期中期末专项复习之一元一次不等式与不等式组七年级数学下册举一反三（沪科版）

专题H.2一元一次不等式与不等式组十六大必考点

【沪科版】

【考点।不等式（组）的概念辨析】..............................................................1

【考点2不等式的基本性质运用】................................................................3

【考点3求含参的不等式的解集】................................................................5

【考点4解不等式（组）】......................................................................7

【考点5方程（组）与不等式的综合运用】.......................................................9

【考点6不等式（组）中的新定义运算】........................................................12

【考点7根据不等式的整数解个数求参数取值范围】..............................................15

【考点8根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】...........................................17

【考点9根据不等式的整数解求参数范围】......................................................19

【考点10根据实际问题列不等式（组）】..........................................................21

【考点II根据两个不等式的解之间的关系求参数】................................................23

【考点12二元一次方程组与不等式组的综合运用】................................................25

【考点13不等式的应用】.......................................................................27

【考点14根据不等式组的解求参数】............................................................31

【考点15分式方程的解与不等式的综合】........................................................33

【考点16不等式组的应用】.....................................................................36

。。区三

【考点1不等式（组）的概念辨析】

[例1]（2022•浙江•八年级单元测试）下列不等式中，一元一次不等式有（）

①X?+3>2x（2）：-3>0③x-3>2y

④平>5TT（5）3y>-3

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】分析•：根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，

并且未知数的最高次数是1〃，进行解答即可.

详解：①不是，因为最高次数是2；

②不是，因为是分式；

③不是，因为有两个未知数；

④是；

⑤是.

综上，只有2个是一元一次不等式.

故选B.

点睛：本题主要依据的知识是一元一次不等式的定义.熟记不等式中只含有一个未知数，未

知数的次数是1,且不等式的两边都是整式，这是解题的关键.

【变式1-1］（2022•全国•七年级课时练习）下列四个选项中是一元一次不等式组的是（）

(x+y=1x2+x>2

[x-y>lx+1>3

3>x(x+l>2

>3y4-3>x

【答案】D

【分析】根据一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一

起，就组成了一个一元一次不等式组可得答案.

【详解】A、不是一元一次不等式组，故此选项错误；

B、不是一元一次不等式组，故此选项错误；

C、不是一元一次不等式组，故此选项错误；

D、是一元一次不等式组，故此选项正确；

故选D.

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的定义，关健是熟练掌握定义.

【变式1-2］（2022•甘肃•武威第五中学七年级阶段练习）工+1是不小于-1的负数，则可表

示为（）

A.-1<x+l<0B.-1<x+l<0C.-1<A+1<0D.-1<x+l<0

【答案】D

【分析】直接用不等式表示题意,即可.

【详解】x+1是小小十一1的负数，则可表本为-1Wx+l<0.

故选D

【点睛】本题考核知识点：用不等式表示数量关系.解题关键点：理解题意，并用不等式表

【变式1-31（2022•江苏泰兴市宣堡初级中学七年级期末）若关于久的不等式（。-2）/+2-

1<5是一元一次不等式，关于工的不等式9a无+3Q—4匕<0的解集是求〃和〃的值

【答案】a=-l,b==.

【分析】根据一元一次不等式定义可得a的值，将a的值代入9ax+3a-4b<0,解不等式后根

据其解集可得关于b的方程，解方程可得b.

【详解】前的不等式（a-2）X"2-1V5是一元一次不等式，

团a+2=l,解得：a=-l,

当a=-l时，不等式9ax+3a-4b<0可化为-9x-3-4bV0,

解得：x>=

团不等式解集为x>/

99

解得：b=-；.

4

【点睛】本题主要考杳一元一次不等式定义、解一元一次不等式、解一元一次方程的能力，

熟练掌握不等式定义和解不等式是关键.

【考点2不等式的基本性质运用】

【例2】（2022•山西吕梁•七年级期末）三个非零实数a,。,c,满足aVbVc,则下列不等式

一定正确的是（）

A.a+c<b+cB.a-b>c-bC.be>c2D.a+c>b

【答案】A

【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答.

【详解】解：A、团a<b,

团a+cVb+c,故A符合题意：

B、Ba<c,

加-〃<c-b,故B不符合题意；

C、勖Vc,

助c>/（c<0）,故C不符合题意；

D、0O<«</?<c,

加+c>4故D不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考杳不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

【变式2-1］（2022•湖南衡阳•七年级期末）下列不等式的变形正确的是（）

A.若Q<8，则ac<beB.若%>y,则土>上

mm

C.若Q>b,则de?>b/D.若ac2>be2,则a>b

【答案】D

【分析】根据不等式的基本性质，每个选项判断即可得出答案.

【详解】A.若avb,当c>0时，则ac<bc,故选项错误，不符合题意；

B.若％,y,当〃?>0时，则土>故选项错误，不符合题意；

mm

C.若a>b,当c2>0时，则此2>儿2,故选项错误，不符合题意；

D.若a/>be?,则a>b,选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】此题考查了不等式基本性质，解题的关键是熟记并会用不等式基本性质.注意：基

本性质1.不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变.基本性质2.不等

式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变.基本性质3.不等式两边同时乘以

或除以同一个负数，不等号的方向改变.

【变式2-2］（2022•浙江温州•九年级阶段练习）若团表示不超过工的最大整数，如［3.14］=3,

［-3.14］=-4.已知⑷=3,固=-2,©=-1,则d2Hd可以取到的值的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】先根据题目的定义，求得〃、b、c的取值范围，再得出的取值范围，从而

得出［a-2Hc］可能的取值.

【详解】解:团［旬=3,仿b-2,©=-1,

03<«<4,-2<b<-lBP2<-2/?<4,-l<c<0,

04<t7-2Z?+c<8,

贝IJ［a-2/He］=5,6,7.

故选：B.

【点睛】此题考查了不等式性质，解决本题的关键在于判断八Ac的取值范围.

【变式2-3］（2022•河南郑州•七年级期末）如图所示，A,B,

根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为（）

ABCD

△

D.B<C<D<A

【答案】C

【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：

A>8①，

B+D>A+C@,

/+B=C+O③，

由③得：

B=C+D-A@,

把④代入②得：

C+D—4+0>/l+C,

2D>2A,

D>A,

D-4>0,

由③得：

D—A=B—Cf

vD-/I>0,

B-C>0,

B>C,

D>A>B>C,

即CVB<4<D,

故选：C.

【点睛】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键.

【考点3求含参的不等式的解集】

【例3】（2022•江苏•七年级专题练习）已知关于X的不等式（2。一8万+。—5匕>0的解集

为x若,则关于力的不等式奴〉匕一。的解集为（）

A.x<-3B.%>-5C.%<—1D.x>-

J5

【答案】C

【分析】先根据题意得：5=|。旦2。一匕<0,可得QV0,即可求解.

【详解】解:0（2a-b）x+a-5b>O,

团（2a—b）x+>5b—a,

团关于久的不等式（2Q-h）x+a-5b>0的解集为“<y,

唠卷=y，且2Q-bV0,

035/?-7a=20a-10b,解得：b=1a,

团2。-bV0,

02a一V0,

团Q<0,

0ax>b-a,

32

0ax>-a-a,UPax>~sa，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解集的定义，解不等式，不等式的性质，熟练掌

握一元一次不等式的解集的定义，解不等式的基本步骤是解题的关键.

【变式3-1］（2022•江苏南京•七年级期末）关于x的不等式ax+b>c的解集为*3,则关

于x的不等式Q（X—2）+力,c的解集为（）

A.x<3B.x>3C.x<5D.x<1

【答案】C

【分析】根据第一个不等式的解集，得出有关a,b,。的代数式的值，从而求出答案.

【详解】解：因为不等式的解集为XV3,

所以且c-方=3”，

a（x-2）+/7〉c可化为：不<空£心.

a

-T-Za+c-b2Q+3a-

而-----=-----

aa=5.

取<5.

故选：C.

【点睛】本题考查了不等式的解法.根据不等式的性质解不等式是解题的关键.

【变式3-2］（2022・广东•深圳市龙岗区智民实验学校八弟级阶段练习）若不等式（2a—b）x+

3a~4b<0的解集是工>£则不等式（〃-4m+2々-3〃>0的解集是.

【答案】x>一看

【分析】根据（2小人）.计3〃-46<0的解集是可以得到。与人的关系以及b的正负，从

4

而可以得到所求不等式的解集.

【详解】解：0（2a-b）x+3a-4〃V0的解集为

4

0网Y=2且2a-b<0,

2a-b4

解得，用能，且

则bVO,

□（a-4b）x+2a-3b>0,

解得，工>得,

故答案为：X>磊.

【点睛】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，利

用不等式的性质解答.

【变式3-3］（2022・江西•铅山县教育局教学研究室七年级期末）若关于x的不等式〃?

>0的解集是xV；,则关于x的不等式（〃?+〃）xV〃-机的解集是（）

«5

A.x<--B.x>-C.-D.x<-

2222

【答案】c

【分析】先根据第一个不等式的解集求出mvo、〃<0,〃?=3〃，再代入第二个不等式，求出

不等式的解集即可.

【详解】解：曲心〃>0,

0/?tr>n,

团关于x的不等式mx-n>0的解集是,v<1»

MVO,—=^,

TH3

0/77=3/?,n<0,

回〃-〃?=-2〃，〃汁〃=4"，

团关于x的不等式（〃?+〃）XV〃加的解集是4〉」，

故选：C.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，能根据不等式的性质确定〃7、〃的数量关系和正负

性是解此题的关键.

【考点4解不等式（组）】

【例4】（2022•山东威海七年级期末）下面是两位同学对同一个不等式求解过程的对话：

小明：在求解的过程中要改变不等号的方向：

小强：求得不等式的最小整数解为%=-9.

根据上述对话信息，可知他们讨论的不等式是（

2X-7、dc2X-7/,y

AA.—>X+11B.—<x+l

2X-7

<X+1

【答案】D

【分析】分别解不等式求出其最小整数解，即可求出正确答案.

【详解】解：解不等式等zx+i得：%<-10；没有最小整数解，故A选项不符合题意;

解不等式等WX+1得：%>-10；最小整数解为％=故B选项不符合题意；

解不等式售1>%+1得：％<一10；没有最小整数解，故C选项不符合题意；

解不等式等<%+1得：x>-10：最小整数解为乃=-9,故D选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查解不等式，以及不等式的整数解，解题的关键是求出各不等式的解集，找

出其中的最小整数解.

【变式4-1］（2022•宁夏•中宁县第三中学八年级期中）解不等式（组）并把它的解集在数

轴上表示出来.

(2x-3(%-2)>4

⑵1-x+3>l--x

33

【答案】⑴乃之一2

(2)-l<x<2

【分析】（1）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1,可求出不等式的解集,

最后将解集表示在数轴上即可；

（2）先分别求出两个不等式的解，再求它们公共部的解即为不等式组的解集.

（1）

去分母，2（2x-l）-（9x+2）<6

去括号得，4x-2-9%-2<6

移项得，4x-9%<6+2+2

合并同类项，-5x工10

系数化为1得，x>-2

团不等式的解为：％N-2

.5-4-3-2-1012345

(2)

—3(、-2)24①

解：1枭+3>1-1②

化简不等式①得，2%-3%+6>4

解得，%<2

化简不等式②得，4%+9>3-2x

解得，x>-1,

团不等式组的解集为：-IV%W2.

.5-4-3-2-1012345

【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式（组），解题关键是熟练掌握解一元一次不等式

（组）的方法步骤.

【变式4-2］（2022•河北•武邑武罗学校七年级期末）已知题目：解关于x的不等式组

（5x+2<3x-5t其中，1，，内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解,

I5-%<□

则“口〃处不可以是（）

a17c15cccc

A-TB-Tc-8D-9

【答案】D

【分析】设处是。，根据题意可得：［5xt2-3%然后按照解一元一次不等式

5-x<a@

组的步骤,进行计算即可解答.

【详解】解：设“口”处是G,

由题意得：

(5x+2<3x-50

(5—%<Q②

解不等式①得：x<-3.5,

解不等式②得：x>5-a,

团不等式组无解，

(35—cz>—3.5,

0a<8.5,

团"口"处不可以是9,

故选：D.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键.

【变式4-3](2022•全国•八年级课时练习)设X为一切数，[幻表示不大于x的最大整数，团

又表示数x的整数部分.解方程％-2[灯=£

【答案】x=-2,5

【分析】先将方程变形为x=2肉+：,跟后根据旧的定义，建立不等式组求解•.

【详解】解：0x-2[x]=%

0x=2[x]+1

・••[刘表示不大于x的最大整数，[幻又表示数x的整数部分.

[x]<x<[x]+1,即[幻<2[x]+：V[幻+1,

解得一:工凶<一|,

二[%]二-3

7

,x=2x(-3)+-=-2.5

乙

【点睛】本题考方程与不等式组，理解区的定义，建立不等式组是解题的关键.

【考点5方程(组)与不等式的综合运用】

(3x+2y=—a—1

【例5】(2022•安徽安庆•七年级期末)已知关于工、y的二元一次方程组x-2-y=«-上!-5-

的解满足.aV，则a的取值范围是()

A.B.-C.D.-3

a>~—84a<>-2-

【答案】A

【分析】先解二元一次方程组，再根据.仑)，列出关于〃的不等式，解之即可.

3%4-2y=-a—1(1)

【详解】解：2S/、

x--y=a+-(2)

①-（2）x3得：4y=-a-1-3。-5,

解得：y=・a哼

把y=-a-三代入②得：x--(-4-2)=«+-,

2323

整理得：戈+全+1=。+|,

解得：x=^/+|»

固邺，

^+->-6/-即匕2■土

33236

解得：

故选:A.

【点睛】本题考查利用二元一次方程组的解求参数的值，解一元一次不等式，解题关键是求

出用含字母。的式子表示方程组的解.

【变式5-1](2022•河南驻马店•七年级期末)如果关于x的方程等="吆的解是非负数.那

么。与〃的关系是.

【答案】5a>3b

【分析】根据题意，先解关于无的方程，再根据题意列出一元一次不等式，进而求得Q的范

围.

【详解】卓=胃，

去分母得：5(2%+a)=3(4%+b),

去括号得：10x4-5a=12x+3b,

•••关于%的方程等=等的解不是负数,

05a>3bt

故答案为：5a>3b.

【点睛】本题考查了解•元•次方程，-元一次不等式的应用，根据题意求得方程的解是解

题的关键.

[变式5-21(2022•广西崇左•七年级期中)已知关于x,)，的二元一次方程组。

的解满足％-y>0,则。的取值范围是.

【答案】Q<2

【分析】先根据二元一次方程组的解法求出方程组的解，再结合方程组的解满足x-y>0,

列出不等式求解.

【详解】解：在俨72y=9芦①中,

(2x-y=7@

由②得y=2x-7,

把y=2x—7代入①得%=5+a,

把％=5+Q代入②得y=34-2a,

回方程组的解是二端;

团方程组的解满足x-y>0.

团5+a—(3+2a)>0»

0a<2.

故答案为：a<2.

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式的解法，理解二元一次方

程组的解法是解答关键.

【变式5-3](2022・河南周口•七年级期末)已知关于x,y的二元一次方程组

的解满足%>y,且关于x的不等式组｛女无解，那么所有符合条件的整数。的个

数为.

【答案】7

【分析】先求出方程组的解，再根据得出关于。的不等式，求出。的范围，再求出不

等式组中每个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于〃的不等式，求出不等式的解集，

再求出整数。，最后求出答案即可.

【详解】解：解方程组，[二二：二得：『=2。+1,

k2x+y=5a[y=a-2

^x>y,

由24+1>4-2,

解得：〃>-3,

2x+1<2a①

,2x-1>6@'

解不等式①，得xV。2，

解不等式②，得

团关于X的不等式组｛女无解，

22

解得：a“，

0-3<«<4,

加为整数，

加可以为-2,-1,0,1,2,3,4,

团所有符合条件的整数"的个数为7,

故答案为：7.

【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，二元一•次方程组的解，解一

元一次不等式等知识点，能得出a的范围-3Va“是解此题的关键.

【考点6不等式（组）中的新定义运算】

【例6】（2022•江苏南通•七年级期中）定义：国表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]=2,

[1]=1,[-1.21]=-2.以下结论：①当-14V1时，口+小口-4]的值是1；（2）[a-l]=[a]

-1:③。-1<同4；。工=-[是方程版-2口]+1=0的唯一解，其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】①分三种情况：-4<x<0,x=0,0<x<l；进行讨论即可求解；②③根据定义

即可求解，④先求得团的值，确定x的整数部分和小数部分，分两种情况可得国的值，代

入方程可得方程的解.

【详解】解：①当一1v%vo时，[1+%]—[1一%]=0-1=-1：

当％=0时，[1+x]-[1-x]=1-1=0；

当OVxVl时，[1+•一[1一出=1-0=1：

故当-1V%V1时，口+划一[1一制的值为±1或O

故①错误；

②设[a]=九，则=

[a-1]=[a]-1,故②正确；

③根据定义可知，。的整数部分为[a],小数部分为a-m],

则OWQ-⑷VI,

解得a-l<[a]^a,正确;

（4）3A-2[.r]+l=0,

贝m=笥1,

取的整数部分为右，小数部分为0Wx-竽<1,

解得—3<%<—1,

当一3<%工一2时，[x]=-3,

•••3%-2x（-3）+1=0,

解得％=-（,

当一2Vxv-1时，[上|=一2,

3x—2x（—2）+1=0,

解得“=一£

J

:♦x=一（或x=一g是方程3A--2[A]+1=O的解，

故④不正确，

故正确的有②③.

故选B.

【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，一元一次不等式，理解定义是解题的关

键.

【变式6”】（2022•河北保定•七年级期末）定义新运算“胪：对于任意实数〃，〃都有QAb=

ab-a-b+2.

（1）若3Ax的值不大于3,则%的取值范围是；

（2）若（-27八）△5的值大于3且小于9,则/〃的整数值是.

【答案】x<2-1

【分析】（1）先根据题意列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可；

（2）先根据题意列出关于加的不等组，求出山的取值范围，再取整数值即可.

【详解】解回（1）歌寸于任意实数a,b都有a^h=ab-a-h+2,

03ELr=3x-3-.v+2=2.v-l,

回3△%的值不大于3,

02%-1<3,

解得xW2；

（2）回对于任意实数〃都有a△b=ab-a—b+2,

0（-2m）△5=-10?n+2m—5+2=-8m—3,

0（-2m）△5的值大于3且小于9,

-8m-3>3①

-8m-3<9②'

由①得，m<-l由②得

42

一；，

回〃?为整数，

故答案为：x<2；-1.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式及不等式组，熟知解不等式组时，“同大取大；同小

取小；大小小大中间找；大大小小找不到〃的法则是解答此题的关键.

【变式6-2]（2022・湖北武汉•七年级期末）对x、y定义一种新运算7,规定：7（工，），）二普

(其中》均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：no,i)=嘿竽=〃

/XU+1

(T(2m,5-4m)W4“

已知7(1,-1)=-2,7(4,2)=1,若关于机的不等式组•fxX

、T(m,3-2m)>P口

好有3个整数解，则实数尸的取值范围是,

【答案】-2WP〈一；

【分析】根据已知得出关于。、〃的方程组，求出。、〃的值，代入求出不等式组的每个不等

式的解集，根据已知即可得出产的范围.

【详解】解：0T(1,-1)=-2,7(4,2)=1,

ab

⑸121—~■~—-=—-2o,-4-a+-2-匕=_1,

2+(-1)2X4+2

解得:4=1,解3,

2m+3(5—4m)

解得加之一支

7(他,3-2旬=甯潦>P,解得m<三三,

T(2m,5—4m)v4

团关于m的不等式组恰好有3个整数解,

T(m,3-2m)>P

9—3P

回2<仔W3,

0-2<P<

故答案为：-2WPV.

【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次不等式组，解二元一次方程组的应用，能求出

。、〃的值是解此题的关键.

【变式6-3](2022•吉林•七年级期末)对■于x、y定义一种新运算"团"：x^y=ax-by,其

中a、b为常数，等式右边是通常的乘法和减法的运算.已知：2团1=3,403=1.

⑴求a、b的值;

(2)求5例(-3)的值;

⑶不等式『国千145的解集是

【答案】⑴Q=4,b=5

(2)35

(3)m>-1

一£=我，然后利用加减消元法解二元一次方程组，进

【分析】(1)根据题意得:

(4a-3b=1②

行计算即可解答;

(2)利用(1)的结论，进行计算即可解答;

(3)利用(1)的结论可得上竽1一孑一45,然后按照解一元一次不等式的步骤，进

行计算即可解答.

(1)

解；由题意得：

2a—b=3①

4a-3b=10'

①X2得：

4a-2b=6③，

③-②得：

b=5,

把匕=5代入①中得：

2Q-5=3,

解得：Q=4,

二原方程组的解为：

3=5

•••Q=4,b=5；

(2)

解：50(-3)=5a+3b=5x4+3x5=35,

50(-3)的值为35；

(3)

4Cm+l)5(m-1)“「

•••--------L-,

•••8(m+1)-15(m-1)<30,

:.Qm+8-15m+15W30,

•a•8m_15TM<30—8—15,

•••—7m<7,

•••m.>—1,

故答案为：〃应—1.

【点睛】本题考查了新定义，解一元一次不等式，解二元一次方程组，准确熟练地进行计算

是解题的关键.

【考点7根据不等式的整数解个数求参数取值范围】

【例7】(2022•湖北武汉,七年级期末)已知关于x的不等式你以一。+6>0只有两个正整

数解，则实数a的取值范围是()

A.a<-3B.—6<a<-3C.—6<ct<_3D.a>—6

【答案】B

【分析】先求出关于X的一元一次不等式的解集，根据整数解的个数确定〃的取值范围.

【详解】解：关于x的不等式”-〃+6>0只有两个正整数解，

0«<0,

团不等式的解集为xV中，

又国关于x的不等式以->6>0只有两个正整数解，

02<^<3,

解得-6<c&3,

故选：B.

【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解，掌握一元一次不等式的解法以及整数解定义是

正确解答的关键.

【变式7-1］（2022•山东泰安•一模）若关于x的不等式4x+〃立0有且仅有两个负整数解，则

机的取值范围是（）

A.8<w<12B.8</«<12C.8</??<12D.8</n<12

【答案】D

【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定〃?的取值范围.

【详解】解：04X+M3O,

既〉*，

团不等式41+〃应0有H仅有两个负整数解，

团-3<-工-2,

08<m<12,

故选：D

【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，根据不等式的基本性质求出x的取值范

围，再由x的负整数解列出关于参数的不等式组是解决本题的关键.

【变式7-2］（2022•重庆十八中七年级期中）关于x的不等式2%+aW1只有3个正整数解,

则。的取值范围为（）

A.-7Va<-5B.—7<QW—5C.-7WaV—5D.-7WQW—5

【答案】B

【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有三个正整数解即可得到一个

关于［的不等式，求得。的值.

【详解】解：解不等式

不等式有三个正整数解，一定是1、2、3,

根据题意得：34早<4,

解得：-7Va4-5,

故选:B.

【点睛】本题考查了不等式的整数解，解题的关键是正确解不等式，求出解集.

【变式7-3］（2022•湖南•长沙市中雅培粹学校八年级开学考试）已知关于工的不等式2%+mWl

只有2个正整数解，则加的取值范围是（）

A.-5<m<-3B.-5<m<-3C.-5<m<-3D.-5<m<-3

【答案】B

【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有两个正整数解即可得到一个

关于m的不等式，求得m的值.

【详解】解：解不等式2x+mWl得：x<^,

回不等式有两个正整数解，

团两个正整数解一定是1和2,

根据题意得：24殍V3,

解得：-5Vm±3.

故选B.

【点睛】本题主要考查一元•次不等式的整数解，根据不等式的整数解得出关于m的不等式

组是解题的关键.

【考点8根据不等式组的整数解个数求参数取值范围】

【例8】（2022•江苏南通二模）己知关于x的不等式组二1的解集中至少有5个整

数解，则整数〃的最小值为（）

A.2B.3C,4D.5

【答案】C

【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组的整数解的个数从而确定

a的范围，进而求得整数。最小值.

【详解】解：［；一；〈曜，

12%+3>0@

解①得％<a,

解②得x>—|.

则不等式组的解集是一|<%<a.

团解集中至少有5个整数解

圆整数解为：-1,04,2,3-

团a>3.

整数”的最小值是4.

故选C.

【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，确定。的范围是本题的关键.

【变式8-1】（2022•湖南衡阳•七年级期末）若关于x的不等式组只有㈠

个整数解，则机的取值范围是.

【答案】—：

L6

【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再由不等式组的整数解的个数得出关于，〃的不

等式组，解之即可.

【详解】解：解不等式ZX+1V3,得：x<l,

解不等式6（x-〃?）23+4%,得：立哼匕

团不等式组只有3个整数解，

解得一；<m<—

Z6

故答案为：一3〈血工一;.

26

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知“同

大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到〃的原则是解答此题的关键.

【变式8-2】（2022•陕西榆林•八年级期末）已知关于x的不等式组的整数解是

-2,-1,0,1,2,3,4,若m,n为整数，则m+n的值是（）

A.3B.4C.5或6D.6或7

【答案】C

【分析】先解出不等式组，然后根据不等式组的整数解确定〃?，〃的取值范围，再根据，小

〃都为整数，即可确定〃?，〃的值，代入计算即可.

【详解】解不等式之一6>0,

得”>m

解不等式2X-九40,

得x<

回不等式组的解集为：m<x<\n

又团不等式组的整数解是一2,-1,0,1,2,3,4,

3<m<-2

4<|n<5'

又r加n.〃为整数.

0m=-3,n=8或m=-3,n=9,

0m+n=5或m4-n=6

故选择：C

【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟

知“同大取大：同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

【变式8-3］（2022•四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）若关于x的不等式

组巴士公?恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（）

A.5<«<6B.5<a<6C.5<d<6D.5<d<6

【答案】B

【分析】首先求解不等式组，结合题意，根据不等式的性质分析，即可得到答案.

【详解】［2X+3-JJ®

不等式①，移项并合并同类项，得：2x>8

0x>4

不等式②，移项得：x<a

回关于x的不等式组｛2：）：*£有解

04<x<a

当5<a<6时，得％=4或1=5,即不等式组｛2：）；］卜恰有2个整数解

05<«<6

故选：B.

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的

性质，从而完成求解.

【考点9根据不等式的整数解求参数范围】

【例9】（2022・福建•晋江市第一中学七年级期中）若不等式5%-上工0的正整数解是1、2、

3,则々的取值范围是.

【答案】154V20

【分析】首先解关于x的不等式，根据正整数解即可确定k的范围.

【详解】解：由不等式5rK0,得：X.

同不等式的正整数解是1、2、3,

03<-<4,

5

解得:154V20,

故答案为：15«<20.

【点睛】本题考查了•元一次不等式组的整数解,正确解出不等式组的解集.确定k的范围.

是解答本题的关键.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大

大小中间找，大大小小解不了.

【变式9-1]（2022・江苏•如东县实验中学七年级阶段练习）若x=3是关于x的不等式2%-

4的一个整数解，而x=2不是其整数解，则机的取值范围为.

【答案】0工mV2##2>m>0

【分析】先解一元一次不等式可得公>等，再根据工=2不是不等式2丫■加>4的整数解，

可得，论0,然后根据x=3是关于x的不等式的一个整数解，可得“<2,最后进

行计算即可解答.

【详解】解：2x-w>4,

2A>〃?+4,

、m+4

X>---,

2

取=2不是不等式2x-/H>4的整数解，

畔2,

以=3是关于x的不等式2,v-/?z>4的一个整数解，

06・〃？>4，

团〃?V2,

0O</n<2,

故答案为：0<m<2.

【点睹】本撅考杳了一•元一次不等式的整数解，准确熟练地讲行计算是解题的关键.

【变式9-2]（2022•河南•南阳市第三中学七年级阶段练习）若实数3是不等式"-Q-2<0

的一个解，则a可取的最小正整数为

【答案】5

【分析】根据实数3是不等式2x-a-2V0的一个解，可以求得。的取值范围，从而可以求

得a可取的最小正整数.

【详解】解：由不等式2A・a・2V0,得xV等，

团实数3是不等式2x-a-2<0的一个解，

>3,得a>4,

加可取的最小正整数为5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查一元一次不等式的整数解.，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方

法.

【变式9-3]（2022•海南鑫源高级中学七年级期中）已知有关x的方程中二1-二的解也

/D

是不等式2.r-3«<5的一个解，求满足条件的整数a的最小值.

【答案】0

【分析】首先解方程求得x的值，把x的值代入不等式中，得关于。的不等式，解不等式即

可求得满足条件的整数a的最小值.

【详解】原方程可化为：5(%4-1)=10-2(x-1),

即lx=7,

解得：x=l,

把x=l代入2A—3«<5中，得2—3。<5,

解不等式得：a>-l,

所以整数。的最小值为0.

【点睛】本题是一元一次方程与一元一次不等式的综合，考查了解一元一次方程及解一元一

次不等式、求•元一次不等式的整数解，正确解•元•次方程及•元一次不等式是解题的关

键.

[考点10根据实际问题列不等式(组)】

10](2022・全国•七年级)七年级某班部分学生植树，若每人平均植树8棵，还剩7棵;

若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而小于6棵.若设学生人数为x人，则

植树棵树为(8x+7)人，则下面给出的不等式(组)中，能准确求出学生人数与种植树木数量的

是()

A.8x+7<6+9(x-l)B.8x+7>3+9(x-l)

(8x+7<6+9(x-1)f8x+7<6+9(x-1)

C，i.8x+7>3+9(x-1)D，l8x+7>3+9(x-1)

【答案】C

【分析】由于设学生人数为x人，则植树棵树为(8x+7)人，若每人植树9棵，则有一名学

生植树的棵树多于3棵而<6棵，那么可以得到8X+7V6+9(x-1)和8x+7>3+9(x-1),由

它们组成不等式组即可求出学生人数与种植树木数量.

【详解】13设学生人数为x人，则植树棵树为(8x+7)人，

而若每人植树9棵，则有一名学生植树的棵树多于3棵而V6棵，

团依题意得h+7>3+9Q—I]

故选C.

【点睛】考查了不等式组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出不等式

组.弄清如何用x分别表示学生人数与种植树木数量，并且根据题意列出不等式组解决问题.

【变式10-1】(2022・河南•郑州经开区外国语女子中学八年级期末)一次学校智力竞赛中共

有20道题，规定答对一题得5分，答错或不答一道题扣2分，得分为75分以上可以获得奖品，

小锋在本次竞赛中获得了奖品.假设小锋答对了x题，1根据题意列出不等式()

A.5x+2(20-x)>75B.5x+2(20-x)>75

C.5x—2(20—x)>75D.5x—2(20—x)>75

【答案】D

【分析】设小明答对了x道题，则他答错或不答的共有(25-幻道题，根据不等关系式得分

>75,列出不等式即可.

【详解】解：设小明答对了力道题，则他答错或不答的共有(25-％)道题，由题意得：

5x-2X(20-x)>75,故D正确.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了不等式的应用，根据题意找出不等关系，是解题的关键.

【变式10-2](2022・浙江•八年级单元测试)把一些书分给同学，设每个同学分.1本.若—；

若分给11个同学，则书有剩余.可列不等式8Q+6)>llx,则横线的信息可以是()

A.分给8个同学，则剩余6本

B.分给6个同学，则剩余8本

C.如果分给8个同学，则每人可多分6本

D.如果分给6个同学，则每人可多分8本

【答案】C

【分析】根据代数式8G+6)的意义，结合题意，根据不等式表示的意义解答即可.

【详解】解：设每个同学分x本，8(X+6)的意义为如果分给8个同学，则每人可多分6本,

由不等式8(.r+6)>11乂可得：把一些书分给几名同学，如果分给8个同学，则每人可多分

6本；若每人分11本，则有剩余.

故选C.

【点睛】本题考查根据实际问题列不等式,，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，

找到所求的量的不等关系.

【变式10-3】(2022♦全国•八年级单元测试)某企业次定购买4B两种型号的污水处理设备

共8台，具体情况如下表：

4型B型

价格(万无/台)1210

月污水处理能力(吨/月)200160

经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低1380吨，该企业有哪

些购买方案呢？这解决这个问题，高购买力型污水处理设备工台，所列不等式组正确的是(

)

12x+10(8-x)<8912x+10(8=x)>89

A•^200x+160(8-%)>1380B,^200x4-160(8-%)<1380

12x+10(8-x)>8912*+10(8-%)489

U^200%+160(8-x)>1380D，^200x+160(8-x)<1380

【答案】A

【分析】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号(8-x)台，根据企业最多支出89

万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方

案即可.

【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号(8-x)台，根据题意