2025-2026学年山东淄博第十八中学高二下册5月期中数学试题 含答案

/数学一、单选题（共8小题，每小题5分）1.下列求导运算正确的是A. B. C. D.2.若，则n=（）A.6 B.7C.8 D.93.展开式中的第4项为（）A. B. C. D.4.已知函数在区间单调递增，则（）A. B.C. D.5.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“虽然你们都没有得到第一，但你们也都不是最后一名”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有（）A.36种 B.48种 C.18种 D.54种6.的展开式中的系数为（）A. B. C.120 D.2007.若，，则事件与的关系是（）A.事件与互斥 B.事件与对立C.事件与相互独立 D.事件与互斥又相互独立8.现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（）A.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是B.第二次取到1号球的概率C.如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D.如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种二、多选题（共3小题，每小题6分）9.下列说法正确的是（）A.从村去村的道路有3条，从村去村的道路有4条，则从村经过村去村不同的路线有7条数.B.现有三张极地馆参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60.C.实验中学举办文艺晚会，共10个节目，其中四个节目顺序固定共有151200种排法.D.在的展开式中，含项的系数为55.10.某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（）A. B.C. D.11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（）A. B.C. D.三、填空题（共3小题，每小题5分）12.函数的图像在点处的切线方程为___________.13.我校高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有_________人.14.在的展开式中，常数项为__________．四、解答题（共5小题）15.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数．（1）可组成多少个不同的六位数？（2）可组成多少个0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻的不同的六位数？16.已知为偶数，.（1）当时，求的值；（2）证明.17.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?（2）从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.18.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在至之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示.（1）求的值；并用样本估计去年全市每户年均用电量（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用样本的频率作为概率，若在该市居民中取甲､乙､丙3户，且3户用电量互不影响，估计恰有1户用电量在以上的概率；（3）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：）的建议，并简要说明理由.19.已知函数.（1）讨论的单调性，并证明：当时，.（2）求证：当时，函数存在最小值.

数学一、单选题（共8小题，每小题5分）1.下列求导运算正确的是A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据导数运算法则逐一计算,即可选择.解答过程：因为，，，，所以选D.方法提示：本题考查导数运算法则，考查基本求解能力，属基础题.2.若，则n=（）A.6 B.7C.8 D.9答案：A解析：思路：直接由排列数和组合数公式计算即可.解答过程：由，则则，得即，解得n=6或（舍）.故选：A3.展开式中的第4项为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：直接利用二项式展开式的通项公式求解即可解答过程：解：展开式中的第4项为，故选：D4.已知函数在区间单调递增，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：由题意可知不等式在上恒成立，对称轴为.分别对、、三种情况讨论函数的单调性求出函数对应的最小值，结合m的取值范围分别求出、取值范围即可.解答过程：因为函数在上单调递增，所以不等式在上恒成立，令，，对称轴为.当即时，函数在上单调递减，，得，所以，由知，，无法判断的取值范围；，由知，；当即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，得，所以，由知，，；当即时，函数在上单调递增，，所以，.故选：D.5.甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学能力比赛，决出第一到第五名的名次（无并列名次）.甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“虽然你们都没有得到第一，但你们也都不是最后一名”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有（）A.36种 B.48种 C.18种 D.54种答案：A解析：思路：利用分步计数原理直接求出名次的不同排列情况.解答过程：解:甲和乙的限制最多,先排甲和乙有种情况,余下的3人有种排法,所以共有种排列情况.故选:A.方法提示：本题考查了排列与简单的计数原理,解题的关键是弄清是分类还是分步完成,属基础题.6.的展开式中的系数为（）A. B. C.120 D.200答案：A解析：思路：由题意首先确定展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定的系数.解答过程：展开式的通项公式为，当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；当时，，此时只需乘以第一个因式中的即可，得到；据此可得：的系数为.故选：A.方法提示：关键点点睛：本题考查二项式定理具体展开项的系数求解问题，解题的关键是写出的通项，再分类讨论的值，确定的系数，考查学生的分类讨论思想与运算能力，属于中档题.7.若，，则事件与的关系是（）A.事件与互斥 B.事件与对立C.事件与相互独立 D.事件与互斥又相互独立答案：C解析：思路：由可判断.解答过程：∵，∴事件与相互独立.故选：C.8.现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法不正确的是（）A.在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是B.第二次取到1号球的概率C.如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大D.如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种答案：B解析：思路：对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分类再分配即可求解.解答过程：对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球,，则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A正确；对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球,,依题意两两互斥,其和为,并且，，，，应用全概率公式,有，故B错误；对于C选项，依题设知,第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同,则，，，故在第二次取到1号球的条件下,它取自编号为的口袋的概率最大，故C正确；对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有，故D正确.故选：B.二、多选题（共3小题，每小题6分）9.下列说法正确的是（）A.从村去村的道路有3条，从村去村的道路有4条，则从村经过村去村不同的路线有7条数.B.现有三张极地馆参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60.C.实验中学举办文艺晚会，共10个节目，其中四个节目顺序固定共有151200种排法.D.在的展开式中，含项的系数为55.答案：CD解析：思路：利用分步乘法计数原理判断A；利用组合计数问题判断B；利用定序问题判断C；求出二项式展开式指定项系数判断D.解答过程：对于A，从村去村的道路有3条，从村去村的道路有4条，则从村经过村去村不同的路线有条，A错误；对于B，在5人中确定3人去参观，没有排序要求，有种，B错误；对于C，10个节目全排列有!种，则四个节目顺序固定共有种排法，C正确；对于D，含项的系数为，D正确.故选：CD10.某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：根据超几何分布概率公式直接求解即可.解答过程：从个产品中任意抽取个，基本事件总数为个；其中恰好有个二等品的基本事件有个，恰好有个二等品的概率；也可由对立事件计算可得.故选：AD.11.已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（）A. B.C. D.答案：ABD解析：思路：利用求导转化为，再结合是偶函数，可证明周期性，然后赋值可得，，从而可计算各选项.解答过程：由求导可得：，因为，所以，又因为是偶函数，所以，由上两式可得，又可得，又两式相减得：，所以是一个周期为的周期函数，故C错误；由可得，又由可得，故A正确；又由可得，因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确；由，由，结合是一个周期为的周期函数，可得，所以，即，故D正确；故选：ABD三、填空题（共3小题，每小题5分）12.函数的图像在点处的切线方程为___________.答案：解析：思路：先求导，求解，再结合，以及直线方程的点斜式，即得解解答过程：由题意，，故，故切线方程为：即故13.我校高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有_________人.答案：解析：思路：根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数.解答过程：由于正态分布曲线的对称轴为105，故，由题意可知，根据对称性可得，所以数学成绩在分到分之间的学生有，故14.在的展开式中，常数项为__________．答案：解析：思路：令，可得出，利用二项式定理求出、中的常数项，作差即可得解.解答过程：令，则，的展开式通项为，在中，令，可得，在中，令，可得.因此，展开式中的常数项为.故答案为.四、解答题（共5小题）15.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数．（1）可组成多少个不同的六位数？（2）可组成多少个0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻的不同的六位数？答案：（1）600；（2）288解析：思路：（1）根据题意，分2步进行分析：①分析易得首位数字有5种情况，②将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，由分步计数原理计算可得答案；（2）先从3个奇数中选出2个捆绑一起，看成整体，再将0、2、4排好，将奇数安排在0、2、4的空位中，据此分析可得答案．解答过程：解：（1）根据题意，分2步进行分析：①0不能在首位，则首位数字有5种情况，②将剩下的5个数字全排列，安排在后面的5个数位，有种情况，则有个六位数；（2）根据题意，分2步进行分析：①先从3个奇数中选出2个捆绑一起，看成整体，有种情况，②再将0、2、4排好，将奇数安排在0、2、4的空位中，若0放在2，4的最前面和最后面，再安排奇数，有种安排方法，若0放在2，4的中间，再安排奇数，共有种安排方法，综上，共有种，即有288个符合题意的六位数．16.已知为偶数，.（1）当时，求的值；（2）证明.答案：（1）（2）证明见解析解析：思路：（1）直接利用二项式展开式的通项公式求解即可，（2）利用赋值法，分别令和，然后将得到的式子相加可得答案（1）当时，，故（2）当时，即①当时，即②.由①②相加得：即有.17.据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）（1）若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率悬多大?（2）从这8名跟角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数的期望与方差；（3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从市的小学生中，随机选出20位小学生，记其中佩戴角膜塑形镜的人数为Y，求恰好时的概率（不用化简）及Y的方差.答案：（1）（2），（3），解析：思路：（1）由条件概率公式计算即可得解；（2）由题意可得的所有可能取值分别为：0，1，2，分别求出对应的概率，即可得分布列，从而求出期望与方差；（3）由已知可得，由二项分布的概率和方差公式计算即可得解．（1）解：设“这位小学生佩戴眼镜”为事件，“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，所以，所以若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是．（2）解：依题意可知：其中男生人数的所有可能取值分别为：0，1，2，其中：；；，所以男生人数的分布列为：012所以，（3）解：由已知可得：，则：，，18.为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在至之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示.（1）求的值；并用样本估计去年全市每户年均用电量（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（2）用样本的频率作为概率，若在该市居民中取甲､乙､丙3户，且3