浙江丽水发展共同体2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题

浙江丽水发展共同体2025-2026学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．复数5−2+iA．2+i B．−2+i C．2−i D．−2−i2．已知OA=2,8，OB=A．3,2 B．−53,−103 3．若圆锥的母线长为5，高为4，则圆锥的体积为（）A．12π B．16π C．20π D．24π4．若sinα+π6A．29 B．−29 C．75．已知在矩形ABCD中，BE=12EC，CF=2FD，A．9 B．−12 C．15 D．−206．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，bc=6sinBcosC，A．1 B．32 C．3327．已知三棱锥A−BCD的侧棱AB，AC，AD两两垂直，CD=2，AC=AD，若该三棱锥的外接球体积为32π3A．2+6+13 B．26+138．在△ABC中，若sinA+sinB=43，cosA+cosB=1A．817 B．1517 C．45二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．）9．已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A．若复数z=3+4i，则zB．若复数z满足z=1，则z=±1或C．若复数满足z1=D．若复数z满足z−1=z+1，则10．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻t（单位：s）时过山车（看作质点）离地面的高度h（单位：m）满足ht=Asinωt+φ+B,A>0,ω>0,A．A=18B．过山车启动时距地面13mC．ω=D．一个周期内过山车距离地平面不低于23m的时间是4s11．如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60∘，A．若λ+μ=13，则四面体B．若A1Q=7，则点C．若μ=1，平面APQ截正方体所得截面为四边形D．若λ=μ=12，则存在点E在线段A1B三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量a=(−2,11),b=(3,−4)，则a在b13．四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形，如图所示，点E是棱PD上一点，PE=23PD，若PF=λPC且满足BF//平面14．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且若3tanA+tanB=2c2a2四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知复数z=m2−3m+2+2（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．16．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，（1）求证：AC1∥（2）若∠ACB=2π3，求三棱锥17．已知函数fx=2sinωxcos（1）求ω的值；（2）若fx在区间−π3,m上的值域是18．如图，在棱长为2的正四面体A−BCD中，P为CD上的动点，M为AB上靠近A的三等分点，N为AP的中点，BN与PM交于点Q．（1）用PA，PB表示PM；（2）若点P为CD的中点，求PQ⋅（3）若PQ⋅PB=19．已知函数y=fx,x∈D，若对于任意实数a,b,c∈D，fa，fb，fc（1）试判断函数fx=sin（2）设向量m=2kcosx,2cosx，n=sinx,3kcosx，若函数gx（3）已知函数hx=cos2x−π3为π6,θ（θ为常数）上的“完美三角形函数”．函数hx的图象上，是否存在不同的三个点

答案解析部分1．【答案】B【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数【解析】【解答】解：5−2+i=5(−2−i)(−2+i)(−2−i)=故答案为：B.【分析】根据复数代数形式的乘除运算化简原式，再根据共轭复数定义求解即可.2．【答案】C【知识点】平面向量的坐标运算【解析】【解答】解：因为OA=2,8，所以13AB=【分析】根据平面向量减法法则和数乘向量运算的坐标表示，从而得出向量133．【答案】A【知识点】锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：因为圆锥的母线l=5，高h=4，所以，底面半径r=l则圆锥的体积为V=1故答案为：A.【分析】由圆锥的母线和高的长结合勾股定理求出底面半径，再由圆锥的体积公式计算可得.4．【答案】D【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：因为sinα+π6因为sinπ所以cos2π故答案为：D.

【分析】通过角度变换，将目标角2π3−2α转化为已知角5．【答案】C【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：由BE=12EC，得BE:EC=1:2，则AE=由CF=2FD，得CF:FD=2:1，

所以则AF=所以AE=1因为AB⋅AD=0，代入AB=6，AD=3，

【分析】根据向量共线定理和平面向量基本定理，则用AB,AD分别表示AE,6．【答案】B【知识点】两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；三角形中的几何计算【解析】【解答】解：因为A+B+C=π，所以B+C=π−A，则sin(B+C)=所以sinB则bc=6sin所以S△ABC=12bc7．【答案】C【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用【解析】【解答】解：如图，CD=2，AC=AD，且AB，AC，AD两两垂直，∴AC=AD=2，

设AB=h，依题意，可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为2可得其外接球的半径r=2+2+由43πr3=32π3，解得r=2S=故答案为：C.

【分析】利用已知条件可将该三棱锥置于一个长、宽、高分别为2,2,h8．【答案】A【知识点】两角和与差的余弦公式；两角和与差的正弦公式；二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：设α=A+B2,β=A−B2cosA+两式相除，得sinαcosα=4，

在△ABC中，A+B+C=π，则sinα因为tanC=2tan由sin2C+cos2C=1，得sin2C+(15【分析】根据两角和差的正弦公式、诱导公式、二倍角的正切公式以及同角三角函数基本关系式计算得出sinC的值.9．【答案】A,D【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模；共轭复数【解析】【解答】解：若复数z=3+4i，则其共轭复数z=3−4i，

所以z设复数z=a+bia,b∈R，若z=a所以复数z所对应的点Za,b在以原点O则复数z不是只有z=±1或z=±i这4个值，故B错误；设复数z1=1，z2=i，此时但是z12=12设复数z=x+yix,y∈R，则z−1=x−1若z−1=z+1，将其两边平方，可得则x2−2x+1=x则复数z在复平面内对应的点的轨迹为直线x=0，故D正确.

故答案为：AD

【分析】由共轭复数的定义求出复数z的共轭复数z，再利用复数求模公式，则可判断选项A；根据复数的模的几何意义，从而得到复数z所对应的点Za,b的轨迹方程为a2+b2=1，进而得出复数z，则可判断选项B；取满足z1=z2的特殊复数10．【答案】B,C,D【知识点】函数的值；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；含三角函数的复合函数的值域与最值【解析】【解答】解：因为最高点满足A+B=28，最低点满足−A+B=8，

联立，解得A=10,B=18，故A错误；因为第一个最高点到第一个最低点的间隔为半个周期T2所以ω=2π将参数代入，得h(t)=10sin(π6t+φ)+18，

当t=4时为最高点，则sin(π6×4+φ)=1，所以2π则解析式为ht启动时t=0，代入得h(0)=10sin要求h(t)≥23，代入得不等式10sin解得一个周期内（t∈[0,12]）满足条件的t的取值范围是2≤t≤6，

则区间长度为6−2=4s，故D正确.

故答案为：BCD.【分析】利用函数图象的最高点和最低点，从而联立得出A，B的值，则可判断选项A；利用已知条件得出正弦型函数的最小正周期，从而得出ω的值，则可判断选项C；利用函数的图象的最高点代入求出φ的值，再把t=0代入函数解析式，从而得出过山车启动时距地面的距离，则可判断选项B；解三角函数不等式，从而得出一个周期内（t∈[0,12]）满足条件的t的取值范围，则可判断选项D，从而找出正确的选项.11．【答案】A,B,D【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱的结构特征；扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用【解析】【解答】解：对于A：当λ+μ=13时，点Q在正方形DCC其中点M在DC上，且DM=23，点N在DD因为在正方形DCC1D1中，有DM=DN，所以MN//D1C，

又因为在直四棱柱中，D1C//所以MN//平面A1这说明当点Q在线段MN上运动时，点Q到平面A1而△A1BP对于B：过点A1作平面DCC1

则A1H⊥平面DCC1由A1Q=7，得H所以，点Q的轨迹是平面DCC1D1内以H为圆心、2为半径的圆与侧面四边形设该段圆弧的端点分别为E,F，其中E∈DD1，F∈D1C1，

则D1H=1，D1F=1，对于C：取μ=1,λ=1

则点Q为线段D1C1的中点，此时作平面APQ，

可得该平面分别与棱BC,A则所得截面为五边形AEPQF，并不是四边形，故选项C错误；对于D：当λ=μ=12时，点Q为侧面设点M为点Q在平面AA1B1B上的射影，则点M在正方形AA1B1B内，过点A,M由正方形的性质，可得AH=2，MK=22在平面AA1B1B取点N在直线A1B与点M的同侧，

得KN=对于线段A1B上任意一点E，有又因为EM2=E所以EN2=EK2+KN2=EK2+MK2+MQ2=EM所以，当点E为直线AN与线段A1B的交点时，AE+EN取得最小值，最小值为又因为在平行于A1B和垂直于A1B的两个方向上，点A到点N的距离分别为所以AN则AN=6+27，所以AE+EQ的最小值为故答案为：ABD.

【分析】在侧面DCC1D1内作出点Q的轨迹线段，再利用该线段与A1B平行，从而得出点Q到平面A1BP的距离不变，则判断出选项A；把点Q放到侧面DCC1D1内研究，由12．【答案】−6,8【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量【解析】【解答】解：因为a在b方向上的投影向量的公式为：a⋅所以a⋅b=将结果代入公式，得：−5025b→=−2b【分析】根据数量积求投影向量的公式和数量积的坐标表示，从而得出a在b方向上的投影向量的坐标.13．【答案】1【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质【解析】【解答】解：如图，连接BD，交AC于点O，连接OE，

由四边形ABCD是平行四边形，得BO=OD，在线段PE上取点G，使得GE=ED，由PE=23PD连接BG，FG，则BG//OE，

由OE⊂平面ACE，BG⊄平面ACE，得BG//平面ACE，

因为BF//平面ACE，BG∩BF=B，BG,BF⊂平面BGF，所以，平面BGF//平面ACE，

又因为平面PCD∩平面ACE=EC，平面PCD∩平面BGF=GF，所以GF//EC，则λ=PFPC=PGPE=12.

故答案为：12

【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线定理和线面平行的判定定理，从而证出直线BG//14．【答案】(7【知识点】简单的三角恒等变换；正切函数的图象与性质；正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【解答】解：在锐角△ABC中，tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB，

则所以tan=sinC由余弦定理，得a2+c2−由3(tanA+tanB)=2c2a2+c2−b则c+tanB==3+1tanB+tanB，

由△ABC是锐角三角形，得0<B<π20<5π6−B<π因此3+1tanB+tanB>3+43【分析】利用三角恒等变换公式、同角三角函数基本关系式和余弦定理求出角A的值，再利用正弦定理和两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系式，对勾函数及正切函数单调性，从而得出c+tanB的取值范围.15．【答案】（1）解：由复数z是纯虚数，

则m2−3m+2=(m−1)(m−2)=02m2（2）解：由复数z在复平面内对应的点在第四象限，

则m2所以−1【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示【解析】【分析】（1）由复数为纯虚数的判断方法，从而列方程求出实数m的值.（2）由复数对应点所在象限结合已知条件，从而列不等式组求出实数m的取值范围.（1）由z是纯虚数，则m2−3m+2=(m−1)(m−2)=02（2）由z在复平面内对应的点在第四象限，m2所以−116．【答案】（1）证明：连接BC1，设C1在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BB因为E为AB的中点，则OE∥AC又因为AC1⊄平面B1CE所以AC1∥（2）解：由直三棱柱可知，三棱锥B1−BCE的高为BB1在△ABC中，AC=BC=2，E为AB的中点，

由（1）知∠ACB=2π所以S因此VE−CB【知识点】直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用【解析】【分析】（1）连接BC1，设BC1与B1C的交点为O，连接OE，结合中位线定理和线面平行的判定定理，从而证出AC1∥平面B1CE（1）连接BC1，设C1在直三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形又因为E为AB的中点，则OE∥AC又因为AC1⊄平面B1CE所以AC1∥（2）由直三棱柱可知，三棱锥B1−BCE的高为BB在△ABC中，AC=BC=2，E为AB的中点，由（1）知∠ACB=2π所以S△BCE因此VE−CB17．【答案】（1）解：因为fx=2sinωxcosωx+23cos2ωx−3=sin因为0<ω≤3，则取k=0，得ω=1．（2）解：当x∈−π3因为2sin−π3=−3，

结合y=2sint函数图象可知，

则π2≤2m+π【知识点】三角函数中的恒等变换应用；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式和辅助角公式，从而得出fx=2sin2ωx+π3，再结合已知条件和正弦型函数的图象对称性，从而可得（2）根据x的取值范围和不等式的基本性质，再利用正弦型函数的单调性求解.（1）fx因fx图象的一个对称中心为−π6解得ω=1−3k,k∈Z，又0<ω≤3，则取k=0，得ω=1．（2）当x∈−π3因为2sin−π3=−3，结合y=2sin则π2≤2m+π18．【答案】（1）解：在△ABC中，∵AM=1∴AM∴PM（2）解：设PQ=λ∴由（1）可知，PQ=λ∵PN=12PA∵N，B，Q三点共线，∴43λ+∴PQ∵PA=PB=2由余弦定理，可得cos∠APB=∴PA∴PQ（3）解：设DP=x，

由余弦定理，可得PA=x由正四面体，得PA=PB=x∵cos∴∵PQ化简得9x2−18x+8=0，∴解得x=∴DPDC=【知识点】数量积表示两个向量的夹角；三点共线；空间向量基本定理；空间向量的数量积运算；余弦定理的应用【解析】【分析】（1）利用已知条件和空间向量基本定理，从而用PA，PB表示PM.（2）利用(1)和向量共线定理、平面向量基本定理，从而得到PQ=43λPN（3）设DP=x，利用余弦定理和数量积的运算律，从而表示出PQ⋅PB=（1）在△ABC中，∵AM=1∴AM∴PM（2）设PQ=λ∴由（1）可知，PQ=λ∵PN=12PA∵N，B，Q三点共线，∴43λ+∴PQ∵PA=PB=2∴由余弦定理可得cos∠APB=∴PA∴PQ（3）设DP=x，由余弦定理可得PA=x由正四面体得PA=PB=x∵cos∴∵PQ∴化简得9x∴解得x=23或∴DPDC=19．【答案】（1）解：∵fx=sin2x+cosx