2025-2026学年山东省青岛市高二下册部分学生调研检测数学试题 含答案

/数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则M、N、P的关系满足（）A. B.C. D.2.已知平面向量且，则一定共线的三点是（

）A.，， B.，， C.，， D.，，3.已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.4.已知函数，则（）A.为奇函数 B.为偶函数C.为奇函数 D.为偶函数5.某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（）A. B. C. D.6.设，，，则（）A. B. C. D.7.桌面上有以下四种几何体，设P是几何体表面上的一点，任意转动几何体（始终与桌面保持接触），则点P到桌面的距离最大的几何体是（）A.棱长为1的正方体 B.表面积为的球C.轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D.体积为且轴截面为直角三角形的圆锥8.数列的前n项和为，数列与函数满足：（1）定义域为；（2）与均单调递减；（3）使Sn=fan.则称与具有“D关系”.给出结论：①与具有“D关系”②与fx=−2③与−2④与−2n其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是（）A.棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点B.四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥C.任意一个棱柱的侧面都是矩形D.正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为10.已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是（）A.当时，曲线为椭圆，其焦距为8B.当时，曲线为双曲线，其离心率为C.存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线D.存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆11.某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图1）是一种被称为“星形线”的曲线．图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为，则下列说法正确的是（）．A.在E上任取一点P，则的最小值为B.在E上任取一点A，点B与点A关于直线对称，点C与点B关于y轴对称，则是等腰直角三角形C.若函数的最大值为b，则点在该星形线上D.若E上三点满足，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的值为___________.13.从1，2，3，…，11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数，，，则能被4整除的概率为________14.已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则__________.四、解答题：本题共2小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某公司调查员工使用AI工具熟练度，统计如下表：

熟练使用AI不熟练使用AI男员工3015女员工169（1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI熟练度有关？（2）从男员工按是否熟练使用AI进行分层抽样，抽取12人，再从中抽3人，记不熟练人数为X，求X的分布列与数学期望.参考公式：，.16.如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，分别为底面的中心和的中点．（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．17.设函数.（1）证明：；（2）已知函数.（i）若，求；（ii）若，，，求函数与及围成的曲边三角形AOB的面积.18.已知抛物线上一点到它的准线的距离为3.若点A，B，C都在抛物线上，且点A，C在y轴右侧、点B在y轴左侧，的重心G在y轴上，直线AB交y轴于点M且满足，直线BC交轴于点N.记，，的面积分别为，，.（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的取值范围.19.设函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）在中，内角，，所对的边长分别为a，b，c.（i）若，求的最小值；（ii）证明.

数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则M、N、P的关系满足（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：根据给定条件，将集合中元素化为统一形式，进而判断各选项.解答过程：依题意，，，所以对任意，存在使，令，则且，所以.同理，对任意，存在使，令，则且，所以，综上，.，则，所以的关系满足.故选：A2.已知平面向量且，则一定共线的三点是（

）A.，， B.，， C.，， D.，，答案：A解析：思路：先考虑向量共线时，的位置关系，再考虑向量不共线时，利用向量共线定理和平面向量基本定理逐项判断即可.解答过程：若向量共线，则共线，此时共线，当向量不共线时，对于A选项，，所以三点共线，A正确；对于B选项，设，则，即无解，B错误；对于C选项，设，则，即，无解，C错误；对于D选项，，设，即，即，无解，D错误．故选：A3.已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：因为，，所以，所以，所以，解得或，所以实数a的取值范围是.4.已知函数，则（）A.为奇函数 B.为偶函数C.为奇函数 D.为偶函数答案：B解析：思路：先利用诱导公式求出，再根据定义可判断其为偶函数，而根据反例可判断ACD的正误.解答过程：对于A，，设，，，其中，故不为奇函数，为偶函数，故A错误，B正确.，其中，设，则，故故既不是奇函数，也不是偶函数，故CD错误.5.某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解.解答过程：如图所示，作出花瓶的纵截面，因为横截面圆最小直径为40，所以，解得，将，代入可得，，解得，所以该花瓶的高为.6.设，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：构造函数，利用导数与函数单调性的关系，求出的单调减区间，进而利用单调性比较大小即可.解答过程：令，则.由，得.所以当时，，；当时，，.所以在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即.7.桌面上有以下四种几何体，设P是几何体表面上的一点，任意转动几何体（始终与桌面保持接触），则点P到桌面的距离最大的几何体是（）A.棱长为1的正方体 B.表面积为的球C.轴截面是边长为1的正方形的圆柱 D.体积为且轴截面为直角三角形的圆锥答案：D解析：思路：逐一求出选项ACD中几何体外接球直径及选项B中球的直径即可.解答过程：对于A，棱长为1的正方体外接球直径为，点P到桌面的距离最大值为；对于B，表面积为的球直径为2，点P到桌面的距离最大值为2；对于C，轴截面是边长为1的正方形的圆柱外接球直径为，点P到桌面的距离最大值为；对于D，设体积为且轴截面为直角三角形的圆锥底面圆半径为，则，解得，因此此圆锥外接球直径为3，点P到桌面的距离最大值为3.8.数列的前n项和为，数列与函数满足：（1）定义域为；（2）与均单调递减；（3）使.则称与具有“D关系”.给出结论：①与具有“D关系”②与具有“D关系”③与具有“D关系”的函数有有限个④与具有“D关系”的函数有无限个其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：思路：根据数列与函数具有“D关系”的定义计算判断①②，设，结合题意计算判断③④.解答过程：对于①，是公差为的等差数列，单调递减，函数是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为，其前项和，令，则，解得或（舍去）所以使成立，故与具有“D关系”，①正确；对于②，是以公比为且首项的等比数列，单调递减，是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为，其前项和，令，则，解得，所以使成立，故与具有“D关系”，②正确；对于③，数列单调递减，设，此时是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为，数列的前项和为，令，则，即，所以取时，即可保证恒有解，故与数列具有“D关系”的函数有无限个，故③错误；对于④，数列单调递减，设，此时是斜率为的一次函数，单调递减，定义域为，数列的前项和为令，则，即，所以取时，即可保证恒有解，故与数列具有“D关系”的函数有无限个，故④正确；综上所有正确结论的个数为.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.9.下列是四个关于多面体的命题，其中正确的是（）A.棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点B.四棱锥中，四边形的对角线交点为，若平面，则该四棱锥是正四棱锥C.任意一个棱柱的侧面都是矩形D.正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，且它的所有顶点在球的表面上，则球的表面积为答案：AD解析：思路：根据多面体的相关概念，逐项分析判断即可判断ABC，对D，根据长方体外接球直径公式和球的表面积公式即可判断.解答过程：对A，用一个平行于底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的几何体就是棱台，所以棱台的所有侧棱所在直线必交于同一个点，故A正确；对B，由四边形的对角线交点为平面，无法确定四边形是正方形，所以四棱锥不一定是正四棱锥，故B错误；对C，任意一个棱柱的侧面都是平行四边形，直棱柱的侧面都是矩形，故C错误；对D，球的直径，所以半径，则球的表面积为，故D正确.故选：AD10.已知曲线的方程为，则下列结论不正确的是（）A.当时，曲线为椭圆，其焦距为8B.当时，曲线为双曲线，其离心率为C.存在实数，使得曲线为焦点在轴上的双曲线D.存在实数，使得曲线为焦点在轴上的椭圆答案：ACD解析：思路：当取不同值时，得到曲线的方程，明确曲线类型及的值，求出对应曲线的焦距，即可判断A；求出对应曲线的离心率，即可判断B；根据题目条件，列出不等式组，根据不等式组解的情况，即可判断C，D.解答过程：对于A，当时，曲线的方程为，是椭圆.其中，则，所以焦距，故A错误；对于B，当时，曲线的方程为，是双曲线.其中，则，，所以离心率为，故B正确；对于C，若曲线为焦点在轴上的双曲线，需满足，即，不等式组无解，所以不存在这样的实数，故C错误；对于D，若曲线为焦点在轴上的椭圆，需满足，其中可化为，此不等式无解，所以不等式组无解，所以不存在这样的实数，故D错误；故选：ACD11.某款公交车的车门打开和关闭时，车门在地板上扫过的痕迹边缘（如图1）是一种被称为“星形线”的曲线．图2中的曲线E就是一条星形线，其方程为，则下列说法正确的是（）．A.在E上任取一点P，则的最小值为B.在E上任取一点A，点B与点A关于直线对称，点C与点B关于y轴对称，则是等腰直角三角形C.若函数的最大值为b，则点在该星形线上D.若E上三点满足，则答案：BCD解析：思路：由两点间的距离公式及基本不等式，求得的最小值，判断A；根据关于直线对称和关于y轴对称的点的特征，利用向量的模及夹角的坐标表示判断的形状，判断B；利用导数分析函数的单调性，并求得最大值，从而得到的值，代入曲线E的方程，判断C；由单位圆及正三角形的性质，得的关系，判断D.解答过程：对于A，设，则，由对称性，只需要考虑的情形，此时，当且仅当时取等号，则的最小值为，故A错误；对于B，设，则，，向量，，显然，所以，且，所以是等腰直角三角形，故B正确；对于C，由，得，令，得，，此时，令，，，因为在上单调递减，是增函数，所以在上单调递减.所以当时，，所以，所以单调递增；当时，，所以，所以单调递减.所以在处取得极大值，即最大值，最大值为，即，整理得，故C正确；对于D，在单位圆上取三点，则的外接圆即为该单位圆，点为外接圆圆心.的重心为，即，故的外心与重心重合，是正三角形，.不妨取，，则，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的值为___________.答案：##解析：解答过程：因为，所以，则，故.13.从1，2，3，…，11这11个数中随机抽取3个互不相同的正整数，，，则能被4整除的概率为________答案：解析：思路：由题意知a，b，c中至少有1个数为偶数，分类讨论，求出对应的总数，结合古典概型的概率公式计算即可求解.解答过程：考虑abc能被4整除的抽法：由abc能被4整除可知，a，b，c中至少有1个数为偶数，若a，b，c中恰有1个偶数2个奇数，则偶数须为4或8，不同的抽法有种，若a，b，c中恰有2个偶数1个奇数，则不同的抽法有种，若a，b，c均为偶数，则不同的抽法有种，所以使abc能被4整除的不同抽法有种，因此abc能被4整除的概率为，故答案为.14.已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为__________，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则__________.答案：①.②.解析：思路：由题当平面平面时，这时三棱锥的体积最大，作出图形，依次确定外接圆的圆心，四边形的外接圆的圆心，再确定四棱锥的外接球的球心，求解外接球的半径，即可求出外接球的表面积；由，,就是相交所成的二面角的平面角，运算得解.解答过程：因为的面积为定值，所以当平面平面时，点到平面的距离最大，这时三棱锥的体积最大.设的中点为的中心为的中点为，则平面，∵四棱锥外接球的球心为，则平面，又，所以是四边形外接圆的圆心，故平面，则，此球的半径，所以外接球的表面积；这时，在中，又，,则，故.故，.四、解答题：本题共2小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某公司调查员工使用AI工具熟练度，统计如下表：

熟练使用AI不熟练使用AI男员工3015女员工169（1）根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI熟练度有关？（2）从男员工按是否熟练使用AI进行分层抽样，抽取12人，再从中抽3人，记不熟练人数为X，求X的分布列与数学期望.参考公式：，.答案：（1）无关（2）分布列见解析，解析：思路：1）利用卡方计算公式得出的值，再与临界值表对照可得结论；（2）根据分层抽样得出抽取的不熟练使用AI的有4人，利用古典概型结合组合数分别计算出概率，得到分布列，并计算数学期望即可.（1）零假设：使用AI熟练度与性别无关.由列联表可知，根据小概率值的独立性检验，不能认为性别与使用AI熟练度有关.（2）从男员工按是否熟练使用AI进行分层抽样，抽取12人，则熟练使用AI的有人，不熟练使用AI的有人，所以可能的取值为.，，，.的分布列为0123的数学期望.16.如图，在直四棱柱中，底面为矩形，，高为，分别为底面的中心和的中点．（1）求证：平面平面；（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．答案：（1）证明见详解（2）解析：思路：（1）连接，结合题意根据面面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面的夹角的余弦值，得到和的关系式即可求出的值.（1）连接，如图所示：因为底面为矩形，为底面的中心，所以为的中点，又为的中点，所以为的中位线，所以，因为，所以，所以四点共面，因为，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）由题意以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：由，则，则，设平面的法向量，则，令，则，所以，设平面的法向量，则，令，则，，所以，设平面与平面的夹角为，则，化简得：，解得：，所以.17.设函数.（1）证明：；（2）已知函数.（i）若，求；（ii）若，，，求函数与及围成的曲边三角形AOB的面积.答案：（1）证明见解析（2）（i）；（ii）解析：思路：（1）令，利用导数分析的单调性，即可证得；（2）（i）因为，所以进行累加可得，结合等差数列的前项和公式可求得，从而得到；（ii）将曲边三角形的边等分成n份，则曲边三角形可以看成由n个小矩形组成，根据（i）的结论，利用极限思想即可求得n个小矩形的面积和，即曲边三角形AOB的面积.（1）令，则恒成立，所以是增函数.所以.（2）（i）由，得.即.因为，所以，所以，所以.因此若，则；（ii）若将曲边三角形的边等分成n份，则曲边三角形可以看成由n个小矩形组成.把等分成份，在每一个小区间上，取右端点值，对应的函数值为.所以每个小矩形的面积为：，所以所有小矩形的面积和为.当时，，所以.所以曲边三角形AOB的面积为.18.已知