2027届高考数学一轮复习2.6对数与对数函数（课件）

第六讲对数与对数函数知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一对数与对数运算1．对数的概念(1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作_____________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数．x＝logaNaN(2)几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0，且a≠1)___________常用对数底数为_______________自然对数底数为_____________logaN10lgNelnN2．对数的性质与运算法则(1)对数的性质①loga1＝______；②logaa＝______(其中a>0且a≠1)；③logaab＝______(a>0且a≠1，b∈R)．(2)对数恒等式01bN(3)对数的换底公式logbN＝_________(a，b均大于零且不等于1，N>0)．(4)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝__________________；③logaMn＝___________(n∈R)．logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM知识点二对数函数的图象与性质1．对数函数的定义、图象和性质定义函数______________________________叫做对数函数图象a＞10＜a＜1y＝logax(a＞0，且a≠1)性质定义域：_____________值域：_______________当x＝1时，y＝0，即过定点___________当0＜x＜1时，y<0；当x＞1时，________当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，________在(0，＋∞)上为__________在(0，＋∞)上为__________(0，＋∞)(－∞，＋∞)(1，0)y＞0y＜0增函数减函数2．反函数指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数_______________(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线__________对称．y＝logaxy＝x归

纳

拓

展1．换底公式的两个重要结论其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R且m≠0.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(

)(2)log2x2＝2log2x.(

)(3)2lg3≠3lg2.(

)(4)函数y＝ln(1－x2)与y＝ln(x＋1)＋ln(1－x)是同一函数．(

)[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√[解析]

(3)设2lg3＝M，3lg2＝N，则lgM＝lg2lg3＝lg3lg2＝lg3lg2＝lgN，∴M＝N.题组二走进教材2．(多选题)(必修1习题4.3T2改编)下列各式正确的是(

)[答案]

BD3．(必修1习题4.3T3改编)写出下列各式的值：(4)(log29)·(log34)＝________.4．(必修1习题4.3第2(1)题变式)在b＝log3a－1(4－a2)中，实数a的取值范围是(

)[答案]

B[答案]

646．(2025·四川宜宾)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递减区间是(

)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[答案]

A[解析]

由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞,－2)∪(4,＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(－∞，－2)上单调递减，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递减区间是(－∞，－2)，选A．考点突破·互动探究对数与对数运算——自主练透1．(多选题)(2026·焦作模拟)下列等式成立的是(

)D．(lg2)2＋lg2·lg5＋lg5＝2[答案]

AC2．(2026·郑州模拟)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(

)A．25 B．5[答案]

C3．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1815＝________.名师点拨：1．利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两种方法：(1)“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和；(2)“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数．2．利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的底数.对数函数的图象与性质考向1对数函数的图象及其应用——师生共研(2025·潍坊模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(

)[答案]

A名师点拨：应用对数型函数的图象可求解的问题1．对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【变式训练】(多选题)(2026·青岛调研)已知ax＝b－x，函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是(

)[答案]

AB考向2对数函数的性质及其应用——多维探究角度1比较对数值的大小1．(2026·湖南长沙部分学校月考)设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则(

)A．a>c>b B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b[答案]

D2．(多选题)若实数a，b，c满足loga2<logb2<logc2，则下列关系中可能成立的是(

)A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b[答案]

BCD[解析]

由loga2<logb2<logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1<c<b<a；②0<a<1<c<b；③0<b<a<1<c；④0<c<b<a<1.作出函数的图象(如图所示)．由图象可知B，C，D可能成立．角度2解对数不等式已知log2a(4a2＋1)<log2a(4a)<0，则(

)[答案]

B角度3对数性质的综合应用(2026·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(

)[答案]

D名师点拨：1．比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.2．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤【变式训练】1．(角度1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(

)A．a>b>c B．b>c>aC．a>c>b D．c>b>a[答案]

A[解析]

a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.3．(角度3)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a>0且a≠1)，若f(x)>1在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是________.名师讲坛·素养提升有关对数运算的创新应用问题[答案]

D[解析]

令北极星与牛郎星的亮度分别为I1，I2，名师点拨：在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力．【变式训练】(2026·北京四中检测)点声源亦称“球面声源”或“简单声源”．已知点声源在空间中传播时，衰减量ΔL(单位：dB)与传播距离r(单位：m)的关系式为ΔL＝10·lg(πr2)＋k，其中k为常数．当传播距离为r1时，衰减量为ΔL1；当传播距离为r2时，衰减量为ΔL2.若r2＝2r1，则ΔL2－ΔL1约为(参考数据：lg2≈0.3)(

)A．6dB

B．4dB

C．3dB

D．2dB[答案]

A提能训练练案[11]A组基础巩固一、单选题1．(2026·北京大兴三模)已知2a＝3，log25＝b，则2a－b的值为(

)[答案]

C[答案]

CA．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)[答案]

DA．0.030 B．0.031C．0.032 D．0.033[答案]

B5．已知函数f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)，则(

)A．f(x)有最小值，且最小值为－2B．f(x)有最小值，且最小值为－1C．f(x)有最大值，且最大值为－2D．f(x)有最大值，且最大值为－1[答案]

D[解析]

f(x)＝log0.5(x4－4x2＋6)＝log0.5[(x2－2)2＋2]≤log0.52＝－1，所以f(x)有最大值，且最大值为－1，但无最小值．6．(2026·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝loga(－x＋1)的部分图象大致为(

)[答案]

D[解析]

由函数y＝ax的图象可判断出a>1.当a>1时，y＝logax的图象经过定点(1，0)，且为增函数，因为y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，所以y＝loga(－x)的图象经过定点(－1，0)，为减函数．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的图象向右平移1个单位长度得到的．所以f(x)＝loga(－x＋1)的图象经过定点(0，0)，为减函数．7．(2025·甘肃白银三模)若a＝log53，b＝log5018，c＝lg6，则(

)A．b<c<a B．a<c<bC．c<a<b D．a<b<c[答案]

D8．(2026·湖南长沙高三阶段练习)若函数f(x)＝ln|ex－1|＋mx为偶函数，则实数m＝(

)[答案]

D二、多选题9．已知0<a<b<1，下列不等式成立的是(

)[答案]

ACA．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限[答案]

ABA．f(x)是奇函数B．f(x)≥0C．f(x)在(－2，2)上单调递减D．f(x)在(2，＋∞)上单调递增[答案]

ACD[答案]

413．(2025·安徽滁州一模)已知函数f(x)＝loga(3x＋4)＋2x恒过定点(m，n)，则m＋n＝________.[答案]

－3[解析]

令3x＋4＝1,则x＝－1,又f(－1)＝－2，所以f(x)过定点(－1,－2)，即m＝－1，n＝－2，所以m＋n＝－3.14．(2026·江西宜春一模)已知函数f(x)＝log2(x2－2ax)在[2，4]上的最小值是1，则a＝________.四、解答题15．(2026·上海崇明二模)已知f(x)＝log3(x＋a)＋log3(6－x)．(1)是否存在实数a，使得函数y＝f(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；(2)若a>－3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6－x)．[解析]

(1)存在实数a＝6，使得函数y＝f(x)是偶函数．要使函数f(x)＝log3(x＋a)＋log3(6－x)有意义，显然－a<6，即a>－6，函数y＝f(x)的定义域D＝(－a，6)．当a≠6时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在x∈D且－x∉D，此时函数y＝f(x)不是偶函数．当a＝6时，f(x)＝log3(x＋6)＋log3(6－x)，函数y＝f(x)的定义域为(－6，6)，对于任意的x∈(－6，6)，都有－x∈(－6，6)，并且f(－x)＝log3(－x＋6)＋log3(6＋x)＝f(x)，因此函数y＝f(x)是一个偶函数，综上所述，存在实数a＝6，使得函数y＝f(x)是偶函数．(2)由f(x)≤f(6－x)，得log3(x＋a)＋log3(6－x)≤log3(6－x＋a)＋log3x，由①得，ax≥3a.因为a>－3且a≠0，所以当－3<a<0时，－a<x≤3，当a>0时，3≤x<6.综上可得：当－3<a<0时，不等式f(x)≤f(6－x)的解集为(－a，3]；当a>0时，不等式f(x)≤f(6－x)的解集为[3，6)．(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；(2)若函数f(x)在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．[解析]

(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，∴log2(1＋a)＝0，∴a＝0.当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．∴a＝0.B组能力提升1．(2026·河南模拟)已知a>0，b>0且ab＝4，则(

)A．log2a·log2b＝2 B．log2a＋log2b＝1C．2a·2b＝16 D．(2a)b＝16[答案]

D[解析]

由题意得A项中的log2a·log2b和C项中的2a·2b＝2a＋b的值无法确定，对于B，log2a＋log2b＝log2(ab)＝2，对于D，(2a)b＝2ab＝16.故选D．2．(2026·浙江名校协作体返校联考)已知函数y＝log2(ax2－x)在区间(1，2)上单调递增，则a的取值范围为(

)[答案]

D3．(2025·全国一卷)已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能是(

)A．x>y>z B．x>z>yC．y>x>z D．y>z>x[答案]

B解法二：设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m，所以x＝2m－2，y＝3m－3，z＝5m－5，根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，作出函数y＝

2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象，以上方程的根分别是函数y＝2x－2，y＝3x－3，y＝5x－5的图象与直线x＝m的交点纵坐标，如图所示，易知，随着m的变化可能出现：x>y>z，y>x>z，y>z>x，z>y>x，故选B．[答案]

(1，＋∞)[解析]

如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图可知，当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点，即方程f(x)＋x－a＝0只有一个实根．5．(2026·黑龙江大庆模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋1)(0<a<1)，函数y＝g(x)的图象与函数f(x)的图象关于原点对称．(1)写出函数g(x)的解析式；(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)若x∈[0，1)时，总有f(x)＋g(x)≤m成立，求实数m的取值范围．[解析]

(1)∵函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，∴g(x)＝－f(－x)＝－loga(－x＋1)，即h(x)＝loga[(1＋x)(1－x)]＝loga(1－x2)，x∈(－1，1)．∵h(－x)＝loga[1－(－x)2]＝loga(