浙教版八年级数学上册《2.4等腰三角形的判定定理》同步练习题（带答案解析）

第页浙教版八年级数学上册《2.4等腰三角形的判定定理》同步练习题（带答案解析）一、选择题1．如图，等边三角形ABCAB=6，D为BC中点，M为AD上的动点，连接CM，将线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为（）A．3 B．23 C．332．如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP=CQ时，PQ交AC于点D，则DE的长为（）A．13 B．12 C．23．如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≅△DBC；②BF平分∠AFC；③AF=DF+BF；④∠AFD=60°A．1 B．2 C．3 D．44．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，下列结论错误的是（）A．AD＝BE B．∠DOE＝60° C．DE＝DP D．PQ∥AE5．如图等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③AC＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．如图∠MON=30°，在OM上截取OA1=3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作AA．22021 B．22020 C．220237．如图，点P，Q，R分别在等边△ABC的三边上，且AP＝BQ＝CR，过点P，Q，R分别作BC，CA，AB边的垂线，得到△DEF．若要求△DEF的面积，则只需知道（）A．AB的长 B．DP的长 C．BP的长 D．AP的长8．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点BP=AQ=4QD=3在BD上有一动点E则PE+QE的最小值为（）A．7 B．8 C．10 D．12二填空题9．如图的5个三角形中均有AB=AC则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（填序号）.10．如图∠BOC=60∘点A是BO延长线上的一点OA＝10cm动点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度移动动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动如果点PQ同时出发用t（s）表示移动的时间当t＝时11．如图在Rt△ABC中∠C=90°∠B=30°BC=6D为AB的中点P为BC上一动点连接APDP则AP+DP的最小值是.12．如图△ABC为等边三角形点D与点C关于直线AB对称EF分别是边BC和AC上的点BE＝CFAE与BF交于点G．DG交AB于点H．下列四个结论中：①△ABE≌△BCF②AG+BG＝DG③HG+GE＝GF④△AHF为等边三角形．所有正确结论的序号是．13．在△ABC中∠A=60°点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点分别连结BP和PQ把△ABC分割成三个三角形若分割成的这三个三角形都是等腰三角形则∠ABC的度数可以是.14．如图在△ABC中∠ACB=30°AB=4高CH=6.作点H关于ACBC的对称点DE连接DE交AC于点P交BC于点Q连接HDHPHQHE.下列结论：①∠DCE=60°②PQ=3③五边形ABECD的面积是24④△PQH的周长为6.其中正确结论是.（填写序号）三综合题15．已知：在等边△ABC中点E是AB边所在直线上的一个动点（E与AB两点均不重合）点D在CB的延长线上且ED=EC.（1）如图①当E是AB边的中点时求证：AE=BD（2）如图②当E是线段AB边上任意一点时（1）中的结论是否一定成立？请说明理由（3）若点E是线段AB的延长线上任一点ED=ECAE=2AC=1求CD的长.16．阅读下列材料解答问题：定义：线段BM把等腰△ABC分成△ABM与△BCM（如图1）如果△ABM与△BCM均为等腰三角形那么线段BM叫做△ABC的完美分割线.（1）如图1已知△ABC中AB=AC，∠BAC=36∘BM为△ABC的完美分割线且CM<AM则∠C=°（2）如图2已知△ABC中AB=AC，∠BAC=108（3）如图3已知△ABC是一等腰三角形纸片AB＝ACAN是它的一条完美分割线且BN>NC将△ACN沿直线AN折叠后点C落在点C1处AC117．概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角那么称这两个三角形互为“等角三角形”.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形另一个与原来三角形是“等角三角形”我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.（1）理解概念

如图1在Rt△ABC中∠ACB=90°CD⊥AB请写出图中两对“等角三角形”（2）概念应用

如图2在△ABC中CD为角平分线∠A=40°∠B=60°.求证：CD为△ABC的等角分割线.（3）在△ABC中∠A=42°CD是△ABC的等角分割线直接写出∠ACB的度数.18．综合与实践：已知等腰三角形纸片ABC中AB＝AC∠BAC＝36°．现要将其剪成三张小纸片使每张小纸片都是等腰三角形（不能有剩余）．下面是小文借助尺规解决这一问题的过程请阅读后完成相应任务．作法：如图1所示①分别作ABAC的垂直平分线交于点P②连接PAPBPC．结论：沿线段PAPBPC剪开即可得到三个等腰三角形理由：∵点P在线段AB的垂直平分线上∴……..（依据）．同理PA＝PC．∴PA＝PB＝PC．∴△PAB△PBC△PAC都是等腰三角形任务：（1）上述过程中横线上的结论为括号中的依据为．（2）受小文的启发同学们想到另一种思路：如图2以B为圆心BC长为半径画弧交AC于点D交AB于点E．在此基础上构造两条线段（以图中标有字母的点为端点）作为裁剪线也可解决问题！请在图2中画出一种裁剪方案直接写出得到的三个等腰三角形及相应顶角的度数．（3）如图3等腰三角形纸片ABC中AB＝AC∠BAC＝108°请从AB两题中任选一题作答我选择题．A．请在图3中设计出一种裁剪方案将该三角形纸片分成三个等腰三角形（要求：尺规作图保留作图痕迹不写作法说明裁剪线）．B．请在图3中设计出一种裁剪方案将该三角形纸片分成四个等腰三角形且四个三角形互不全等（要求：尺规作图保留作图痕迹不写作法说明裁剪线）．19．如图已知点D是等边三角形ABC中BC边所在直线上的点连接AD过点D作∠ADF=60°DF与∠ACB的邻补角的平分线交于点F.（1）如图①当点D在线段BC上时过点D作DE∥AC且交AB于点E.求证：BD=BE（2）如图①在（1）的条件下求证：BC=CD+CF（3）如图②当点D在线段BC的延长线上时（2）中线段BCCDCF之间的数量关系式还成立吗？若成立请加以证明若不成立请写出线段BCCDCF之间新的数量关系式并说明理由.20．在边长为8的等边三角形ABC中点Q是BC上一点点P是AB上一动点点P以1个单位每秒的速度从点A向点B移动设运动时间为t秒.（1）如图1若BQ=6当t取何值时PQ//AC？（2）若点P从点A向点B运动同时点Q以2个单位的速度从点B经点C向点A运动当t为何值时△APQ为等边三角形（在图2中画出示意图）.（3）如图3将边长为AB=8的等边三角形ABC变换为ABAC为腰BC为底的等腰三角形且AB=AC=8BC=6点P运动到AB中点处静止后点MN分别为BCAC上动点点M以1个单位每秒的速度从点B向C运动同时点N以a个单位每秒的速度从点C向A运动当△BPM△CNM全等时直接写出a的值.参考答案解析1．【答案】C【知识点】等边三角形的判定与性质轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图当点M与A重合时点N与点B重合当点M与D重合时点N与点P重合∴点N在线段BP上运动∵△PDC是等边三角形点D是等边三角形ABC边BC的中点∴BD=DC=PD=PC∠BCP=60°∴∠CBP=30°∠BPC=90°作点D关于直线BP的对称点E连接CE与BP的交点就是DN+CN最小的位置且最小值为EC连接BEED∴∠CBP=∠EBP=30°△BDE是等边三角形∠CBE=60°∴BD=DC=DE∴∠BEC=90°∠BCE=30°∵BC=6∴BE=3CE=3∴DN+CN最小值为33故答案为：C.【分析】当点M与A重合时点N与点B重合当点M与D重合时点N与点P重合则点N在线段BP上运动根据等边三角形的性质可得BD=DC=PD=PC∠BCP=60°则∠CBP=30°∠BPC=90°作点D关于直线BP的对称点E连接CE与BP的交点就是DN+CN最小的位置且最小值为EC连接BEED则BD=DC=DE然后求出BECE的值据此求解.2．【答案】B【知识点】平行线的性质等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：如图过点P作PF∥BC交AC于点F

∵△ABC是等边三角形∠B=∠ACB=60°

∵PF∥BC

∴∠PFD=∠QCD∠APF=∠B=60°∠AFP=∠ACB=60°

∴∠AFP=∠APF=60°

∴△APF是等边三角形

∴AP=AF=PF

∵PE⊥AC

∴AE=EF

∵AP=PFAP=CQ

∴PF=CQ

在△PFD与△QCD中

∵∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDCPF=CQ

∴△PFD≌△QCD（AAS）

∴FD=CD

∴EF+FD=AE+CD

∴DE=AE+CD=12AC=12.

故答案为：B.

【分析】过点P作PF∥BC交AC于点F由等边三角形的性质得∠B=∠ACB=60°由平行线的性质得∠PFD=∠QCD∠APF=∠B=60°∠AFP=∠ACB=60°推出△APF是等边三角形得AP=AF=PF根据等边三角形的三线合一得AE=EF从而用AAS判断出△PFD≌△QCD得FD=CD3．【答案】D【知识点】三角形全等及其性质三角形全等的判定等边三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形∴BE=BCAB=DB∠ABD=∠EBC=60°∵∠ABD+∠DBE=∠ABE∠DBE+∠CBE=+∠CDB∴∠ABE=∠DBC在△ABE与△DBC中AB=DB∴△ABE≌△DBC∴∠EAB=∠CDB∵∠AFC=∠ADF+∠DAF=∠ADB+∠BDF+∠DAF∴∠AFC=∠EAB+∠DAF+∠ADB=120°∴∠AFD=60°故①④符合题意在△ABK与△DBF中过B作BG⊥AFBH⊥CD∴∠AGB=∠DHB=90°在△ABG与△DBH中∠AGB=∠DHB∴△ABG≌△DBH∴BG=BH∵BG⊥AFBH⊥CD∴BF平分∠AFC故②符合题意∵∠ABD=∠EBC=60°∴∠DBE=180°−∠ABD−∠CBE=180°−60°−60°=60°在ΔABK与ΔDBJ中∠KAB=∠JDB∴ΔABK≌ΔDBJ∵AK=DJBK=BJAK+BK=DJ+BJ在线段FA上截取FM=FB∵由②的证明可知∠AFB=CFB=60°∴△MBF是等边三角形∴MB=MF=FB又∵∠MBF=∠ABD=60°∴∠ABM=∠DBF又∵AB=DB∴△ABM≅△DBF∴AM=DF∴AF=AM+MF=DF+BF∴③符合题意故答案为：D

【分析】利用等边三角形的性质全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。4．【答案】C【知识点】等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-SAS三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE是等边三角形∴AC＝BCCD＝CE∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠BCD＝60°∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE∠CAD＝∠CBE故选项A不合题意∵∠DOE＝∠DAC+∠BEC∴∠DOE＝∠CBE+∠BEC＝∠ACB＝60°故选项B不合题意在△ACP和△BCQ中∠CAD=∠CBE∴△ACP≌△BCQ（ASA）∴PC＝CQ又∵∠BCD＝60°∴△CPQ是等边三角形∴∠CPQ＝60°∴∠CPQ＝∠ACB∴PQ∥AE故选项D不合题意.故答案为：C.【分析】根据等边三角形的性质得AC＝BCCD＝CE∠ACB＝∠DCE＝60°进而根据平角的定义可得∠BCD＝60°∠ACD＝∠BCE＝120°用SAS判断出△ACD≌△BCE根据全等三角形的性质得AD＝BE∠CAD＝∠CBE进而得∠DOE＝∠DAC+∠BEC=∠CBE+∠BEC＝∠ACB＝60°用ASA判断出△ACP≌△BCQ根据全等三角形的性质得PC=CQ易得△CPQ是等边三角形根据等边三角形的性质得∠CPQ＝∠ACB=60°进而根据内错角相等两直线平行得PQ∥AE从而即可一一判断得出答案.5．【答案】D【知识点】三角形的面积三角形内角和定理等腰三角形的性质等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-SAS【解析】【解答】解：如图1连接OB∵AB＝ACAD⊥BC∴BD＝CD∠BAD＝12∠BAC＝1∴OB＝OC∠ABC＝90°-∠BAD＝30°∵OP＝OC∴OB＝OC＝OP∴∠APO＝∠ABO∠DCO＝∠DBO∴∠APO+∠DCO＝∠ABO+∠DBO＝∠ABD＝30°故①正确∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°∴∠APC+∠DCP＝150°∵∠APO+∠DCO＝30°∴∠OPC+∠OCP＝120°∴∠POC＝180°-（∠OPC+∠OCP）＝60°∵OP＝OC∴△OPC是等边三角形故②正确如图2在AC上截取AE＝PA∵∠PAE＝180°-∠BAC＝60°∴△APE是等边三角形∴∠PEA＝∠APE＝60°PE＝PA∴∠APO+∠OPE＝60°∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°∴∠APO＝∠CPE∵OP＝CP在△OPA和△CPE中PA=PE∴△OPA≌△CPE（SAS）∴AO＝CE∴AC＝AE+CE＝AO+AP故③正确如图3过点C作CH⊥AB于H∵∠PAC＝∠DAC＝60°AD⊥BC∴CH＝CD∴S△ABC＝12S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC＝12AP•CH+12OA•CD＝12AP•CH+12OA•CH＝∴S△ABC＝S四边形AOCP故④正确.故答案为：D.【分析】连接OB由等腰三角形的性质可得BD＝CD∠BAD＝12∠BAC＝60°则OB＝OC∠ABC＝30°由已知条件可知OP＝OC则OB＝OC＝OP然后根据等腰三角形的性质可判断①由内角和定理可得∠APC+∠DCP＝150°结合①的结论可得∠OPC+∠OCP＝120°利用内角和定理可得∠POC＝60°然后根据等边三角形的判定定理可判断②在AC上截取AE＝PA易得△APE是等边三角形∠PEA＝∠APE＝60°PE＝PA利用SAS证明△OPA≌△CPE得到AO＝CE进而判断③过点C作CH⊥AB于H则CH＝CDS△ABC＝12AB•CH由S四边形AOCP＝S△ACP+S△AOC表示出S四边形AOCP据此判断6．【答案】A【知识点】等边三角形的判定【解析】【解答】解：∵A1B1⊥OM∠MON=30°OA1=3∴B1O=3÷cos30°=2∵OB1=B1A2∴∠B1A2O=30°∴∠A2B1B2=60°∵A2B2⊥OM∴∠B2A2B1=60°∴△B1A2B2是等边三角形∴A2B2=2∴△B2A3B3是等边三角形∴A3B3=2×2=4=22同理可得△B2021A2022B2022是等边三角形∴A2022B2022=22021故答案为：A．

【分析】根据题意可知△B1A2B2△B2A3B3是等边三角形以此类推可得△B2021A2022B2022是等边三角形即可求解。7．【答案】D【知识点】三角形的面积等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-AAS【解析】【解答】解：如图延长RD交AB于点J延长QF交AC于点N

∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60°AB=BC=AC

∵RJ⊥ABPE⊥BCQN⊥AC

∴∠AJR=∠QNC=90°∠JPD=30°

∴∠EDF=∠JDP=60°

同理得∠DFE=∠DEF=60°

∴△DEF是等边三角形

∴△DEF的面积=34DF2

∵AP＝BQ＝CR

∴CQ=AR

∴△QNC≌△RJA（AAS）

∴AJ=CN

设AP＝BQ＝CR=aAB=BC=AC=b

∴AR=b-a

∴AJ=CN=12AR=b−a2

∴JR=3b−a2

∴PJ=AJ-AP=b−3a2=NR

∴JD=33PJ=3b−3a6=NF

∴RF=2NF=3b−3a3

∴DF=JR-JD-RF=3a

∴△DEF的面积=34DF2=334a2=334AP2

∴要求△DEF的面积则只需知道AP的长.

故答案为：D.

【分析】延长RD交AB于点J延长QF交AC于点N根据等边三角形的性质和判定得出△DEF是等边三角形得出△DEF的面积=34DF2再证出△QNC≌△RJA得出AJ=CN设AP＝BQ＝CR=aAB=BC=AC=b然后表示出AJJRPJJD8．【答案】C【知识点】等边三角形的判定与性质轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图∵ΔABC是等边三角形∴BA=BC∵D为AC中点∴BD⊥AC

∵AQ=4QD=3∴AD=DC=AQ+QD=7作点Q关于BD的对称点Q'连接PQ'交BD于E连接QE此时PE+QE的值最小最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'∵AQ=4AD=DC=7∴QD=DQ∴CQ∴AP=AQ∵∠A=60°∴ΔAPQ∴PQ∴PE+QE的最小值为10.故答案为：C.【分析】作点Q关于BD的对称点Q'连接PQ'交BD于E连接QE此时PE+QE的值最小最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ'进而判断△APQ'是等边三角形即可解决问题.9．【答案】②⑤【知识点】等腰三角形的判定与性质【解析】【解答】①过点B作∠B的角平分线∵AB=AC∠A=36°∴∠B=∠C=72°∴∠ABD=∠CBD=36°∠BDC=72°∴△ABD和△BCD是等腰三角形∴①符合题意②不能分成两个小等腰三角形③过点A作∠A的角平分线∴∠BAD=∠CAD=45°∵∠A=90°AB=AC∴∠B=∠C=45°∴△ABD和△ACD是等腰三角形∴③符合题意④把点A分成36°和72°的角∴∠BAD=36°∠CAD=72°∵∠A=108°AB=AC∴∠B=∠C=36°∴∠BAD=∠B∴△ABD和△ACD是等腰三角形∴④符合题意⑤不能分成两个小等腰三角形．∴②⑤不能分成两个小等腰三角形故答案为：②⑤．

【分析】利用等腰三角形的性质和判定方法及三角形的内角和逐项判断即可。10．【答案】103【知识点】等腰三角形的判定【解析】【解答】解：当PO=QO时ΔPOQ是等腰三角形如图1所示：∵PO=AO−AP=10−2t∴当PO=QO时10−2t=t解得t=10当PO=QO时ΔPOQ是等腰三角形如图2所示：∵PO=AP−AO=2t−10OQ=t∴当PO=QO时2t−10=t解得t=10故答案为：103

【分析】分两种情况：①当PO=QO时ΔPOQ是等腰三角形②当PO=QO时ΔPOQ是等腰三角形据此分别解答即可.11．【答案】6【知识点】等边三角形的判定与性质轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：作A关于BC的对称点A'连接A'B∵∠C=90°∠B=30°∴∠A=60°∵PA=∴△AA∴AP+DP=A'∴AP+DP的最小值为A'到AB的距离故答案为：6.

【分析】作A关于BC的对称点A'连接A'BA'P易证△AA'B为等边三角形可得AP+DP的最小值为A12．【答案】①②④【知识点】三角形全等的判定角平分线的性质等边三角形的判定与性质轴对称的性质【解析】【解答】解：∵△ABC为等边三角形∴AB=BC∠ABE=∠BCF=60°又∵BE＝CF∴△ABE≌△BCF（SAS）故①正确延长GE至H'使G由①得△ABE≌△CBF∴∠BAE=∠FBC∴∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°又∵GH∴△BGH∴BG=GH∵点D与点C关于直线AB对称∴AD=ACBD=BC∴AD=BD=AB∴△ABD也是等边三角形∴AB=BD∠ABD=60°∵∠AB∴∠ABH又DB=ABBG=BH∴△DBG≌△ABH∴DG=AH∵AH∴DG=AG+BG故②正确连接HF∵△DBG≌△AB∴∠BDG=∠BAE∴∠ADB-∠BDG=∠BAC-∠BAE即∠ADH=∠GAF又∵AD=AC∠ACE=∠DAH∴△ADH≌△CAE（ASA）∴AH=CE又∵CE=BC-BE=AC-FC=AF∴AH=AF∵∠HAF=60°∴△AHF是等边三角形④正确当EF分别为BCAC的中点时则H为AB的中点又∵△ABC是等边三角形∴此时G是△ABC三条角平分线的交点∴HG=GE=GF故③错误故答案为：①②④.【分析】根据等边三角形的性质可得AB=BC∠ABE=∠BCF=60°由已知条件可知BE＝CF然后根据全等三角形的判定定理可判断①延长GE至H′使GH′=GB由①得△ABE≌△CBF则∠BAE=∠FBC根据角的和差关系可得∠BGE=∠ABG+∠BAE=60°易得△BGH′是等边三角形则BG=GH′=BH′∠GBH′=60°由轴对称的性质可得AD=ACBD=BC推出△ABD是等边三角形得到AB=BD∠ABD=60°证明△DBG≌△ABH′则DG=AH′据此判断②连接HF根据全等三角形的性质可得∠BDG=∠BAE由角的和差关系可得∠ADH=∠GAF证明△ADH≌△CAE得到AH=CE推出AH=AF结合等边三角形的判定定理可判断④当EF分别为BCAC的中点时则H为AB的中点由等边三角形的性质可得此时G是△ABC三条角平分线的交点据此判断③.13．【答案】80°或100°【知识点】三角形的外角性质等腰三角形的性质等边三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵∠A=60°BP和PQ把△ABC分割成三个三角形都是等腰三角形∴△ABP是等边三角形∴∠APB=∠ABP=60°∴∠BPC=120°令∠CBP=x°

①如图：

当QB=QPCP=CQ时∠CBP=∠BPQ=x°∴∠CQP=∠CPQ=2x°∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC∴2x+x=120°解得x=40°∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°②如图：

当QB=QPQP=QC时∠CBP=∠BPQ=x°∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=2x°∴∠QPC=90°-x°∵∠BPQ+∠CPQ=90°-x+x=90°=∠BPC又∠BPC=120°∴不符合题意舍去③如图：

当QB=QPPC=PQ时∠CBP=∠BPQ=x°∴∠CQP=∠C=2x°∴∠CPQ=180°-4x∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC∴x+180°-4x=120°解得x=20°∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°④如图：

当BP=BQPQ=PC时∠BPQ=90°-12x∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+12又∠CQP=∠C=90°+12∴∠CPQ=180°-2（90°+12x）=-x不符合题意⑤如图：

当BP=BQQP=QC时∠BPQ=90°-12x∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+12∴∠QPC=45°-14∵∠BPQ+∠CPQ=∠BPC∴90°-12x+45°-1解得x=20°∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+20°=80°⑥如图：

当BQ=BPCP=CQ时∠BPQ=90°-12x∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=90°+12∵∠BPC=∠BPQ+∠CPQ=90°-12x+90°+1CPB三点共线不符合题意舍去⑦如图：

当PB=PQCP=CQ时∠BPQ=180°-2x∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x∴∠QPC=180°-x∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+180°-x=∠BPC又∠BPC=120°∴180°-2x+180°-x=120°解得x=80°∵∠A+∠ABC=60°+60°+80°=200°＞180°∴不成立舍去⑧如图：

当PB=PQPC=PQ时∠BPQ=180°-2x∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x∴∠QPC=2x-180°∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+2x-180°=0°=∠BPC又∠BPC=120°∴不符合题意舍去⑨如图：

当PB=PQQC=QP时∠BPQ=180°-2x∴∠CQP=∠BPQ+∠CBP=180°-x∴∠QPC=12∵∠BPQ+∠CPQ=180°-2x+12解得x=40°∴∠ABC=∠ABP+∠CBP=60°+40°=100°综上可知∠ABC的度数可以是80°或100°故答案为：80°或100°.【分析】由题意可得△ABP是等边三角形得到∠APB=∠ABP=60°则∠BPC=120°令∠CBP=x°①当QB=QPCP=CQ时∠CBP=∠BPQ=x°根据等腰三角形的性质以及外角的性质可得∠CQP=∠CPQ=2x°根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算②当QB=QPQP=QC时∠CBP=∠BPQ=x°同理可得∠CQP=2x°∠QPC=90°-x°然后根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC进行计算③当QB=QPPC=PQ时∠CBP=∠BPQ=x°易得∠CQP=∠C=2x°∠CPQ=180°-4x根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC求出x然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算④当BP=BQPQ=PC时∠BPQ=90°-12x∠CQP=90°+12x然后表示出∠CPQ据此解答⑤当BP=BQQP=QC时∠BPQ=90°-12x∠CQP=90°+12x∠QPC=45°-14x根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x然后根据∠ABC=∠ABP+∠CBP进行计算⑥当BQ=BPCP=CQ时∠BPQ=90°-12x∠CQP=90°+12x推出CPB三点共线不符合题意⑦当PB=PQCP=CQ时∠BPQ=180°-2x∠CQP=180°-x∠QPC=180°-x根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得x据此解答⑧当PB=PQPC=PQ时∠BPQ=180°-2x∠CQP=180°-x∠QPC=2x-180°根据∠BPQ+∠CPQ=∠BPC可得∠BPC=120°不合题意⑨当PB=PQQC=QP时∠BPQ=180°-2x∠CQP=180°-x14．【答案】①③④【知识点】三角形三边关系等边三角形的判定与性质轴对称的性质【解析】【解答】解：∵HD关于AC对称点P是AC上的点∴PD=PHΔDAC≌ΔHAC∠DCA=∠HCA.同理可得QE=QHΔEBC≌ΔHBC∠ECB=∠HCB.①∠DCE=∠DCH+∠HCE=2∠ACH+2∠HCB=2∠ACB=2×30°=60°故①正确④△PQH的周长=PH+PQ+QH=PD+PQ+QE=DE.由①知∠DCE=60°CD=CH=CE故ΔDCE是等边三角形.∴DE=DC=CH=6故④正确②在△PQH中PD+QE=PH+QH>PQ而PD+QE+PQ=DE=6即PH+QH=6−PQ∴6−PQ>PQ∴PQ<3故②错误③S五边形ABECD=2SΔABC=2×故答案为：①③④.【分析】利用轴对称的性质可证得PD=PH△DAC≌△HAC∠DCA=∠HCA同理可得到QE=QH△EBC≌△HBC∠ECB=∠HCB再证明∠DCE=2∠ACB代入计算可求出∠DCE的度数可对①作出判断利用有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可证得△DCE是等边三角形利用等边三角形的性质可得到DE=DC=CH=6再证明△PQH的周长就是DE的长可对④作出判断利用三角形三边关系定理可证得PD+QE=PH+QH＞PQ再证明PH+QH=6-PQ由此可求出PQ的取值范围可对②作出判断易证五边形ABECD的面积=2△ABC的面积由此可求出五边形ABECD的面积可对③作出判断综上所述可得到正确结论的序号.15．【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形点E为AB的中点∴∠ABC=∠ACB=60°，CE平分∠ACB，AE=BE∴∠ECB=∵DE=CE∴∠D=∠ECB=30°∵∠ABC=∠D+∠DEB∴∠DEB=∠ABC−∠D=30°∴∠D=∠DEB∴BD=BE∴AE=BD（2）解：当点E为线段AB上任意一点时（1）中的结论成立理由如下：如图②过E作EF∥BC交AC于F∵△ABC是等边三角形∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC∴∠AEF=∠ABC=60°∠AFE=∠ACB=60°即∠AEF=∠AFE=∠A=60°∴△AEF是等边三角形∴AE=EF=AF∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°∴∠DBE=∠EFC=120°∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°∵DE=EC∴∠D=∠ECD∴∠BED=∠ECF在△DEB和△ECF中∠DBE=∠EFC∴△DEB≌△ECF(AAS)∴BD=EF∴AE=BD（3）解：如图③过E作EF∥BC交AC的延长线于F则△AEF为等边三角形∠ECD=∠CEF∴AF=AE=EF=2，∠F=60°∵EC=ED∴∠D=∠ECD∴∠CEF=∠D∵△ABC是等边三角形∴BC=AC=1，∠ABC=60°∴∠DBE=∠ABC=60°∴∠F=∠DBE在△CEF和△EDB中∠F=∠DBE∠CEF=∠DEC=DE∴△CEF≌△EDB(AAS)∴BD=EF=2∴CD=BD+AC=2+1=3.【知识点】等腰三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质三角形全等的判定-AAS【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质证出∠D＝∠DEB则BD＝BE即可得出结论

（2）过E作EF∥BC交AC于F证△AEF是等边三角形得AE＝EF＝AF再利用AAS证△DEB≌△ECF得BD＝EF即可得出结论

（3）过E作EF∥BC交CA的延长线于F则△AEF为等边三角形得AF＝AE＝EF＝2∠F＝60°再利用AAS证△CEF≌△EDB得BD＝EF＝2即可得出答案．16．【答案】（1）72108（2）证明：∵AB=AC∠BAC=108°∴∠B＝∠C＝12∵AC=CN∴∠CAN＝∠CNA＝12∴∠BAN=∠BAC-∠NAC=108°-72°=36°∴∠BAN=∠B∴NA=NB∴△ABN△ACN均为等腰三角形∴AN为△ABC的完美分割线（3）证明：∵AN是△ABC的一条完美分割线∴AN=CNAB=BN∴∠C=∠CAN∠BAN=∠BNA∴∠BNA=∠C+∠CAN=2∠CAN∴∠BAN=2∠CAN∵∠CAN=∠C1AN∴∠BAN=2∠C1AN∵∠BAN=∠C1AN+∠BAM∴∠C1AN=∠BAM∵AC=AB∴∠C=∠B∵∠C=∠C1∴∠C1=∠B∵AC=AC1∴AC1=AB∴△AC1N≌△ABM（ASA）∴NC1=BM.【知识点】三角形内角和定理等腰三角形的判定与性质三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】（1）∵AB=AC∠BAC=36°∴∠C=（180°-∠BAC）÷2=144°÷2=72°∵BM为△ABC的完美分割线且CM＜AM∴∠ABM=∠BAC=36°∴∠AMB=180°-∠BAC-∠ABM=180°-36°-36°=108°故答案为：72108

【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得∠C=（180°-∠BAC）÷2=72°利用“完美分割线”的定义可得∠ABM=∠BAC=36°根据三角形内角和定理求出∠AMB即可

（2）根据两底角相等的三角形为等腰三角形证△ABN△ACN均为等腰三角形根据“完美分割线”的定义即可判断

（3）根据ASA证明△AC1N≌△ABM利用全等三角形的性质即得结论.17．【答案】（1）解：△ABC与△ACD△ABC与△BCD△ACD与△BCD是“等角三角形”（2）证明：∵在△ABC中∠A=40°∠B=60°∴∠ACB=180°−∠A−∠B=80°∵CD为角平分线∴∠ACD=∠DCB=1∴∠ACD=∠A∠DCB=∠A∴CD=DA∵在△DBC中∠DCB=40°∠B=60°∴∠BDC=180°−∠DCB−∠B=80°∴∠BDC=∠ACB∵CD=DA∠BDC=∠ACB∠DCB=∠A∠B=∠B∴CD为△ABC的等角分割线（3）解：∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.【知识点】三角形内角和定理等腰三角形的判定与性质角平分线的概念【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°

∴∠A+∠B=90°

∵CD⊥AB

∴∠ADC=∠CDB=90°

∴∠A+∠ACD=90°∠B+∠BCD=90°

∴∠A＝∠BCD∠ACD＝∠B

∴△ABC与△ACD△ABC与△BCD△ACD与△BCD都是等角三角形

（3）当△ACD是等腰三角形DA=DC时∠ACD=∠A=42°∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°当△ACD是等腰三角形DA=AC时∠ACD=∠ADC=69°∠BCD=∠A=42°∴∠ACB=69°+42°=111°

当△ACD是等腰三角形AC=CD时∠A=∠ADC=42°

∠ACD=180°-42°-42°=96°∠BCD=∠A=42°

∴∠ACB=96°+42°=138°而∠A+∠ACB=138°+42°=180°所以CB与AB不可能相交此种情况不存在当△BCD是等腰三角形DC=BD时∠ACD=∠BCD=∠B=46°∴∠ACB=92°当△BCD是等腰三角形DB=BC时∠BDC=∠BCD设∠BDC=∠BCD=x则∠B=180°−2x则∠ACD=∠B=180°−2x由题意得180°−2x+42°=x解得x=74°∴∠ACD=180°−2x=32°∴∠ACB=106°

当△BCD是等腰三角形CD=CB时∠B=∠CDB∠ACD=∠B而∠CDB＞∠ACD故此种情况不存在.∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°.【分析】（1）推出∠A＝∠BCD∠ACB＝∠B∠ADC＝∠BDC从而得出结论

（2）根据三角形的内角和定理得∠ACB的度数进而根据角平分线的定义得∠ACD=∠DCB=40°则∠ACD＝∠A∠BCD＝∠A＝60°∠B＝∠B∠BDC＝∠ACB＝80°从而得出结论

（3）分为当△ACD是等腰三角形和△BCD是等腰三角形当△ACD是等腰三角形时再分为：AC＝ADAD＝CDAC＝CD三种情形讨论同样当△BCD是等腰三角形时也分为三种情形讨论．18．【答案】（1）PA=PB线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等（2）解：如图连接BDDE由作法知BC=BD=BE则△BCD△BDE是等腰三角形∵AB＝AC∠BAC＝36°∴∠ABC=∠ACB=72°∵BC=BD∴∠BDC=∠ACB=72°∴∠DBC=36°∴∠EBD=∠ABC−∠DBC=36°∵BD=BE∴∠BED=∠BDE=72°∴∠AED=180°−∠BED=108°∴∠EDA=180°−∠BAC−∠AED=36°∴AE=DE即△ADE是等腰三角形．综上△ADE的顶角为108°△BDE的顶角为36°△BDC的顶角为36°如图连接DECE则BC=BE∴△BCE是等腰三角形且顶角为72°∠BEC=∠BCE=54°∴∠DCE=∠ACB←∠BCE=18°连接BD由上一种裁剪方法知BD平分∠ABC则△BCD≌△BED（SAS）∴CD=DE即△DCE是等腰三角形且顶角∠EDC=180°−2×18°=144°∴∠ADE=180°−∠EDC=36°=∠BAC∴AE=DE即△AED是等腰三角形且顶角∠AED=180°−2∠BAC=108°综上△ADE的顶角为108°△BCE的顶角为72°△DCE的顶角为144°．（3）解：选A：分别以BC为圆心AB长为半径画弧两弧与BC相交于点DE连接ADAE则△ABD△ACE△ADE三个三角形都是等腰三角形如下图所示裁剪线段为ADAE选B：以B为圆心AB长为半径画弧与BC相交于D连接AD对于等腰△ABD按照图1中的裁剪方法即可得到四个等腰三角形：△ACD△ADE△DEF△BEF其中裁剪线为ADDEEF．【知识点】线段垂直平分线的性质等腰三角形的判定【解析】【解答】解：（1）∵点P在线段AB的垂直平分线上

∴PA=PB．

同理PA＝PC．

∴PA＝PB＝PC．

∴△PAB△PBC△PAC都是等腰三角形．

故答案为：PA=PB线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质解答

（2）根据三角形内角和定理等腰三角形的性质解答

（3）根据等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质解答。19．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=∠B=∠BCA=60°∵