中考最值新趋势求一条线段的最大值

中考最值新趋势：求一条线段的最大值

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中考数学中的最值问题，通常考察线段之和的最小值。关于最小值的讨论已经很

多，有许多模型和方法供大家使用，大家运用的也比较熟练。但是，2019年黄

冈中考数学中出现了一道求一条线段最大值的填空题，难住了很多学生。许多学

生没有见过此类题型，所以无从下手。今天，借此机会，和大家探讨一下，一条

线段最大值问题的知识基础和解题方法。也许这是以后中考最值问题考查的新趋

势。

一条线段的最大值，和若干线段之和的最小值，就是一个硬币的正反面，它们的

理论依据都是两点之间，线段最短。

两点之间线段最短

1、若干线段之和的最小值。

定点A、B,动点C、D,求AC+CD+BD的最小值。当且仅当A,B,C,D共线时,

AC+CD+BD的值最小，最小为ABO

2、一条线段的最大值。

动点A,B,C,D,缓殳AC,CD,DB定长，求AB的最大值。当且仅当A,B,

C,D共线时，AB的值最大，最大为AC+CD+BD。

从上分析可以看出，求一条线段的最大值，关键是找出该线段两个端点间首尾相

连的定长线段。

那么在图形中众多的线段中，如何去找这些定长线段呢？我做了一些总结：

1、直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半。

2、正方形中，一个顶点和一边中点的连线；或对角线交点与顶点（一边中点）

的连线。

3、圆的半径或直径。

4、等边三角形的中线，或等腰三角形底边上的中线。

常见的定长

通常情况下，线段的最大值就是这些定长的组合。

1、正方和形直角三角形组合

如图，正方形ABCD,直角三角形AED,AB是定值，求E0的最大值；求EB的

最大值。该题的解法就是作AD的中点，算出定长EF,F0,BF。E0最大=EF+OF；

BE最大=EF+BFc

2、直角三角形和等边三角形组合

如图，等边三角形ABC,AB是定值，A在Y轴正半轴上运动，B在X轴正半轴

上运动，求0C的最大值。该题解法，作AB的中点D,算出定长0D,CD。0C

最大=OD+CD。

3、圆和百角三角形

AB

如图，圆0,半径是定值，直角三角形OAB,斜边AB是定值，C是BD的中点,

求AC的最大值。该题解法，作0B的中点，算出AE,根据中位线性质，算出

CE,AB最大=AE+CE。

当然，有些时候，为了加大难度，定长和所求线段没有首尾相连，或虽然首尾相

连，但不可能共线，这就需要我们通过某种方式进行转换，把定长和所求线段首

尾相连。通常情况下，有两种情况，一种是把所求线段进行转换，使之与定长线

段首尾相连；另一路是把定长线段进行转换，使之与所求线段首尾相连。

1、转换所求线段，使之与定长线段首尾相连。

如图,三角形ABC中，AB,AC是定值，三角形BCD是等边三角形，求AD的最

大值。两个定长线段AB和AC,与所求线段不首尾相连，所以通过绕D点旋转

三角形ACD60度，可得AC=EB,三角形ADE是等边三角形，AE=ADOAE最大

=AB+BE=AB+ACO

2、转换定长线段，构造可共线的首尾相连定长线段。

2019年黄冈中考数学试题第16题就是这样。

AC、AB、BD定长，M是AB中点，角CMD是120度，求CD的最大值。

难度在于，虽然CA,AB,BD,首尾相连，但这三条线段不可能共线。所以做A

点关于CM的对称点A,B点关于DE的对称点B',AC=AC,,BD=B,D,而根据M

是A