《平面向量及其线性运算》课件

6.1平面向量及其线性运算第6章平面向量初步必修二1.通过位移、速度和力这些物理量的分析，了解向量的实际背景.2.理解向量、相等向量、共线向量、零向量的概念及向量的表示.3.理解向量的几何意义.4.理解向量加法的概念.5.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，会作两个向量的和向量.6.理解向量的加法交换律和结合律，并能运用它们进行向量的计算7.理解相反向量、差向量的概念.8.掌握向量减法的三角形法则.9.掌握数乘向量的定义运算及其几何意义.10.理解两个向量共线的含义.11.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识梳理1.位移与向量（1）向量的定义：一般地，像位移这样既有大小又有方向的量称为向量.

把那些只有大小，没有方向的量，如年龄、身高、长度、面积、体积、

质量等，称为标量.（2）表示方法：①几何表示法：将有向线段不带箭头的端点称为向量的始点

（或起点），带箭头的端点称为向量的终点．有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向．始点为A终点为B的有向线段表示的向量，可以用符号简记为

，用以A为始点，以B为终点作有向线段

，模为.②字母表示法：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c、…表

示向量，在书写时，可写成带箭头的小写字母如，…。（3）向量的模:向量的大小也称为向量的长度或模,如a,的模分别记作|a|,||.提示：看一个量是否为向量，就要看它是否同时具备了大小和方向两个要素.知识梳理（4）特殊向量①零向量:始点和终点相同的向量称为零向量,记作0.②单位向量:长度(或模)为1的向量称为单位向量.【注意】零向量、单位向量都是只限制长度，不确定方向，零向量的方向是任意的，两个单位向量的方向不一定相同.2.向量的相等与平行（1）相等向量:大小相等且方向相同的向量称为相等向量.

向量a与b相等,记作a=b.【提示】当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取.

同向且等长的有向线段都表示同一向量，或者说向量可以在平面内平行移动，这样可以为研究问题带来很大方便.知识梳理（2）平行向量或共线向量:

方向相同或相反的非零向量称为平行向量,也称为共线向量.

向量a平行于b,记作a∥b.

零向量的方向不确定，因此通常规定零向量平行于任何向量.（3）平行向量与相等向量的关系①平行向量只要求向量的方向相同或相反,用有向线段表示平行向量时,向

量所在的直线重合或平行.②借助相等向量,可以把一组平行向量移到同一直线上,因此,平行向量也叫

共线向量.③平行向量不一定是相等向量,但相等向量一定是平行向量.④向量相等具有传递性,即a=b,b=c,则a=c.而向量的平行不具有传递性,若

a//b,b//c,未必有a//c.因为零向量平行于任意向量,那么当b=0时,a,c

可以是任意向量,故a与c不一定平行.但若b≠0,则必有a//b,b//c=a//c.

因此,解答相关问题时要看清题目中是任意向量还是任意非零向量.知识梳理3.向量加法的三角形法则（1）知识梳理（2）当a与b不共线时,求它们的和可用下图所示，因为此时a,b,a+b正好能构成

一个三角形.上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则.记忆口诀：首尾顺次相接，首指向尾为和向量.（3）当a与b共线时,求它们的和可用下图所示.值得注意的是,对任意向量a,有a+0=0+a=a.知识梳理（4）向量a,b的模与a+b的模之间的关系:①因为三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,由向量加

法的三角形法则知,当a,b不共线时,恒有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|.②当a,b同向共线时,a+b,a,b同向,③当a,b反向共线时,若|a|>|b|,则a+b与a同向,|a+b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a+b与b同向,|a+b|=|b|-|a|.综上,有向量和的三角不等式知识梳理4.向量加法的平行四边形法则（1）一般地，当两个向量不共线时，可以通过作平行四边形的方法来得到它们

的和：上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则.知识梳理【提示】①平行四边形法则的应用前提是两个向量是从同一点出发的不共线向量.②由于向量是可以平移的.因此，当两个向量不共线时，三角形法则和平行四边

形法则的实质是一样的，把平行四边形法则的图形取一部分，就是三角形法

则的图形.③当两个向量共线时，平行四边形法则便不再适用.④向量求和的三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意义.

知识梳理5.向量加法满足的运算律（1）同数的加法满足交换律与结合律类似，向量的加法也满足交换律与结合律，

即满足：说明：①由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律.②对于向量加法的结合律，可通过下图来说明.知识梳理6.多个向量相加（1）知识梳理7.向量的减法（1）定义:平面上任意两个向量a,b,如果向量x满足b+x=a,则称x为向量a,b的差,记作x=a-b.（2）作法:在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=,如图所示.知识梳理（3）当向量a,b不共线时,向量a,b,a-b正好能构成一个三角形,因此求两向量差

的作图方法也常称为向量减法的三角形法则.向量减法的三角形法则在a,b共线时也成立，如下图所示：知识梳理（4）相反向量定义:

如果两个向量大小相等,方向相反,那么称这两个向量是相反向量.性质:①对于相反向量有:a+(-a)=0.②若a,b互为相反向量,则a=-b,a+b=0.③零向量的相反向量仍是零向量.知识梳理（5）向量a,b的模与a-b的模之间的关系:①如图所示，当a，b不共线时，作=a，

=b，则a-b=-=.

根据三角形边长的不等关系知||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|②当a,b同向共线时,若|a|>|b|,则a-b与a，b同向,|a-b|=|a|-|b|;若|a|<|b|,则a-b与a，b反向,|a-b|=|b|-|a|.②当a,b反向共线时,a-b与a同向,与b反向，且|a-b|=|a|+|b|

综上,有向量差的三角不等式.知识梳理8.数乘向量（1）定义：给定一个实数λ与任意一个向量a，规定它们的乘积是一个向量，

记作λa.

规定:①当λ≠0且a≠0时,λa的模为|λa|=|λ||a|,而且λa的方向如下:1）当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;2）当λ<0时,λa的方向与a的方向相反.

②当λ=0或a=0时,λa=0.

上述这种实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量.（2）由定义看出,数乘向量的结果是一个向量,且这个向量与原向量共线(平行),

即λa//a;

数乘向量的几何意义是,把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小.

特别地,一个向量的相反向量可以看成-1与这个向量的乘积,即-a=(-1)a.知识梳理（3）向量数乘的运算律

设λ,μ为实数,且a是向量时:μa是向量,λ(μa)也是向量;λμ是实数,

但(λμ)a是向量.可以看出λ(μa)=(λμ)a.特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a).（4）向量共线的条件

如果存在实数λ,使得b=λa,则b∥a.（5）三点共线的条件知识梳理9.向量加法与数乘运算的混合运算（1）（2）10.向量的线性运算（1）（2）同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题感受高考A1234567891011121314151617A级必备知识基础练1.[探究点一]有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是(

)A.1 B.2C.3 D.4C解析

因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.12345678910111213141516172.[探究点三]给出下列命题:①起点相同,方向相同的两个非零向量的终点相同;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同;③两个平行的非零向量的方向相同;④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线.其中正确的是(

)A.①② B.②C.②③ D.③④B解析

①起点相同,方向相同,但大小不一定相同,所以两个非零向量的终点不一定相同,故错误;②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同,故正确;③两个平行的非零向量的方向相同或相反,故错误;④两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线,有向线段所在的直线可能平行,故错误.故选B.12345678910111213141516171234567891011121314151617B1234567891011121314151617A.正方形 B.矩形C.菱形

D.等腰梯形C12345678910111213141516175.(多选题)[探究点三]下列说法正确的是(

)C.若a=b,b=c,则a=cD.若a∥b,b∥c,则a∥cABC123456789101112131415161712345678910111213141516176.(多选题)[探究点一]下列说法正确的是(

)A.向量不能比较大小,但向量的模能比较大小B.|a|与|b|是否相等与a与b的方向无关C.若a∥b,b∥c,则a∥cAB解析

对于A,向量既有大小又有方向,不能比较大小,向量的模可以比较大小,故选项A正确;对于B,|a|与|b|分别表示向量a与b的大小,与a,b的方向无关,故选项B正确;对于C,当b=0时,向量a与c可以是任意向量,都满足a∥b,b∥c,故选项C不正确;123456789101112131415161712345678910111213141516177.[探究点二]在四边形ABCD中,是单位向量,则四边形ABCD是

.

菱形12345678910111213141516178.[探究点三]如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:12345678910111213141516171234567891011121314151617B级关键能力提升练9.已知a为单位向量,下列说法正确的是(

)A.a的长度为一个单位长度B.a与0不平行C.与a共线的单位向量只有一个(不包括a本身)D.a与0不是平行向量A解析

∵已知a为单位向量,∴a的长度为一个单位长度,故A正确;a与0平行,故B错误;与a共线的单位向量有无数个,故C错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D错误.123456789101112131415161710.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是(

)ABC1234567891011121314151617123456789101112131415161711.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是

.(填序号)

①③④

解析

若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.123456789101112131415161712