2025-2026学年山东滕州市第二中学等学校高一下册期中质量检测数学试题 含答案

/数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（）A. B. C. D.2.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和3.下列几何体是棱台的是（）A. B. C. D.4.已知为虚数单位，则（）A. B.C. D.5.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（）A.2 B.4 C.6 D.86.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B. C. D.或7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（）.A. B.100m C. D.8.在任意四边形中，，分别是，的中点.若，则（）A. B. C. D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.长方体是平行六面体B.正四棱柱是正方体C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.棱台的侧面是梯形10.（多选）已知复数z满足，则（）A. B. C. D.的最大值为211.设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（）A.B.C.在上的投影向量的坐标为D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________.13.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为__．14.在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.实数取什么值时，复数是（1）实数；（2）纯虚数.16.圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.（1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；（2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.17.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求向量与夹角的余弦值.18.记的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若的面积为，，求边上的中线长.19.如图，在等边中，，点O在边BC上，且．过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N．（1）设，，试用，表示；（2）设，，求的最小值．数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.等于（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程.2.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和答案：C解析：思路：根据基底的定义，结合共线向量的性质判断即可.解答过程：平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C选项中，，即和为共线向量，所以它们不能作为基底．其他选项中的两个向量都不共线，所以可以作为基底．故选：C3.下列几何体是棱台的是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：棱锥的底面和平行于底面的一个截面间的部分，叫做棱台，只有D是棱台4.已知为虚数单位，则（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简求解即可.解答过程.5.如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（）A.2 B.4 C.6 D.8答案：D解析：解答过程：因为正方形的边长为1，所以，，将直观图还原为原图形，如图：由直观图的作法可知，中，，，所以，，所以原图形的周长是.6.在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则（）A. B. C. D.或答案：A解析：解答过程：在中，由，有，所以.又，故，所以.7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（）.A. B.100m C. D.答案：C解析：思路：先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.解答过程：由题意，而，由正弦定理可得，即，解得，注意到，从而.故选：C.8.在任意四边形中，，分别是，的中点.若，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，结合，求得的值，即可求解.解答过程：因为分别为的中点，则，由向量的运算法则，可得，两式相加，可得，所以，因为，所以，所以.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的有（）A.长方体是平行六面体B.正四棱柱是正方体C.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥D.棱台的侧面是梯形答案：ACD解析：思路：根据各个几何体的结构特征，逐项进行分析即可.解答过程：对于A，平行六面体的定义是六个面均为平行四边形的棱柱，长方体的每个面都是矩形（属于平行四边形），且侧棱与底面垂直，因此长方体是特殊的平行六面体，故A正确.对于B，正四棱柱要求底面为正方形且侧棱与底面垂直，但未限定侧棱长度必须等于底面边长.若侧棱长度与底面边长相等，则为正方体，否则仅为长方体.因此，正四棱柱不一定是正方体，故B错误.对于C，侧面均为相交于一点的三角形，底面为多边形的几何体为棱锥，根据底面的边数，分为三棱锥、四棱锥等.若某棱锥有一个面为平行四边形，由棱锥定义可知，该面一定为棱锥的底面，因此有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确.对于D，棱台由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得到，原棱锥的侧面为三角形，截后变为梯形，故D正确.故选：ACD.10.（多选）已知复数z满足，则（）A. B. C. D.的最大值为2答案：ABD解析：解答过程：设复数（a，），由可得，.选项A：，正确；选项B：，正确；选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误；选项D：，因为，当时，的最大值为，正确.11.设是平面内相交的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为.若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即.设，则（）A.B.C.在上的投影向量的坐标为D.答案：ACD解析：思路：对于A，由向量模的计算公式可得答案；对于B，由数量积的运算律计算可得答案；对于C，由向量投影向量计算公式可得答案；对于D，由向量减法坐标计算公式可得答案.解答过程：由题可得，，，，对于A，，故A正确；对于B，，故B错误；对于C，在上的投影向量为，由B分析可得，又，则，故C正确；对于D，，故D正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________.答案：解析：思路：根据及向量的复数表示运算得到答案.解答过程：复数与分别表示向量与，，所以表示向量的复数为.故答案为.方法提示：本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题.13.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝8．若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点．当底面ABC水平放置时，液面高为__．答案：6解析：思路：利用相似得到水的体积和容器体积的比，再结合水的体积相等列等式，解方程即可求解.解答过程：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，设△ABC的面积为S，则S梯形S，水的体积V水S×AA1＝6S，当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh＝6S，得h＝6，即当底面ABC水平放置时，液面高为6．故6．14.在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．答案：3解析：思路：把向量进行转化，用表示，利用基本不等式可求实数的值.解答过程：，解得＝3．故3.方法提示：本题主要考查平面向量的数量积应用，综合了基本不等式，侧重考查数学运算的核心素养.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.实数取什么值时，复数是（1）实数；（2）纯虚数.答案：（1）或；（2）.解析：思路：依据复数的概念分别列等式求解即可.解答过程：解：（1）当复数是实数时，只需，即或；（2）当复数是纯虚数时，，解得.16.圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形.（1）一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程；（2）过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积.答案：（1）（2），解析：思路：（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解；（2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积.（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长，由，可得，即母线，在中，由余弦定理可得所以爬行的最短路程为；（2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为，从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为，又圆锥的表面积为，所以剩下几何体的表面积，剩下几何体的体积为.17.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，且与垂直，求向量与夹角的余弦值.答案：（1）或（2）解析：思路：（1）先设出的坐标，再根据向量平行的坐标表示以及向量模的计算公式列出方程组，最后求解方程组即可得到的坐标；（2）先根据两向量垂直则其数量积为0列出方程，再结合向量模的计算公式求出，最后根据向量夹角的余弦值公式求出夹角的余弦值即可.（1）设，因为，且，所以，即，又因为，所以，即，则联立方程组得：，解得，或，所以或.（2）因为与垂直，所以，即：，因为，，所以，所以，，所以，即，，解得，所以：，所以向量与夹角的余弦值为.18.记的内角的对边分别为，.（1）求；（2）若的面积为，，求边上的中线长.答案：（1）（2）解析：思路：（1）条件式利用正弦定理化简，结合三角恒等变换求解；（2）由余弦定理结合三角形面积公式可得，，设为的中点，方法一，由结合余弦定理代入运算得解；方法二，利用向量关系，结合数量积运算得解.（1）因为，由正弦定理得，即，化简得，因为，所以，则，解得.（2）由余弦定理可得，又的面积为，解得，则，方法一：如图，设为的中点，则，又，则，在和