苏科版八年级数学上册《1.5等腰三角形》同步练习题（带答案解析）

第页苏科版八年级数学上册《1.5等腰三角形》同步练习题（带答案解析）一．选择题（共6小题）1．一个等腰三角形形状的装饰品的顶角为40°，则它的底角为（）A．40° B．70° C．100° D．100°或70°2．已知等腰三角形的周长为12，一边长为5，则它的腰长等于（）A．5 B．2或5 C．3.5 D．5或3.53．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，下列结论中不一定正确的是（）A．∠B＝∠C B．AB＝2BD C．AD平分∠BAC D．AD⊥BC4．如图，将直角三角尺ABC放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为（）A．3cm B．3.5cm C．4cm D．4.5cm5．如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙的夹角∠BAC＝30°，梯子的长为6米，则梯子与墙角的距离BC长为（）A．12米 B．6米 C．3米 D．1.5米6．如图，在△ABC中，D是AC的中点，CE⊥AB，BD与CE交于点O，且BE＝CD．下列说法错误的是（）A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点E B．∠BDC＝3∠ABD C．当E为AB中点时，△ABC是等边三角形 D．当E为AB中点时S二．填空题（共10小题）7．已知等腰三角形的一边长等于11cm，一边长等于5cm，它的周长为．8．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝8，点M，N在边OB上，PM＝PN．若MN＝2，则OM的长是．9．如图，等边△ABC的边长为2，点D在边AC上，过点A作AE∥BC交BD的延长线于点E，若BD•BE＝8，则CD的长为10．如图，在△ABC中，AC＝6，以A为圆心，AB为半径画弧，交BC于点D．若M、N分别是BD，AC的中点，则MN的长为．11．将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，若AB＝12cm，则△ACF的面积为cm2．12．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于E，那么下列结论中：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB+CE；③△ADE的周长等于AB+BC；④BF＝CF．其中正确的是（填写正确的序号）13．在△ABC中，∠A＝30°，AB＝6．若对于BC的每一个值，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定，则BC长的取值范围是．14．如图，一棵树在一次强台风中折断，已知折断处与地面的距离为2m，倒下部分与地面的夹角为30°，则这棵树在折断前的高度是m（假设该树在折断前与地面垂直）．15．如图，D为△ABC内一点，AD⊥CD，AD平分∠CAB，且∠DCB＝∠B．如果AB＝10，AC＝6，那么CD＝．16．如图，已知∠AOB＝α（0°＜α＜60°），射线OA上一点M，以OM为边在OA下方作等边△OMN，点P为射线OB上一点，若∠MNP＝α，则∠OMP＝．三．解答题（共4小题）17．已知△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足．（1）若AB＝7，BC＝5，求△BCE的周长；（2）若BE平分∠ABC，求∠A的度数．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O．（1）△OBC是等腰三角形吗？为什么？（2）连接AO，AO是BC的垂直平分线吗？为什么？19．图1所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为8cm，双翼的边缘AC＝BD＝50cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．20．如图，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，AB＝60cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，点P的运动速度为2cm/s，点Q的运动速度为1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？参考答案与解析一．选择题（共6小题）1．【解答】解：∵等腰三角形的装饰品的顶角为40°∴等腰三角形的装饰品的底角为：12故选：B．2．【解答】解：当腰为5时，三边为5，5，2能构成三角形；当底为5时，腰为3.5，3.5，也能构成三角形．所以这个等腰三角形的腰长为5或3.5．故选：D．3．【解答】解：∵AB＝AC∴∠B＝∠C∵AB＝AC，D是BC中点∴AD平分∠BAC，AD⊥BC所以，结论不一定正确的是AB＝2BD．故选：B．4．【解答】解：∵A，D，B对应的刻度分别为1，4，7∴AD＝4﹣1＝3（cm），BD＝7﹣4＝3（cm），AB＝7﹣1＝6（cm）∴AD＝BD∵∠ACB＝90°∴CD=12AB＝3（故选：A．5．【解答】解：由图可知，在Rt△ACB中∵∠BAC＝30°，AB＝6米∴BC=1故选：C．6．【解答】解：连接DE，如图1所示：∵CE⊥AB，点D是AC的中点∴DE为Rt△AEC斜边上的中线∴DE=AD=CD=∵BE＝CD∴BE＝DE∴点E在线段BD的垂直平分线上即线段BD的垂直平分线一定与AB相交于点E，故选项A正确，不符合题意；设∠ABD＝α∵BE＝DE∴∠EDB＝∠ABD＝α∴∠AED＝∠EDB+∠ABD＝2α∵DE＝AD∴∠A＝∠AED＝2α∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝3α即∠BDC＝3∠ABD，故选B正确，不符合题意；当E为AB中点时，则BE=∵CE⊥AB∴CE是线段AB的垂直平分线∴AC＝BC∵BE=12ABCD=1∴AB＝AC∴AC＝BC＝AB∴△ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；连接AO，并延长交BC于F，如图2所示：当E为AB中点时∵点D为AC的中点∴根据三角形三条中线交于一点得：点F为BC的中点∵当E为AB中点时，△ABC是等边三角形∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AF⊥BC，AF平分∠OAC，BD平分∠ABC∴∠OBC＝∠OAC＝30°∴OA＝OB在Rt△OBF中，OB＝2OF∴OA＝OB＝2OF∴AF＝OA+OF＝3OF∴S△OBC=∵E为AB中点∴S△AEC=12S△ABC=3∴S故选项D不正确，符合题意．故选：D．二．填空题（共10小题）7．【解答】解：当等腰三角形的腰长为5cm时，则该等腰三角形的三边长分别为11cm，5cm，5cm∵5+5＜11∴此时不能构成三角形；当等腰三角形的腰长为11cm时，则该等腰三角形的三边长分别为11cm，11cm，5cm∵11﹣5＜11＜11+5∴此时能构成三角形∴该等腰三角形的周长为11+11+5＝27cm；综上所述，该等腰三角形的周长为27cm故答案为：27cm．8．【解答】解：过P作PD⊥OB于点D在Rt△OPD中∵∠ODP＝90°，∠POD＝60°∴∠OPD＝30°∴OD=∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2∴MD=ND=∴OM＝OD﹣MD＝4﹣1＝3．故答案为：3．9．【解答】解：∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2∵AE∥BC∴∠DAE＝∠ACB＝60°（两直线平行，内错角相等）∵∠ADE＝∠CDB∴△ADE∽△CDB∴ADCD设CD＝x，则AD＝AC﹣CD＝2﹣x∴DE∴DE=∴BE=BD+DE=BD+∵BD•BE＝8∴BD⋅即BD2＝4x过点B作BH⊥AC于点H∵△ABC是等边三角形，AC＝2∴CH=12∴DH＝|CH﹣CD|＝|1﹣x|在Rt△BHD中，BD2＝BH2+DH2＝3+（1﹣x）2∴4x＝3+（1﹣x）2解得x=3±∵0＜x＜2∴x=3−即CD的长为3−故答案为：3−510．【解答】解：如图，连接AD、AM则AB＝AD∴△ABD是等腰三角形∵M是BD的中点∴AM⊥BD∵N是AC的中点，AC＝6∴MN=12AC则MN的长为3故答案为：3．11．【解答】解：∵将一副三角尺按图所示方式叠放在一起，AB＝12cm∴∠ACB＝90°，∠B＝30°∴AC=∵∠ACF＝90°，∠CAF＝45°∴∠CAF＝∠CFA＝45°∴CF＝AC＝6cm∴S故答案为：18．12．【解答】解：①∵∠B、∠C的平分线相交于点F∴∠DBF＝∠CBF，∠ECF＝∠BCF．∵DE∥BC∴∠BFD＝∠CBF，∠CFE＝∠BCF∴∠DBF＝∠BFD，∠CFE＝∠ECF∴BD＝FD，CE＝EF．∴△BDF，△CEF都是等腰三角形．故①正确；②根据①得DE＝DF+EF＝DB+CE．故②正确；③根据②得AD+DE+AE＝AD+BD+AE+CE＝AB+AC．故③正确；④AB和AC不一定相等，∴BF和CF不一定相等．故④错误．故答案为：①②③．13．【解答】解：如图所示，过点B作BD⊥AC交直线AC于点D∴∠ADB＝90°∵∠A＝30°，AB＝6∴BD=1∴BC≥BD；由垂线段最短可知，当BC＝3时，此时点C与点D重合，对应的△ABC的形状、大小都唯一确定；当BC≥6时，点C只能在线段AD的延长线上，此时对应的△ABC的形状、大小都不能唯一确定；当3＜BC＜6时，此时点C在线段AD上和点C在线段AD的延长线上都符合题意，即此时对应的△ABC的形状、大小都不能唯一确定；故答案为：BC＝3或BC≥6．14．【解答】解：如图所示：依题意得：AC⊥BC，且AC＝2m，∠ABC＝30°∴△ABC是直角三角形在Rt△ABC中，∠ABC＝30°∴AC=1∴AB＝2AC＝4m∴AB+AC＝2+6＝6（m）∴这棵树在折断前的高度是6m．故答案为：6．15．【解答】解：如图，延长CD交AB于E∵CD⊥AD∴∠ADE＝∠ADC＝90°∵AD平分∠CAB∴∠EAD＝∠CAD∴∠AED＝∠ACD∴AE＝AC＝6∴DE＝CD∵AB＝10∴BE＝10﹣6＝4∵∠B＝∠BCD∴BE＝CE＝4∴CD=12故答案为：2．16．【解答】解：（1）当P位于MN左侧时，如图1∵△OMN是等边三角形∴MN＝MO＝ON，∠MON＝∠MNO＝60°∵∠MNP＝∠AOB＝α∴∠PON＝∠PNO∴PO＝PN△MPO≌△MPN，（SAS）∴∠OMP＝∠NMP=12∠OMN（2）当P位于MN右侧时，如图2，将△MNP绕着点M顺时针旋转60°得到△MOQ此时△MPQ是等边三角形∴∠MPQ＝60°∴∠OMP＝180°﹣∠MPQ﹣∠MOP＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α故答案为：30°或120°﹣α．三．解答题（共4小题）17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，AB＝7∴AC＝7．∵AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足∴AE＝BE∴BE+EC＝AE+EC＝AC∴△BCE的周长＝BE+EC+BC＝AC+BC＝7+5＝12；（2）∵AB边上的垂直平分线DE交AC于E，D为垂足∴AE＝BE∴∠A＝∠ABE∵BE平分∠ABC∴∠ABE＝∠CBE∵AB＝AC∴∠C＝∠ABC＝2∠ABE＝2∠A∵∠A+∠ABC+∠C＝180°即：5∠A＝180°∴∠A＝36°．18．【解答】解：（1）△OBC是等腰三角形理由是：∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角）∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O．∴∠OBC=1∴∠OBC＝∠OCB∴OB＝OC（等角对等边）∴△OBC是等腰三角形；（2）AO是BC的垂直平分线理由：∵OB＝OC（已知）∴点O在线段BC的垂直平分线上∵AB＝AC∴点A在线段BC的垂直平分线上∴AO是BC的垂直平分线．19．【解答】解：过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于点F∵AE⊥PC，BF⊥DQ∴∠AEC＝∠BFD＝90°（垂直的定义）∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝30°，AC＝50cm∴AE=12AC=∵在Rt△BFD中，∠BFD＝90°，∠BDF＝30°，BD＝50cm∴BF=12BD=∴EA+AB+BF＝25+8+25＝58（