高三数学培优专题训练之培优2 导数证明不等式

高三数学培优专题训练2导数证明不等式1．已知函数，，设.(1)若，求的最大值；(2)求在上的最小值；(3)若有两个不同的零点，求证：.2．已知函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．4.已知函数fx(1)讨论fx(2)若∀x∈1,+∞，fx(3)若an=lnn+1n+1，数列an的前5.已知函数fx(1)若fx是单调递减函数，求实数a(2)当a≥1时，证明：fx6.已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2．(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2．高三数学培优专题训练2导数证明不等式1．已知函数，，设.(1)若，求的最大值；(2)求在上的最小值；(3)若有两个不同的零点，求证：.【详解】（1）依题意，函数，其定义域为，当时，，求导得，当时，，；当时，，，函数在上单调递增，在上单调递增减，所以的最大值为.（2）函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，而，因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以当时，；当时，.（3）依题意，不妨令，，即，两式相减得，不等式，令，则，令函数，，函数在上单调递增，因此，即，则，所以.2．已知函数．(1)若恒成立，求的取值范围；(2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：．【详解】（1）因为函数的定义域为，当时，恒成立，当时，，所以此时不恒成立，当时，求导得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，即不等式恒成立，等价于，综上，的取值范围为.（2）（i）当时，，则，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，（ii）由，则要证明，只需要证明，构造，则，所以在上单调递增，即，所以有，即成立．4.已知函数fx(1)讨论fx(2)若∀x∈1,+∞，fx(3)若an=lnn+1n+1，数列an的前【详解】(1)fx=alnf'当a=0时，f'x=−1x当a<0时，f'x=ax−1x当a>0时，由f'x=由f'x=所以fx在0,1a综上所述：当a≤0时，fx在0,+当a>0时，fx在0,1a(2)∀x∈1,+∞，即x−令gx=x−1而g'令hx①当a≤0时，g'x=x2又g1=0，所以当x∈1,+②当Δ=a2−4≤0a>0g'x=x2又g1=0，所以当x∈1,+③当a>2时，x2−ax+1=0有两根x1因为x1所以x1=a−可得：由hx=x2−ax+1>0由hx=x2−ax+1<0所以gx单调递增区间为a+a2又g1=0，即存在x0综上所述，a的取值范围是−(3)由(2)知，当a=2时，2lnx+1令x=n+1,n∈N则2ln则2lnn+1所以T所以2n+15.已知函数fx(1)若fx是单调递减函数，求实数a(2)当a≥1时，证明：fx【详解】(1)解法一：因为fx所以f'所以a≥x−3xex−1,x∈令gx=x−3xe所以gx=x−3xe所以gxmax=g解法二：由题意得，f'令gx=x−a−3xe所以gx在1,+∞上单调递减，当即a≥−2时，gx≤0，即f'x≤0当g1=−2−a>0，即a<−2时，使得在1,x0时，gx所以fx在定义域上单调递减不成立．所以a≥−2(2)证法一：令hx所以h'x=1−所以h'令Mx=e因为x∈1，+∞，所以M'所以Mx≥M1=e所以h'因为x+1x≥2，所以h'x所以hx≤h1证法二：因为a≥1，所以fx欲证fx+1+x所以只需证x+x令Mx=x+x令Nx=e因为x∈1,+∞，所以N'x=所以Nx≥N1=e所以M'因为Mx=x+x所以Mx的最大值为−1，令Tx=lnx−1所以x+x2−36.已知函数f(x)＝ex﹣1﹣x﹣ax2．(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若x＞0，证明：(ex﹣1)ln(x+1)＞x2．【详解】(1)当a＝0时，f(x)＝ex﹣1﹣x，函数定义域为R，可得f′(x)＝ex﹣1，当x＜0时，f′(x)＜0；当x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)在(﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增；(2)已知f′(x)＝ex﹣1﹣2ax，令h(x)＝ex﹣1﹣2ax，函数定义域为R，可得h′(x)＝ex﹣2a，当2a≤1，即a≤此时h′(x)≥0，h(x)单调递增，所以h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，所以f(x)在[0，+∞)上为增函数，此时f(x)≥f(0)＝0，满足条件；当2a＞1时，当0≤x＜ln2a时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，所以h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜f′(0)＝0，所以f(x)在(0，ln2a)上单调递减，此时f(x)＜f(0)＝0，不满足题意，综上，实数a的取值范围为(−∞，1(3)证明：由(2)得，当a=1