2027届高考数学一轮复习1.2常用逻辑用语（课件）

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第二讲常用逻辑用语知识梳理·双基自测知

识

梳

理知识点一充分条件、必要条件与充要条件的概念命题真假“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题“若p，则q”和“若q，则p”都是真命题推出关系p_____qp____qp_____q条件关系p是q的_______条件，q是p的_______条件p不是q的_______条件，q不是p的______条件p是q的___________条件，简称_______条件⇒⇔充分必要充分必要充分必要充要知识点二全称量词与存在量词类别全称量词存在量词量词所有的、任意一个存在一个、至少有一个符号____________命题含有全称量词的命题叫做全称量词命题含有存在量词的命题叫做存在量词命题命题形式“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”∀∃知识点三全称量词命题和存在量词命题的否定名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定__________________________________________∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)归

纳

拓

展1．从集合的角度理解充分条件与必要条件，若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则(1)若A⊆B，则p是q的充分条件；(2)若A⊇B，则p是q的必要条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；2．p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件．3．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．4．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题的否定的真假．双

基

自

测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号内打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题．(

)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(

)(4)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充分不必要条件．(

)[答案]

(1)×

(2)√

(3)×

(4)×题组二走进教材2．(多选题)(必修1P30例4(1)改编)已知命题p：∀x∈R，x＋2≤0，则下列说法正确的是(

)A．p是真命题

B．¬p：∀x∈R，x＋2>0C．¬p是真命题

D．¬p：∃x∈R，x＋2>0[答案]

CD[解析]

当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为¬p：∃x∈R，x＋2>0，故D正确，B错误；¬p是真命题，故C正确．3．(必修1习题1.4T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]

B[解析]

当a>b时，若c2＝0，则ac2＝bc2，所以a>b

ac2>bc2，当ac2>bc2时，c2≠0，则a>b，所以ac2>bc2⇒a>b，即“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件．4．(必修1复习参考题1T5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为____________.[答案]

(－∞，3)题组三走向考场5．(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(

)A．p和q都是真命题

B．¬p和q都是真命题C．p和¬q都是真命题

D．¬p和¬q都是真命题[答案]

B[解析]对于两个命题而言，可分别取x＝－1、x＝1，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解．对于p而言，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题，对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题，综上，¬p和q都是真命题．故选B．6．(2025·天津卷)设x∈R，则“x＝0”是“sin2x＝0”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件[答案]

A考点突破·互动探究全称量词命题与存在量词命题——自主练透1．(多选题)(2026·西安模拟)下列命题的否定中，是真命题的有(

)A．某些平行四边形是菱形B．∃x∈R，x2－3x＋3<0C．∀x∈R，|x|＋x2≥0D．∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解[答案]

BD[解析]

根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求解.对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，Δ＝9－12＝－3<0，则原命题是假命题；对于C，∀x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题．故选BD．[答案]

D3．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________.[答案]

(－∞，－2][解析]

若命题p为真，则a≤0.若命题q为真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．名师点拨：1．全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称量词命题真所有对象使命题为真否定为假假存在一个对象使命题为假否定为真存在量词命题真存在一个对象使命题为真否定为假假所有对象使命题为假否定为真2．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写；(2)否定结论：对原命题的结论进行否定.充分条件与必要条件的判断——多维探究方法1：定义法判断(2024·天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件[答案]

C[解析]

说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件．根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b，所以二者互为充要条件，故选C．方法2：集合法判断设x∈R，则“x2－5x>0”是“|x－1|>1”的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件[答案]

A[解析]

不等式x2－5x>0的解集A＝{x|x>5或x<0}，由|x－1|>1得x－1>1或x－1<－1，其解集B＝{x|x<0或x>2}，则集合A是B的真子集，所以“x2－5x>0”是“|x－1|>1”的充分不必要条件，故选A．方法3等价转化法判断[答案]

C[解析]

解法一(集合法)：设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|sinx≠siny}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|sinx＝siny}，显然C

D，所以B

A，故“x≠y”是“sinx≠siny”的必要不充分条件．解法二(等价转化法)：x＝y⇒sinx＝siny,而sinx＝siny

x＝y,故“x＝y”是“sinx＝siny”的充分不必要条件，故“x≠y”是“sinx≠siny”的必要不充分条件．2．利用集合判断3．利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题，常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断¬q是¬p的什么条件．【变式训练】1．给定两个条件p，q，若¬p是q的必要不充分条件，则p是¬q的(

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件[答案]

AA．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件[答案]

B3．设x∈R，则“cosx≠1”是“sin≠0”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]

B[解析]

解法一：当cosx≠1时，不一定有sinx≠0，当sinx≠0时，一定有cosx≠1，因此“cosx≠1”是“sinx≠0”的必要不充分条件．故选B．解法二：判断“sinx＝0”是“cosx＝1”的什么条件？当sinx＝0时，cosx＝±1，不是充分条件，当cosx＝1时，一定有sinx＝0，是必要条件．故选B．充分、必要条件的应用——师生共研(1)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________.(2)在(1)的条件下，若把“x∈P是x∈S的必要条件”改为“¬P是¬S的必要不充分条件，”则m的取值范围是________.[答案]

(1)[0，3]

(2)[9，＋∞)名师点拨：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．【变式训练】1．(多选题)(2026·大连模拟)若“x<k－2或x>k”是“－2<x<3”的必要不充分条件，则实数k的值可以是(

)A．3 B．－3C．5 D．－5[答案]

BCD[解析]

令A＝{x|x<k－2或x>k}，B＝{x|－2<x<3}，因为“x<k－2或x>k”是“－2<x<3”的必要不充分条件，所以B

A，所以k≤－2或k－2≥3，解得k≤－2或k≥5，结合选项可知符合题意的有B、C、D．2．若关于x的不等式|x－1|<a成立的充分条件是0<x<4，则实数a的取值范围是________.[答案]

[3，＋∞)名师讲坛·素养提升一、抽象命题间充要条件的判定已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①r是q的充要条件；②p是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④¬p是¬s的必要不充分条件；⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序号是(

)A．①④⑤

B．①②④C．②③⑤

D．②④⑤[答案]

B名师点拨：命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求解，简洁直观，一目了然．【变式训练】若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p是q的___________条件．[答案]

必要不充分二、突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．[答案]

A[解析]

当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，[解析]

当x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，[解析]

当x∈[0，3]时，f(x)max＝f(3)＝ln10，[解析]

当x∈[0，3]时，f(x)max＝f(3)＝ln10，名师点拨：对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．【变式训练】已知函数f(x)＝ex－e，g(x)＝lnx＋1,若对于∀x1∈R，∃x2∈(0,＋∞),使得f(x1)＝g(x2)，则x1－x2的最大值为(

)A．e

B．1－e

[答案]

D提能训练练案[2]A组基础巩固

一、单选题1．下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是(

)A．菱形的四条边都相等

B．∃x∈N，使2x为偶数C．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 D．π是无理数[答案]

A[解析]

对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题；对于B，∃x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题；对于C，∀x∈R，x2＋2x＋1>0，是全称量词命题，当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题；对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题．2．(2025·贵州黔东南三模)命题“∀x∈R,x＋|x|≥0”的否定是(

)A．∃x∈R，x＋|x|≥0 B．∃x∉R，x＋|x|<0C．∀x∈R，x＋|x|<0 D．∃x∈R，x＋|x|<0[答案]

D[解析]

由全称量词命题的否定可知，命题∀x∈R，x＋|x|≥0的否定是∃x∈R，x＋|x|<0，故选D．3．下列命题中，p是q的充分条件的是(

)A．p：ab≠0，q：a≠0B．p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0C．p：x2>1，q：x>1[答案]

A4．(2025·天津一模)已知x>0，y>0，则“x2025>y2025”是“lnx>lny”的(

)A．充要条件

B．必要不充分条件C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件[答案]

A[解析]

对于函数y＝x2025在R上单调递增，由x>0，y>0，x2025>y2025，知x>y>0，由函数y＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，则lnx>lny，故充分性成立；由上，lnx>lny有x>y>0，进而有x2025>y2025，故必要性也成立；所以“x2025>y2025”是“lnx>lny”的充要条件．故选A．5．命题：“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定是(

)A．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∃x∈R，∀x∈N*，使得n<x2C．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<x2D．以上选项都不正确[答案]

B6．(2025·四川成都三模)下列四个条件中，使a>b成立的充要条件是(

)[答案]

B7．(2026·湖南长沙模拟预测)设a为常数，命题p：∃x∈[0，1]，a－2x≤0，则p为真命题的充要条件是(

)A．a≥1 B．a≤1C．a≥2 D．a≤2[答案]

D[解析]

由命题p为真，则当x∈[0，1]时，a－2x≤0能成立，即a≤2x能成立，所以a≤(2x)max＝2.故选D．8．(2026·湖北黄冈模拟预测)若“∀x∈R，x2－mx＋2>0”是真命题，则实数m的取值范围为(

)C．(－2，2) D．[－2，2][答案]

A二、多选题9．下列命题的否定是假命题的是(

)B．菱形都是平行四边形C．∃a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0没有实数根D．平面四边形ABCD的内角和等于360°[答案]

ABD[解析]

对于选项A，当m＝0时符合题意，故是真命题，而命题的否定是假命题；对于选项B，是真命题而命题的否定是假命题；对于选项C，Δ＝(－a)2－4×(－1)＝a2＋4>0恒成立，不存在a∈R，使方程无实数根，是假命题，而命题的否定是真命题；对于选项D，是真命题，而命题的否定是假命题．故选ABD．10．下列说法正确的是(

)A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件C．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆BD．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件[答案]

BC11．(2025·临沂模拟)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(

)C．|x|>|y| D．lnx>lny[答案]

ABD三、填空题12．(2026·湖南长沙模拟预测)命题“∃x>1，x2－ax＋2<0”的否定是________.[答案]

∀x>1，x2－ax＋2≥0[解析]

命题“∃x>1，x2－ax＋2<0”的否定是“∀x>1，x2－ax＋2≥0”．13．(2026·潍坊一中月考)若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合的条件，用序号填空．(1)“a，b都为0”的必要条件是________；(2)“a，b都不为0”的充分条件是________；(3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________.[答案]

(1)①②③

(2)④

(3)①[解析]

①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a,b互为相反数,则a,b可能均为0,也可能为一正一负；若a，b都为0，则①②③成立，∴“a，b都为0”的必要条件是①②③；当④成立时，a，b都不为0，∴“a，b都不为0”的充分条件是④；“a，b至少有一个为0”的充要条件是①.14．(2026·泰安模拟)已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0，命题q：∀x∈R，x2－mx＋1>0，若命题p，q一真一假，则实数m的取值范围为________.[答案]

(－∞，－2]∪(1，2)[答案]

C2．(多选题)下列命题不正确的是(

)B．命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x≥1，使得x2≥1”C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的必要不充分条件D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件[答案]

BC3．已知命题“∃x∈R，使ax2－x＋2≤0”是假命题，则实数a的取值范围是(

)[答案]