2025-2026学年山东省日照市高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的首项,公差,则A.5 B.7 C.9 D.112.已知数列满足，，则（）A. B. C.2 D.03.函数定义在区间，则“在上恒成立”是“在区间单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不必要也不充分条件4.设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（）A. B. C. D.5.记数列的前项和满足，则（）A. B. C. D.6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.7.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（）A.13 B.14 C.15 D.168.若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（）A.1 B. C.4 D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.和的等比中项为4C.取最大值时，的值为2或3 D.若，的最大值为510.已知函数，则（）A.B.函数有两个极值点C.方程有两个不同的根D.若函数在定义域内为增函数，则11.已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数，则__________.13.已知函数在处有极小值，则__________.14.已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列数列的前项和为，求．16.已知函数，.（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.17.已知函数的一个极值点是.（1）当时，求的单调区间；（2）设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围.18.已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，.（1）求的通项公式；（2）设第个群中所有项的和为，求；（3）在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围.19.已知函数和，直线与两条曲线和均相交.（1）若直线与两条曲线共有2个不同的交点，求实数的取值范围；（2）求同时与曲线和相切的直线条数；（3）若直线与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由.（注：，）

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的首项,公差,则A.5 B.7 C.9 D.11答案：C解析：思路：直接利用等差数列的通项公式，即可得到本题答案.解答过程：由为等差数列，且首项，公差，得.故选：C方法提示：本题主要考查利用等差数列的通项公式求值，属基础题.2.已知数列满足，，则（）A. B. C.2 D.0答案：A解析：解答过程：由已知，，，，，，.3.函数定义在区间，则“在上恒成立”是“在区间单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不必要也不充分条件答案：A解析：解答过程：若在上恒成立，则在区间单调递增，充分性满足；若在区间单调递增且可导，则在上（等号在某些点处取得），不能得到，比如在单调递增，但，以及还有不可导的情况，必要性不满足，因此“在上恒成立”

是

“在区间单调递增”的充分不必要条件.4.设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由的图象可得，在轴的左侧，图象下降，递减，即有导数小于0，可排除C，D；再由轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．5.记数列的前项和满足，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用与的关系求解即可.解答过程：因为，当；所以，当时，，符合上式，所以，故选：C.6.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先判断为定义域上的奇函数且导数恒正单调递增,再利用奇偶性把不等式化为,借助单调性得到二次不等式,求解得或.解答过程：函数的定义域为，且.即为上的奇函数.求导得.故在上单调递增.原不等式等价于.由单调性得，即，解得或.7.设等差数列的前项和为，若，则满足的正整数的值为（）A.13 B.14 C.15 D.16答案：D解析：思路：由与的关系及等差中项的性质结合题意计算可得.解答过程：因为，所以，，所以，因为是等差数列，则，即是递增数列，因为所以，又，，所以当时，；当时，；所以仅有，即满足的正整数n的值为16.8.若使得不等式对任意恒成立，则实数的最大值为（）A.1 B. C.4 D.答案：C解析：思路：令，将问题转化为使得不等式对任意恒成立，结合导数研究的单调性以及图像，数形结合求解.解答过程：令，其中，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递减．所以使得不等式对任意恒成立等价于使得不等式对任意恒成立．令得，由图可知，因此实数的最大值为4．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A. B.和的等比中项为4C.取最大值时，的值为2或3 D.若，的最大值为5答案：AC解析：思路：先设等差数列首项、公差，由、求出、，推出通项判定A正确，再算出得其等比中项为±4判定B错误，求出前项和，由二次函数性质知取2或3时最大判定C正确，解不等式得最大为4判定D错误，最终得正确选项为AC.解答过程：设等差数列的首项为，公差为.已知，，由得.由得.等差数列的通项公式为，故选项A正确.由通项公式可得，，设和的等比中项为，则，解得，因此选项B错误.等差数列的前项和公式为，配方得，因为，所以或时，取得最大值，选项C正确.令，即，解得，因为，所以满足的的最大值为，选项D错误.10.已知函数，则（）A.B.函数有两个极值点C.方程有两个不同的根D.若函数在定义域内为增函数，则答案：ACD解析：思路：先对求导代入求出,判定A正确,再代入得到解析式与导数,由导数零点仅有知只有一个极值点,判定B错误,构造求导分析单调性与最值,结合两端趋势知有两个零点,判定C正确,整理增函数对应的导数恒非负,用基本不等式求出最小值为4,得,判定D正确,最终选ACD.解答过程：已知，定义域为，求导得.令，则，解得，故选项A正确.将代入得，.令，得（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，故仅有一个极小值点，无极大值点，选项B错误.令，求导得.令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.，且和时，由零点存在定理有两个不同根，即方程有两个不同根，选项C正确.由在内为增函数，得恒成立，即恒成立.由基本不等式得，当且仅当时取等号，故，选项D正确.11.已知数列的通项公式为，，将按从小到大的顺序排列起来构成数列，.数列中落在区间内项的个数记为数列，，则下列结论正确的是（）A. B.C.若，则 D.若，则答案：ABD解析：思路：对于选项A，直接枚举满足条件的最小几项和并按升序排列.对于选项B，在给定区间内固定最大指数，通过枚举较小指数的可能组合并分类计数，得到区间内项数.对于选项C，先用2的幂表达，再求即可.对于选项D，利用区间端点均为2的幂的性质，确定区间内所有组合必以区间右端点的指数为最大指数，进而利用组合数与裂项相消法求和.解答过程：因为，，而．对于选项A，依次列举较小的的值，，，故A正确；对于选项B，，从中找落在内的项，当时，共4种情况；当时，共3种情况；当时，共2种情况；当时，共1种情况；所以种情况，故B正确；对于选项C，，中在前面的有当，恰好是从中选3个不同的数组合，共个；当，，恰好是从中选2个不同的数组合，个；当，，有，共2个；3种情况共个，则是第个，即，C错误.对于选项D，表示从中找落在内的项数．当时，共种情况；当时，共种情况；．．．．．．当时，共1种情况；所以，故所以，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设函数，则__________.答案：4解析：解答过程：函数，则.则，.13.已知函数在处有极小值，则__________.答案：解析：思路：先对求导因式分解得到，求出导数零点为与，由是极小值点推出或，再分别检验两处零点左右导数符号，判断单调性变化，排除后得到.解答过程：所以.令，得或.因为在处有极小值，所以是的变号零点，即或.①当时，，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；故处取极小值，符合题意.②当即时，，时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；是函数的极大值点，不合题意，舍去.综上得.14.已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为__________.答案：25解析：思路：分和两种情况讨论最小值.解答过程：若，则要使最小,取，，，，，，，，，时，最小，此时的最小值为.若，则必有，取，，，，，，，，时，才能使得最小，此时，因为，所以的最小值为25.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知数列是各项均为正数的等差数列，为其前项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列数列的前项和为，求．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列的通项即可得解；（2）利用分组求和法求解即可.（1）设数列的公差为．因为，所以，解得，所以；（2）由（1）可得，所以．16.已知函数，.（1）若函数在点处的切线方程为，求，的值；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：(1)求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出的值并验证即可(2)求出函数及导数，再由在上恒成立求出的范围（1）由题，，因为在处的切线为，所以，代入得切点为，切点在切线上，则.（2）由题，求导得，由在上单调递增，得在上恒成立，当时，，因此在上恒成立，又，则17.已知函数的一个极值点是.（1）当时，求的单调区间；（2）设，，若存在，，使得成立，求实数的取值范围.答案：（1）在上单调递增，在和上单调递减（2）解析：思路：（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数讨论，分析函数单调性；（2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解．（1）（），，因为函数的一个极值点是，，即，则有，则f'x=当时，令得或，列表如下：2－0＋0－减

增

减满足是函数的极值点；综上：当时，函数在上单调递增，在和上单调递减．（2）由（1）知，，且，在单调递增，在单调递减，又，，在上的最大值为，最小值为，又时函数在单调递增，在上的最大值为，最小值为，因为存在，，使得成立，即存在，，使得成立，则−a又，解得，所以实数的取值范围为．18.已知数列满足，，设，将数列的项按照如下规律分群，，，.（1）求的通项公式；（2）设第个群中所有项的和为，求；（3）在（2）的条件下，设数列满足，时，，若，，求实数的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由递推式取倒数构造等差数列,结合,求出首项与公差,进而得出通项公式.（2）先找准分群规律,确定第群的项数、首项和末项的下标,再利用等差数列求和公式,代入通项化简得到群和.（3）由递推累乘求出表达式,分离参数构造数列,作商判断单调性,求出最小值,进而得到的取值范围.（1）由，两边取倒数得.由，得.又，故.所以是以为首项，为公差的等差数列.故.（2）分群规律：第个群项，第个群项，，第个群有项.前群共有项数.所以第群首项为，末项为.,项数为，则.（3）时，，.时也满足，故.由，得.令..又，.时，时.故最小值为.所以，实数取值范围为.19.已知函数和，直线与两条曲线和均相交.（1）若直线与两条曲线共有2个不同的交点，求实数的取值范围；（2）求同时与曲线和相切的直线条数；（3）若直线与两条曲线共有四个不同的交点，从左到右四个交点的横坐标分别记为，，，，是否存在，使得，，，依次成等比数列？请说明理由.（注：，）答案：（1）（2）2（3）存在，理由见解析解析：思路：（1）根据导数得出的单调