求函数y=f（x）的零点，实质上就是要解方程f（x）=0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函数图像与x轴的交点，再根据函数的性质等，就能得到类似f（x）>0等不等式的解集.知识梳理2.二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系（1）一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）：①当Δ=b2-4ac>0时，方程ax2+bx+c=0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f（x）的两个零点，f（x）的图像与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0）；②当Δ=b2-4ac=0时，方程ax2+bx+c=0的解集中只有一个元素xo，且xo是f（x）唯一的零点，f（x）的图像与x轴有一个公共点；③当Δ=b2-4ac=0<0时，方程ax2+bx+c=0没有实数根，此时f（x）无零点，f（x）的图像与x轴没有公共点.知识梳理（1）函数零点存在定理如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f（a）f（b）<0（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y=f（x）在区间（a，b）中至少有一个零点，即∃xo∈（a，b），f（xo）=0.3.零点的存在性及其近似值的求法（2）一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的.需要注意的是，反比例函数的图像不是连续不断的.知识梳理（3）一般地，求x0的近似值，可以通过计算区间中点函数值，从而不断缩小零点所在的区间来实现，具体计算过程可用如下表格表示：其中第2行的区间是（-2，-1），这是因为f（-2）f（-1）<0，其他区间都是用类似方式得到的.最后一行的函数值没有计算，是因为不管xo∈（-2，]，还是xo∈[，），我们都可以将

要看成xo的近似值，而且误差小于.

知识梳理（2）上述这种求函数零点近似值的方法称为二分法。在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的，且f（a）f（b）<0），给定近似的精度ε，用二分法求零点xo的近似值x1，使得|x1-xo|<ε的一般步骤如下：同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题感受高考感受高考感受高考1234567891011A级必备知识基础练1.(多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是(

)A.这个函数有2个单调递增区间B.这个函数有3个单调递减区间C.这个函数在其定义域内有最大值7D.这个函数在其定义域内有最小值-7BC解析

根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在定义域[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC.123456789101112345678910112.下列函数是奇函数,且在(0,+∞)上为增函数的是(

)D12345678910113.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(

)A.f(-1)>f(2)>f(-3) B.f(2)>f(-1)>f(-3)C.f(-3)>f(-1)>f(2) D.f(-1)>f(-3)>f(2)A解析

由y=f(x)为偶函数,则f(-1)=f(1),f(-3)=f(3),又因为函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,所以f(1)>f(2)>f(3),即f(-1)>f(2)>f(-3),故选A.12345678910114.若奇函数f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,则函数f(x)在区间[1,2]上(

)A.单调递增,且有最小值为f(1)B.单调递增,且有最大值为f(1)C.单调递减,且有最小值为f(2)D.单调递减,且有最大值为f(2)C解析

根据奇函数的图象关于原点对称,所以其在y轴两侧单调性相同,因为f(x)在区间[-2,-1]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以f(x)在区间[1,2]上有最大值f(1),最小值f(2),故选C.1234567891011B解析

∵函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是R上的偶函数,∴f(-x)=(m-1)x2-2mx+3=f(x)=(m-1)x2+2mx+3,∴m=0,即f(x)=-x2+3.∴f(x)在(-∞,0)上单调递增,123456789101112345678910116.f(x)是定义在[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是(

)A.f(0)<f(6) B.f(3)>f(2)C.f(-1)<f(3) D.f(2)>f(0)C解析

∵f(x)是偶函数,∴f(1)=f(-1),又f(3)>f(1),故f(3)>f(-1).故选C.12345678910117.

已知奇函数f(x)在定义域R上是增函数,则不等式f(4x-3x2)+f(7)>0的解集是

.

解析

∵f(4x-3x2)+f(7)>0,∴f(4x-3x2)>-f(7).又f(x)为定义域R上的奇函数,∴f(4x-3x2)>f(-7).12345678910118.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),且满足下列条件:①f(x)为奇函数;②f(x)在定义域上是减函数.若f(1-a)+f(1-a2)<0,求实数a的取值范围.解

∵f(x)为奇函数,∴f(1-a2)=-f(a2-1),∴f(1-a)+f(1-a2)<0,则f(1-a)<-f(1-a2),即f(1-a)<f(a2-1).∵f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,故实数a的取值范围为(0,1).12345678910111234567891011B级关键能力提升练9.(多选题)关于函数y=f(x),y=g(x),下述结论正确的是(

)A.若y=f(x)是奇函数,则f(0)=0B.若y=f(x)是偶函数,则y=|f(x)|也是偶函数C.若y=f(x)(x∈R)满足f(1)<f(2),则f(x)在区间[1,2]上单调递增D.若y=f(x),y=g(x)均为R上的增函数,则y=f(x)+g(x)也是R上的增函数BD解析

若y=f(x)是奇函数,当定义域不包含0时不成立,故A错误;若y=f(x)是偶函数,f(x)=f(-x),故|f(x)|=|f(-x)|,y=|f(x)|也是偶函数,B正确;举反例:f(x)=(x-)2满足f(1)<f(2),在[1,2]上不单调递增,故C错误;设x1<x2,则[f(x2)+g(x2)]-[f(x1)+g(x1)]=[f(x2)-f(x1)]+[g(x2)-g(x1)]>0,故y=f(x)+g(x)也是R上的增函数,故D正确.1234567891011123456789101110.若定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,且f(-2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是(

)A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]D解析

因为在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)内单调递减,且f(-2)=0,所以f(x)在(-∞,0)上也是单调递减,且f(0)=0,f(2)=-f(-2)=0,所以当x∈(-∞,-2)∪(0,2)时,f(x)>0,当x∈(-2,0)∪(2,+∞)时,f(x)<0.所以由xf(x-1)≥0可得

或x=0,解