2025-2026学年山东淄博第五中学高二下册期中教学质量检测数学试题 含答案

/数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A. B. C. D.2.曲线在点处的切线方程为，则（）A. B.0 C.1 D.23.的展开式中的系数是（）A.126 B.125 C.96 D.834.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（）．A.60 B.96 C.300 D.3605.已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（）A. B. C. D.6.已知数列满足，则（）A. B. C. D.7.羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A. B. C. D.8.已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分．9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.时，取得最大值 B.时，取得极大值C. D.10.下列说法正确的是（）A.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种B.有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60C.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法11.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用，表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案.13.已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______．14.假设两个队进行一系列比赛，一直到其中有一队赢了2局才结束．假设各局比赛胜负是相互独立的，并且队获胜概率为．比赛的局数的期望最大时，______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15.大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球.（1）若从袋中任取3球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差.（2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率.16.已知的二项展开式有7项．（1）求，并求出所有二项式系数之和；（2）求展开式中含项的系数；（3）求展开式中的有理项．17.记为数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18.已知函数，．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）若对任意恒成立，求整数的最小值．19.某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立.（1）现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率；（2）从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望；（3）现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据正态分布曲线的对称性进行求解即可.解答过程：，，.故选：C.2.曲线在点处的切线方程为，则（）A. B.0 C.1 D.2答案：C解析：解答过程：由题可知，且曲线在点处的切线方程为，即，所以，所以3.的展开式中的系数是（）A.126 B.125 C.96 D.83答案：B解析：思路：运用二项式定理求解.解答过程：由题意原式中的系数；故选：B.4.由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（）．A.60 B.96 C.300 D.360答案：C解析：思路：先排首位，再排其它位数，结合分步计数原理可得结果.解答过程：先排首位，共有5种方法；其它位数共有种排法，结合分步计数原理可得共有种方法.故选：C.5.已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，利用等差数列求出与，进而求出其等比中项.解答过程：等差数列中，由，公差，得，所以与的等比中项为.故选：D6.已知数列满足，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可计算作答.解答过程：因，则，所以，所以.故选：D7.羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可.解答过程：由甲获胜的概率为，而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为，所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为.故选：A8.已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据二次函数的性质得到的值域，利用导数求出的值域，结合恒成立及存在性问题得到值域的关系，再列不等式求解．解答过程：解：函数，开口向下，对称轴为，时，，，，令，解得，则时，，单调递减，时，，单调递增，，又，则时，，对，，使成立，，，解得．二、多选题：每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分．9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.时，取得最大值 B.时，取得极大值C. D.答案：BC解析：思路：通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可.解答过程：由导函数图象可知当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，选项A：因为

在上单调递增，且，因此在

处取不到最大值，A错误，选项B：左侧

，

单调递增；右侧

，

单调递减，且，因此

时

取得极大值，B正确，选项C：由

，且

在

单调递增，可得

，C正确，选项D：在单调递增，因此

，故不成立，D错误.10.下列说法正确的是（）A.将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种B.有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60C.从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法答案：ACD解析：思路：每封信均有3种投法，计算可判断A；从5人中选3人，计算可判断B；分3种情况，即1男3女，2男2女，3男1女，计算可判断C；利用插空法求得方法数判断D.解答过程：对于A，将5封信投入3个邮筒，每封信均有3种投法，故不同的投法共有种，故A正确；对于B，参观券相同，只需从5人中选出3人即可，方法数为种，故B错误；对于C，从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，包含的类别有1男3女，2男2女，3男1女，即有种选法，故C正确；对于D，先将丙、丁两人全排列有种，排好后有3个空位，再将甲、乙两人安排到两人（丙、丁）的空位中有种，由分步计数原理可得总的方法数为种，故D正确.故选：ACD.11.一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用，表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（）A. B. C. D.答案：ABD解析：思路：根据条件概率公式和全概率公式依次判断选项即可.解答过程：由题得，，根据条件概率公式，得，，故A，B正确.对选项C，，所以，故C错误.对选项D，，，故D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案.答案：84解析：解答过程：当A和C颜色相同，第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择；第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择；第三步涂C：由于C与A同色，只有种选择；第四步涂D：此时D仅需与A（C）不同色，有种选择；所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：；当A和C颜色不同，第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择；第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择；第三步涂C：由于C与A不同色，且与B不同，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择；第四步涂D：此时D既与A不同色，又与C不同色，由于A与C也不同色，故只有种选择；所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：；利用分类计数加法原理，把这两类相加可得总方案数为.13.已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______．答案：解析：思路：构造，求导，再利用函数单调性解不等式即可．解答过程：构造，，∴在上单调递增，又，则不等式可转化为，即,故，故解集为．14.假设两个队进行一系列比赛，一直到其中有一队赢了2局才结束．假设各局比赛胜负是相互独立的，并且队获胜概率为．比赛的局数的期望最大时，______．答案：##0.5解析：思路：首先设比赛的局数为，则，得到，再利用二次函数的性质求解即可.解答过程：设比赛的局数为，则，，，，所以当时，取得最大值.故四、解答题：本题共5小题，共77分．15.大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球.（1）若从袋中任取3球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差.（2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率.答案：（1）分布列见详解；；（2）解析：思路：（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，结合超几何分布求分布列、期望和方差；（2）记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B，求，，结合条件概率公式运算求解.（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，则有：，所以的分布列为123的期望为，的方差为.（2）有放回的抽取1次，取到黑球的概率为，取到白球的概率为，记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B，则，，可得，所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为.16.已知的二项展开式有7项．（1）求，并求出所有二项式系数之和；（2）求展开式中含项的系数；（3）求展开式中的有理项．答案：（1）；64（2）1215（3），，，解析：思路：（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为；（2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可；（3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可.（1）因为的二项展开式有7项，所以，所以所有二项式系数之和为；（2）由（1）知，所以的二项展开式的通项为，令，解得，所以展开式中含项的系数为；（3）因为的二项展开式的通项为，因为，且，所以能使为整数的，所以展开式中的有理项分别为，，，.17.记为数列的前项和，已知．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用退位法可求的通项公式．（2）利用错位相减法可求.（1）当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.（2）,所以故所以，.18.已知函数，．（1）当时，求的极值；（2）讨论的单调性；（3）若对任意恒成立，求整数的最小值．答案：（1）极大值为，无极小值（2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（3）1解析：（1）当时，，定义域为则，令解得所以当时，，单调递增，当时，，单调递减所以有极大值，无极小值（2）若时，在上恒成立，此时在上单调递增；若时，令，即，解得或（舍去）.当时，，则在上单调递增；当时，，则在上单调递减；综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立设，则设，，则在上单调递减，因为，，所以，使得，即，则.当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上的最大值因为，所以.故整数的最小值为119.某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立.（1）现从该批零件中随机抽