2025-2026学年山东省日照市高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在平面直角坐标系内，角的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，则其终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.3.已知、，“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.若且，，则（）A. B. C. D.5.已知是第二象限角，，则（）A. B. C. D.6.已知函数，且的最小值为，则（）A.1 B.2 C.3 D.47.已知,若,则一定有（）A. B. C. D.8.已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（）A. B.2 C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.与夹角的余弦值为 D.10.已知函数的部分图象如图所示，阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（）A.函数的最小正周期为B.函数的一条对称轴为C.将函数向右平移个单位长度得到函数D.函数在区间上单调递增11.记函数，则（）A.的一个周期为B.函数在区间上单调递增C.函数的图象关于直线对称D.当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______．13.函数在一个周期内的图象经过、、三点．写出一个符合条件的函数的解析式______．14.已知正边形内接于单位圆，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点、在圆上，则的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递减区间．16.已知函数．（1）若，且，求的值；（2）在中，若，求的取值范围．17.如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为．（1）当时，设，求的值域；（2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值．18.已知函数，若的最小正周期为．（1）求的解析式；（2）若函数在上有三个不同零点，，，且．①求实数取值范围；②若，证明．19.已知为边长为的等边三角形，O为的重心．（1）求的值；（2）P为平面内一点，满足．（ⅰ）若，求的取值范围；（ⅱ）已知点M为边AC的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值．

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在平面直角坐标系内，角的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，则其终边在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：解答过程：，故从x轴正半轴开始，顺时针旋转，正好落在第三象限2.已知某扇形的圆心角为，半径为，则该扇形的面积为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用扇形的面积公式求解即可.解答过程：由题意可知，该扇形的面积为.3.已知、，“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：根据可得出、之间的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.解答过程：若，则或，所以“”“”，“”“”，故“”是“”的必要而不充分条件.4.若且，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由两角和的正切公式化简计算即可得解.解答过程：因为，由两角和的正切公式可得，整理可得，所以.5.已知是第二象限角，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用诱导公式得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式求解即可.解答过程：因为是第二象限角，且，所以，故.6.已知函数，且的最小值为，则（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：B解析：思路：由的最小值为可得最小正周期，即可得答案.解答过程：因，则的一个对称中心为，一条对称轴为，又最小值为，则相邻对称中心与对称轴距离，即最小正周期的为，则最小正周期为，则.故选：B7.已知,若,则一定有（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：判断函数的奇偶性,然后判断出函数在上的单调性,最后利用函数的奇偶性和单调性的性质，结合二倍角的余弦公式选出正确答案.解答过程：,所以函数是偶函数.当时,函数是单调递增函数且函数值都为非负数,故函数是上的递增函数.于是有：,因此有.故选：A方法提示：本题考查了函数奇偶性和单调性的应用,考查了余弦的二倍角公式.8.已知向量，满足，.当与的夹角最大时，（）A. B.2 C. D.答案：D解析：思路：将平方后换元，通过数量积的计算公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解.解答过程：将平方得，令，则，，设与的夹角为，，当时，，与条件矛盾，，，分子分母同时除以，，令，则，当时，取得最小值，此时取最大值，当时，，，，所以当与的夹角最大时，.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知向量，，，则下列说法正确的是（）A. B.C.与夹角的余弦值为 D.答案：AC解析：思路：利用平面向量的模长公式可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用平面向量的夹角公式可判断C选项；利用平面向量垂直的坐标表示可判断D选项.解答过程：对于A选项，，故，A正确；对于B选项，，则，B错误；对于C选项，，故与夹角的余弦值为，C正确；对于D选项，，所以，所以与不垂直，D错误.10.已知函数的部分图象如图所示，阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（）A.函数的最小正周期为B.函数的一条对称轴为C.将函数向右平移个单位长度得到函数D.函数在区间上单调递增答案：ABD解析：思路：利用题中信息求出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可判断ABD选项；利用三角函数图象变换可判断C选项.解答过程：对于A选项，由对称性可知阴影部分区域的面积等于平行四边形的面积，且平行四边形的边上的高为，即，即，所以函数的最小正周期为，A对；对于B选项，由图可知，，且，可得，又因为，所以，所以，因为，所以函数的一条对称轴为，B对；对于C选项，将函数向右平移个单位长度得到函数的图象，C错；对于D选项，当时，，故函数在区间上单调递增，D对.11.记函数，则（）A.的一个周期为B.函数在区间上单调递增C.函数的图象关于直线对称D.当时，答案：ACD解析：解答过程：选项A，计算:所以是的一个周期，A正确选项B，先化简当时，，而在上单调递减，因此在上单调递减，B错误选项C，验证对称性：，，又因此即，函数关于直线对称，C正确选项D，令，则.设，，则，，且.由递推关系：，即，因此：，因为，所以，即，D正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______．答案：解析：思路：利用三角函数的定义求解即可.解答过程：由三角函数的定义可得.13.函数在一个周期内的图象经过、、三点．写出一个符合条件的函数的解析式______．答案：（或）解析：思路：根据题意得出函数的最小正周期，可得出的值，再由结合的取值范围，可得出的值，再利用可得出的值，即可得出函数的解析式.解答过程：由题意可知，函数的最小正周期为或，①若，则，所以，因为，所以，即，又因为，所以，即，又因为，解得，此时；②若，则，所以，因为，所以，即，又因为，所以，即，又因为，解得.此时.综上所述，或.14.已知正边形内接于单位圆，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点、在圆上，则的最大值为______．答案：解析：思路：首先根据向量不等式得到满足的点所在的区域，从而得到可能的值，然后对所求模进行变形将其转为点到圆心的距离问题，再通过三角函数求得距离范围，最后结合的取值得到最大值.解答过程：设和的夹角为，依题意有满足的顶点共有个，令得，所以满足的点有个，也就是（夹角），（夹角）和（夹角）这三个顶点，所以且，解得，又因为，所以，因为，且根据正边形的对称性有，所以，接下来求即到圆心的距离的最大值，设，，则圆心到的距离为，，到的距离为，为了让到圆心最远，它们应在两侧，所以只需考虑，因为，则，故当时，即当时取得最大值，结合前面的取值可得的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知函数．（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递减区间．答案：（1）（2）最小正周期为，减区间为解析：思路：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，代值计算可得的值；（2）利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，利用正弦型函数的单调性可得出函数的减区间.（1）因为，所以.（2）由（1）可知，，所以函数的最小正周期为，由，得，所以函数的单调递减区间为.16.已知函数．（1）若，且，求的值；（2）在中，若，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先对函数进行化简，将代入化简后的，得到关于的三角函数等式，先确定​的范围，再利用同角三角函数的基本关系求出相关三角函数值，最后进行求解（2）​代入化简后的，结合三角形内角和求出的值，再将转化为只含的三角函数，根据的范围，利用正弦函数的单调性确定其取值范围（1）已知，代入化简后的：已知，则，该区间内余弦值为负：（2）已知，即在中，，故，得，则，，且.由，得，故，因此17.如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为．（1）当时，设，求的值域；（2）当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值．答案：（1）（2）最小值是，所对应的的值是或．解析：思路：（1）根据题意，过作，分别表示出、，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到的表达式，再将的解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果；（2）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果.（1）过作，垂足为，由题意可得：，，所以，所以矩形的面积，当时，，令，因为，所以，则函数，其对称轴为，当时，，当或时，，所以，即函数的值域为.（2）因为，当时，当且仅当，即，解得或时，等号成立．所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或．18.已知函数，若的最小正周期为．（1）求的解析式；（2）若函数在上有三个不同零点，，，且．①求实数取值范围；②若，证明．答案：（1）（2）①；②证明见解析.解析：思路：（1）化简函数为，根据的最小正周期为，求得，即可求解；（2）①由（1）得，由，得到，令，转化为方程在区间有一个实根，另一个实根在上，或一个实根是，另一个实根在，分类讨论，即可求解；②由，得到，得到，结合两角差的正弦公式，即可得证.（1）由函数，因为的最小正周期为，所以，即，所以.（2）①由（1）知，由，可得，令，则，，若函数在有三个零点，即在有三个不相等的实数根，即关于的方程须有两个不同的实根，在区间内有一个实根，另一个实根在内，或一个实根是，另一个实根在内，（i）当一个根在，另一个根在，故，，解，（ii）当一个根为时，即，所以，此时方程为，所以，不合题意，（iii）当一个根是，即，解得，此时方程为，，不合题意；（iv）当一个根是，另一个实根在，由，可得，此时方程为，解得或，当时，对应的一个的解，当也对应一个的解，共有两个解，不满足有三个不同的零点，不合题意，综上可得，实数的取值范围是；②由，可得，所以，因为，，即，，所以，所以，所以.19.已知为边长为的等边三角形，O为的重心．（1）求的值；（2）P为平面内一点，满足．（ⅰ）若，求的取值范围；（ⅱ）已知点M为边AC的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值．答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）1解析：思路：（1）利用重心的向量性质，先把所求数量积化为，再计算等边三角形中重心到顶点的距离．（2）（ⅰ）由可知，关于点对称，再用余弦定理分别表示，，从而求和的范围；（ⅱ）建立平面直角坐标系，把向量等式转化为坐标关系，再由求的最大值，最后代入求．（1）因为为的重心，所以.因此，所以.等边三角形的边长为，它的高为.重心到顶点的距离等于中线长的，所以.故.（2）（ⅰ）由，得.所以，关于点对