《不等式》教学课件

2.2不等式

第2章等式与不等式必修一1.掌握不等式5个性质与5个推论；2.掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式；3.掌握不等式组的解集，理解绝对值的定义，学会如何求绝对值不等式；4.掌握并理解数轴上两点之间的距离公式和数轴上的中点坐标公式；5.掌握用因式分解法、配方法解决一元二次不等式；6.学会推导并掌握均值不等式定理，能够简单应用定理求最值.知识梳理1.不等式及其性质（1）在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”，连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.（2）上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”.事实上，住意给定两个实数a，b，那么a≥b⇔a＞b或a=ba≤b⇔a＜b或a=b知识梳理（3）实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地,如果点P对应的数为x,则称x为点P的坐标,并记作P（x）.（4）数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小.b>1>0>a图所示的数轴中，A（a），B（b）：知识梳理（5）一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离。由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即

a-b<0⇔a<b,a-b=0⇔a=b,a-b>0⇔a>b.知识梳理（6）不等式的性质：①性质1：如果a>b，那么a+c>b+c.②性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc.③性质3：如果a>b，c<0，那么ac<bc.④性质4：如果a>b，b>c，那么a>c.性质4通常称为不等关系的传递性.⑤性质5：a>b⇔b<a.上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。知识梳理（7）作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小.（8）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导

最后得到结论的方法.（9）不等式的五个推论：①推论1：如果a+b>c，那么a>c-b.证明a+b>c⇒a+b+（-b）>c+（-b）⇒a>c-b.·推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的

符号后，从不等式的一边移到另一边.·推论1通常称为不等式的移项法则.综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论.知识梳理②推论2：如果a>b，c>d，那么a+c>b+d.证明根据性质1有

a>b⇒a+c>b+c，

b>d⇒b+c>b+d，再根据性质4可知

a+c>b+d.·我们把a>b和c>d（或a<b和c<d）这类不等号方向相同的不等式，

称为同向不等式.·推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.知识梳理③推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.证明

根据性质2有a>b，c>0⇒ac>bc，c>d，b>0⇒bc>bd，再根据性质4可知ac>bd.·推论3推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.知识梳理④推论4：如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）.证明

这个结论的证明只要多次使用推论3的结论即可.⑤推论5：如果a>b>0，那么>

.·推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立。这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.知识梳理（10）分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.2.不等式的解集与不等式组的解集（1）一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.（2）对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集.知识梳理3.绝对值不等式（1）我们知道，数轴上表示数a的点与原点的距离称为数a的绝对值，记作|a|.（2）一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.（3）一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式.例如，|x|>3，|x-1|≤2知识梳理（4）当m>0时关于x的不等式|x|>m的解集为数轴上与原点的距离大于m的点对应的所有数组成的集合，为x>m或x<-m，因此解集为关于x的不等式|x|≤m的解为-m≤x≤m，因此解集为[-m，m].（5）数轴上两点之间的距离公式：一般地，如果实数a，b在数

轴上对应的点分别为A，B，即A（a），B（b），则线段AB 的长为AB=|a-b|知识梳理（6）数轴上的中点坐标公式：更进一步，如果线段AB的中点M对应的数为x，则由AM=MB可知|a-x|=|x-b|，因此：当a<b时，

有a<x<b，从而x-a=b-x，所以知识梳理（1）一般地，形如ax2+bx+c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以

是“<”“≥”“≤”等4.一元二次不等式的解法（2）一般地，如果x1<x2，则不等式（x-x1）（x-x2）<0的解集是

（x1，x2）,不等式（x-x1）(x-x2)>0的解集是（一∞，x1）∪（x2，+∞）（3）一般的一元二次不等式可以通过配方法来求得解集，一元二次不等式ax2+bx+c>0（a≠0）通过配方总是可以变为(x-h)2>k 或(x-h)2<k，的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到

原不等式的解集.知识梳理5.均值不等式及其应用（1）给定两个正数a，b，数

称为a，b的算术平均值；数

称为a，b的几何平均值①.两个数的算术平均值，实质上是这两个数在

数轴上对应的点的中点坐标.①多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义.例如，a，b，c的算术平均值为，几何平均值为 .（2）两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.一般地，我们有如下结论：

均值不等式，如果a，b都是正数，那么

，

当且仅当a=b时，等号成立.知识梳理（3）均值不等式也称为基本不等式（基本不等式中的a，b还可以为零），其实质是：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何

平均值.同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题感受高考C感受高考感受高考123456789101112A级必备知识基础练1.

设实数x满足x>0,则2+3x+的最小值为(

)A1234567891011122.已知实数x>1,则2-x-的(

)A.最小值为1 B.最大值为1C.最小值为-1 D.最大值为-1D1234567891011123.已知x>0,则

的最小值是(

)A.2 B.4C.6 D.8A123456789101112C1234567891011125.(多选题)已知x>0,y>0且x+y=1,若≥4a恒成立,则实数a可取(

)A.0 B.1 C.2 D.3AB1234567891011126.如果两个正方形的边长之和为1,那么它们的面积之和的最小值是(

)C.1 D.2B1234567891011127.一批救灾物资随51辆汽车从某市以vkm/h的速度匀速直达灾区,已知两地公路线长400km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于

km,那么这批物资全部到达灾区最少需要

h.

101234567891011128.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100.假设汽油的价格是每升6元,而汽车每小时耗油

升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的函数解析式.(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低?求出最低费用的值.123456789101112123456789101112B级关键能力提升练9.若-4<x<1,则

有(

)A.最小值2 B.最大值2 C.最小值-2 D.最大值-2D12345678910111210.设代数式y=x+(a>0).(1)若a=1,求当x>0时,y的最小值为

;

(2)当x>2时,y存在最小值,则满足条件的一个a的值为

.

25(答案不唯一,只要a>4即可)

12345678910111211.如图,在矩形地基的中心位置上建造一个面积为350m2的矩形仓库,仓库四周铺设人行道;要求南北两侧的人行道宽4m,东西两侧的人行道宽5m,如何设计仓库的边长,才能使人行道的占地面积最小?(结果精确到0.1m)12345678910111212345678910111212.开通中欧班列是推进我国与“一带一路”沿线国家道路连通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报