《统计》教学课件

5.1统计

第5章统计与概率必修二1.了解总体与样本、普查与抽样调查的概念，理解简单随机抽样、分层抽样的概念，会用抽签法和随机数表法、分层抽样从总体中抽取样本.2.会计算一组数据的平均数、中位数、百分位数、方差与标准差；3.理解统计图表的作用与意义，通过实例体会柱形图、折线图、扇形图、茎叶图、频数分布直方图与频率分布直方图的各自特征.会利用合适的统计图表研究生活中的实例.4.了解分层抽样中的均值与方差，理解频率分布直方图中有关数字特征的含义，会用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本的分布估计总体的分布.知识梳理1.总体与样本（1）统计的相关概念（2）普查与抽样调查一般地,对总体中每个个体都进行考察的方法称为普查(也称全

面调查),只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查.知识梳理2.简单随机抽样（1）定义:一般地,简单随机抽样(也称纯随机抽样)就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随机地抽取个体.完全随机地抽取个体.简单随机抽样是其他各种抽样方法的基础.当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时,通常采用这种方法.（2）两种常见方法:①抽签法;②随机数表法.知识梳理（3）随机数表法进行简单随机抽样的步骤知识梳理3.分层抽样(1)定义一般地,如果相对于要考察的问题来说,总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时,每一部分可称为层,在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).(2)应用的广泛性①分层抽样所得到的样本,一般更具有代表性,可以更准确地反

映总体的特征,尤其是在层内个体相对同质而层间差异较大时.②分层抽样在各层中抽样时,还可根据各层的特点灵活地选用不

同的随机抽样方法.③想同时获取总体的信息和各层的内部信息时,常采用分层抽样.知识梳理(3)简单随机抽样与分层抽样的区别与联系知识梳理4.最值（1）一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值,最值反映的

是这组数最极端的情况.①一般地,最大值用max表示,最小值用min表示.②一组数据的最大值与最小值的差叫做极差.极差反映了一组数的变化范围，描述了这组数的离散程度.知识梳理5.平均数（1）我们经常使用平均数来刻画一组数据的平均水平(或中心位置).（2）定义:如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为

(x1+x2+…+xn).这一公式在数学中常简记为

，其中的符号“∑”表示求和，读作“西格玛”，∑右边式子中的i表示求和的范围，其最小值与最大值分别写在∑的下面与上面.知识梳理（3）求和符号∑具有的性质（4）如果x1,x2,…,xn,的平均数为,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数是a

+b.这是因为知识梳理5.中位数、百分位数（1）中位数①如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称xn+1为这组数的中位数;②如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称

为这组数的中位数.（2）百分位数①定义:一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的

一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有%的

数据不小于该值.知识梳理（3）计算方法:

设一组数按照从小到大排列后为x1,x2,…,xn,计算i=np%的值,如

果i不是整数,设i0为大于i的最小整数,取为p%分位数;如果i

是整数,取为p%分位数.

规定:0分位数是x1(即最小值),100%分位数是xn(即最大值).6.众数（1）定义：一组数据中,某个数据出现的次数称为这个数据的频数,

出现次数最多的数据称为这组数据的众数.知识梳理7.极差、方差与标准差(1)极差定义:一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.(2)方差与标准差①如果x1,x2,…,xn,的平均数为,则方差s2=,方差的算术平方根称为标准差.②如果x1,x2,…,xn,的方差为s2,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差是a2s2.知识梳理(3)标准差、方差越大,数据的离散程度越大;

标准差、方差越小,数据的离散程度越小.8.柱形图（1）柱形图(也称为条形图)知识梳理9.折线图（1）折线图知识梳理10.扇形图（1）扇形图(也称为饼图、饼形图)知识梳理11.茎叶图（1）茎叶图知识梳理12.频率分布直方图与频率分布直方表（1）画频数分布直方图与频率分布直方图的步骤①找出最值,计算极差②合理分组,确定区间③整理数据④作出有关图示知识梳理（2）频数分布折线图和频率分布折线图把频数分布直方图和频率分布直方图中每个矩形上面一边的中点用线段连接起来,且画成与横轴相交.13.用样本的数字特征估计总体的数字特征①前提：样本的容量恰当,抽样方法合理.②必要性：1）在容许一定误差存在的前提下,可以用样本估计总体,这样能节省人力和物力.2）有时候总体的数字特征不可能获得,只能用样本估计总体.（1）用样本估计总体知识梳理③误差估计一般是有误差的.但是,大数定律可以保证,当样本的容量越来越大时,估计的误差很小的可能性将越来越大.①一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出样本对应的数字特征即可.②样本是用分层抽样得到的,由每一层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.（2）用样本的数字特征来估计总体的数字特征知识梳理知识梳理14.用样本的分布来估计总体的分布（1）如果总体在每一个分组的频率记为π1,π2,…,πn,样本在每一组对应的频率记为p1,p2,…,pn,一般来说, 不等于零.当样本的容量越来越大时,上式很小的可能性将越来越大.同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题同步习题感受高考感受高考感受高考C感受高考12345678910111213141516171819202122一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.现要完成下列2项抽样调查:①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查;②某生活小区共有540名居民,其中年龄不超过30岁的有180人,年龄超过30岁不超过60岁的有270人,60岁以上的有90人,为了解居民对社区环境绿化方面的意见,拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法是(

)A.①抽签法,②分层随机抽样 B.①随机数法,②分层随机抽样C.①随机数法,②抽签法 D.①抽签法,②随机数法A解析

①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查,样本容量小,宜用抽签法,②该小区居民的年龄有明显差异,对社区环境绿化的意见不同,宜用分层随机抽样.123456789101112131415161718192021222.[2023河北承德期末]某文化馆计划从18名女志愿者、12名男志愿者中选调10人参加文化艺术展讲解工作,若按照性别进行分层随机抽样,则应抽取的女志愿者人数为(

)A.7 B.3 C.6 D.4C解析

18名女志愿者、12名男志愿者,比例为18∶12=3∶2,选调10人,按照性别进行分层随机抽样,应抽取的女志愿者人数为10×=6(人).123456789101112131415161718192021223.[2023辽宁丹东期末]某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图,则估计全市家庭月均用水量的平均数为(

)A.2.45 B.2.46

C.2.47

D.2.48B12345678910111213141516171819202122解析

由频率分布直方图的性质可知(0.12×2+0.22+0.36+a)×1=1,解得a=0.18,则估计全市家庭月均用水量的平均数为0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46.123456789101112131415161718192021224.[2023四川凉山州模拟]样本数据x1,x2,…,xn的平均数

=4,方差s2=1,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均数、方差分别为(

)A.9,4 B.9,2 C.4,1 D.2,1A解析

由

=4,s2=1,得所求平均数为2+1=9,所求方差为4s2=4.123456789101112131415161718192021225.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位市民,他们的幸福感指数为3,4,5,5,6,7,7,8,9,10.则这组数据的第75百分位数是(

)A.7 B.7.5 C.8 D.8.5C解析

由题意,这10个人的幸福指数已经从小到大排列,因为75%×10=7.5,所以这10个人的第75百分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数,即8.123456789101112131415161718192021226.[2023湖南衡阳蒸湘期末]将一组互不相等的数据x1,x2,…,x7删去中位数(设中位数为m)后,得到一组新数据,则(

)A.新数据的平均数一定大于原数据的平均数B.新数据的平均数一定小于原数据的平均数C.新数据的第60百分位数一定大于mD.新数据的第60百分位数一定小于mC解析

当原数据的平均数为m时,新数据的平均数等于原数据的平均数,故A,B错误.不妨设x1<x2<…<x7,则m=x4,则新数据为x1,x2,x3,x5,x6,x7,因为6×0.6=3.6,所以新数据的第60百分位数为x5,因为x5>x4,所以新数据的第60百分位数一定大于m.12345678910111213141516171819202122123456789101112131415161718192021227.走路被称为“最简单、最优良的锻炼方式”,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.下图为甲、乙两人在同一星期内日步数的折线统计图:则下列结论不正确的是(

)A.这一星期内甲的日步数的中位数为11600B.乙的日步数星期四比星期三少C.这一星期内甲的日步数的平均值大于乙的日步数的平均值D.这一星期内甲的日步数的方差大于乙的日步数的方差12345678910111213141516171819202122B12345678910111213141516171819202122解析

对于A,甲的步数:16

000,7

965,12

700,2

435,16

800,9

500,11

600.从小到大排列为2

435,7

965,9

500,11

600,12

700,16

000,16

800.中位数是11

600.故A正确;对于B,乙星期三的步数为7

030,星期四的步数为12

970,星期四比星期三日步数多,故B不正确;1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122B1234567891011121314151617181920212212345678910111213141516171819202122二、选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.某市举办“口语易”英语口语竞赛,已知某选手平均得分为8.5分,12位评委对其评分具体如下(满分10分):7.0,7.5,7.8,7.8,8.2,8.3,8.5,8.7,9.1,9.2,9.9,10,则下列说法正确的是(

)A.第75百分位数为9.1B.中位数为8.3C.极差为3D.去掉最高分和最低分,不会影响到这位同学的平均得分CD123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212210.[2023四川攀枝花期末]甲、乙两人在相同的条件下投篮5轮,每轮甲、乙各投篮10次,投篮命中次数的情况如图所示(实线为甲的折线图,虚线为乙的折线图),则以下说法正确的是(

)A.甲投篮命中次数的众数比乙的大B.甲投篮命中的成绩比乙的稳定C.甲投篮命中次数的平均数为7D.甲投篮命中次数的第40百分位数是6BC123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212211.某学校组建了辩论、英文剧场、民族舞、无人机和数学建模五个社团,高一学生全员参加,且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图,已知无人机社团和数学建模社团的人数相等,下列说法正确的是(

)A.高一年级学生人数为120人B.无人机社团的学生人数为17人C.若按分层随机抽样从各社团选派20人,则无人机社团选派人数为3人D.在扇形图中表示“辩论社团人数”的扇形的圆心角大小是90°ACD12345678910111213141516171819202122解析

由题目所给的数据可知,民族舞社团的人数为12,占高一年级总人数的比例为10%,所以高一年级的总人数为12÷10%=120,英文剧场社团的人数为120×35%=42,辩论社团的人数为30,无人机社团的人数与数学建模社团的人数为(120-42-30-12)÷2=18,占高一年级人数的比例是

×100%=15%,故A正确,B错误;分层抽样20人,无人机应派出20×15%=3(人),C正确;辩论社团的人数是30,所以所求的扇形圆心角为

×360°=90°,D正确.1234567891011121314151617181920212212.[2023辽宁大连二模]某城市100户居民月平均用电量(单位:kW·h),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图所示,下列说法正确的是(

)A.x=0.0075B.月平均用电量的众数为210和230C.月平均用电量的中位数为224D.月平均用电量的第75百分位数位于区间[240,260)内ACD12345678910111213141516171819202122解析

由直方图的性质可得(0.002+0.009

5+0.011+0.012

5+x+0.005+0.002

5)×20=1,解得x=0.007

5,故A正确;由直方图可知月平均用电量的众数为

=230,故B错误;因为(0.002+0.009

5+0.011)×20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,则(0.002+0.009

5+0.011)×20+0.012

5×(a-220)=0.5,解得a=224,故C正确;因为(0.002+0.009

5+0.011+0.012

5)×20=0.7,(0.002+0.009

5+0.011+0.012

5+0.007

5)×20=0.85,所以月平均用电量的第75百分位数位于区间[240,260)内,故D正确.12345678910111213141516171819202122三、填空题13.[2023福建漳州期末]一名射击运动员在一次射击测试中射击10次,每次命中的环数如下:5

6

6

7

7

7

7

8

8

9则其射击成绩的方差s2=

.

1.21234567891011121314151617181920212214.现有一组数据满足下面两个条件:①一共有6个互不相等的数;②中位数小于平均数.这组数据可以是

.

1,2,3,4,5,8(答案不唯一)1234567891011121314151617181920212215.如图是样本容量为200的频率分布直方图.根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[6,14)内的频数为

;数据落在[2,14)内的频率约为

.

136

0.7612345678910111213141516171819202122解析

∵样本数据落在[6,14)内的频率为0.08×4+0.09×4=0.68,且样本容量为200,∴样本数据落在[6,14)内的频数为0.68×200=136;数据落在[2,14)内的频率为(0.02+0.08+0.09)×4=0.76.1234567891011121314151617181920212216.为了解中学生课外阅读情况,现从某中学随机抽取200名学生,收集了他们一年内的课外阅读量(单位:本)等数据,以下是根据数据绘制的统计图表的一部分.学生类别阅读量[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,+∞)性别男73125304女82926328学段初中

25364411高中

学生类别阅读量

12345678910111213141516171819202122下面有四个推断:①这200名学生阅读量的平均数可能是26本;②这200名学生阅读量的第75百分位数在区间[30,40)内;③这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内;④这200名学生中的初中生阅读量的第25百分位数可能在区间[20,30)内.所有合理推断的序号是

.

②③④

12345678910111213141516171819202122解析

在①中,由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知,这200名学生的平均阅读量在区间(24.5,25.5)内,故错误;在②中,200×75%=150,阅读量在[0,30)的人数有7+8+31+29+25+26=126(人),在[30,40)的人数有62人,所以这200名学生阅读量的第75百分位数在区间[30,40)内,故正确;在③中,设在区间[0,10)内的初中生人数为x,则x∈[0,15],x∈N*,当x=0时,初中生总人数为116人,=58,此时区间[0,20)有25人,区间[20,30)有36人,所以中位数在[20,30)内,当x=15时,初中生总人数为131人,=65.5,12345678910111213141516171819202122此时区间[0,20)有15+25=40(人),区间[20,30)有36人,所以中位数在[20,30)内,当在区间[0,10)内初中人数取最小值和最大值时,中位数都在[20,30)内,所以这200名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间[20,30)内,故正确;在④中,设在区间[0,10)内的初中生人数为x,则x∈[0,15],x∈N*,当x=0时,初中生总人数为116人,116×25%=29,此时区间[0,20)内有25人,区间[20,30)有36人,所以第25百分位数在[20,30)内,当x=15时,初中生总人数为131人,131×25%=32.75,区间[0,20)内有15+25=40(人),所以第25百分位数在[0,20)内,所以这200名学生中的初中生阅读量的第25百分位数可能在区间[20,30)内,故正确.12345678910111213141516171819202122四、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下:甲6080709070乙8060708075(1)甲、乙的平均成绩谁较好?(2)谁的各门功课发展较平衡?123456789101112131415161718192021221234567891011121314151617181920212218.[2023河南洛阳月考]随着科技的发展,越来越多的农民采用无人播种机、无人旋耕机、无人植保车等一系列“智慧农机”耕种田地,极大地提高了耕作效率.某地区对50名使用了“智慧农机”的农民耕种的田地面积(单位:公顷)进行统计,将数据按[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]分为5组,画出的频率分布直方图如图所示.(1)估计这50名农民耕种田地面积的中位数(结果保留小数点后一位);(2)估计这50名农民耕种田地面积的平均数及标准差(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表,结果保留整数).12345678910111213141516171819202122解

(1)根据频率分布直方图可得组距为10,所以(0.01+m+0.03+0.03+0.01)×10=1,解得m=0.02;易知[45,55),[55,65)两组数据所占概率为0.3,第三组数据[65,75)概率也为0.3,所以中位数在区间[65,75)内,设中位数为x,所以0.3+(x-65)×0.03=0.5,解得x≈71.7,所以这50名农民耕种田地面积的中位数为71.7公顷.(2)利用频率分布直方图可得,其平均数为10×(50×0.01+60×0.02+70×0.03+80×0.03+90×0.01)=71,其方差为(50-71)2×0.1+(60-71)2×0.2+(70-71)2×0.3+(80-71)2×0.3+(90-71)2×0.1=129,这50名农民耕种田地面积的平均数为71公顷,标准差约为11.1234567891011121314151617181920212219.[2023湖南湘潭岳塘期末]某中学为了学生的身心健康,加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中,后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度,若学生认可系数(认可系数=)不低于0.85,“美食”工作按原方案继续实施,否则需进一步整改.为此该部门随机调查了600名学生,根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分,分成[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示的频率分布直方图.12345678910111213141516171819202122(1)求直方图中x的值和第60百分位数;(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因,该部门从评分低于80分的学生中用分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈,求应选取评分在[60,70)的学生人数;(3)根据你所学的统计知识,结合认可系数,判断“美食”工作是否需要进一步整改,并说明理由.12345678910111213141516171819202122解

(1)由图可知10×(x+0.015+0.020+0.030+0.025)=1,解得x=0.01.因为[50,80)内的频率为0.1+0.15+0.2=0.45<0.6,[50,90)内的频率为0.1+0.15+0.2+0.3=0.75>0.6,所以第60百分位数位于区间[80,90)内,设为m,所以第60百分位数为85.(2)低于80分的学生中三组学生的人数比例为0.1∶0.15∶0.2=2∶3∶4,则应选取评分在[60,70)的学生人数为(3)由图可知,认可程度平均分为=55×0.1+65×0.15+75×0.2+85×0.3+95×0.25=79.5<0.85×100=85,所以“美食”工作需要进一步整改.1234567891011121314151617181920212220.在某中学举行的电脑知识竞赛中,将高一年级两个班参赛的学生成绩进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一,第三,第四,第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.(1)补齐图中频率分布直方图,并求这两个班参赛学生的总人数;(2)利用频率分布直方图,估算本次比赛学生成绩的平均数和中位数.12345678910111213141516171819202122解

(1)第二小组的频率为1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40,所以补全的频率分布直方图如图.12345678910111213141516171819202122(2)本次比赛学生成绩的平均数为54.5×0.30+64.5×0.40+74.5×0.15+84.5×0.10+94.5×0.05=66.5.中位数出现在第二组中,设中位数为x,则(x-59.5)×0.04+0.30=0.50,x=64.5.所以估计本次比赛学生成绩的平均数为66.5,中位数为64.5.1234567891011121314151617181920212221.某工厂生产了10000件产品,为了了解这批产品的质量情况,从中随机抽取100件作为样本,测出它们的某一项质量指数按数据分成[10,12],(12,14],(14,16],(16,18],(18,20],(20,22],(22,24]7组,得到如图所示的频率分布直方图.已知当该产品的质量指数在(16,18]内时,该产品为一等品,每件可获利12元;当该产品的质量指数在(14,16]或(18,20]内时,该产品为二等品,每件可获利10元;当该产品的质量指数在(12,14]或(20,22]内时,该产品为合格品,每件可获利8元;当该产品的质量指数在[10,12]或(22,24]内时,该产品为不合格品,每件亏损6元.12345678910111213141516171819202122(1)估计该工厂生产的这批产品中不合格品的数量;(2)估计这批产品的总利润.12345678910111213141516171819