2025-2026学年山西怀仁大地高中学校等校高二下册4月期中质量检测数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.2.已知随机变量X服从两点分布，且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.83.某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（）A. B. C. D.4.已知，则（）A. B. C. D.5.有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（）A.40 B.90 C.120 D.1506.已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.7.已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（）A. B. C. D.8.含甲、乙、丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙、丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（）A.12 B.16 C.32 D.34二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设双曲线，则（）A.C的虚轴长为4 B.C的焦距为C.C的离心率为 D.C的渐近线方程为10.已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（）A. B.的系数为560C.展开式中各项系数和为1 D.展开式中二项式系数最大的项只有第4项11.某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（）A.B.若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为C.数列是等比数列D.数列的前n项和为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的单调递减区间为______.13.甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有______种.14.某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率______．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）计算：；（2）证明.16.已知数列满足，且.（1）求的通项公式；（2）求的前n项和.17.甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会.（1）求甲、乙面试都合格的概率；（2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列.18.某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8.（1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检.（ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列；（ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率.（2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间.19.已知函数，，.（1）讨论的单调性；（2）若在上恰有三个零点，求实数a的取值范围；（3）若，是在上不为1的两个零点，求证.

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由，得，所以准线方程为.2.已知随机变量X服从两点分布，且，则（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8答案：B解析：解答过程：因为X服从两点分布，所以，结合条件得，．3.某化学学习小组有10名同学，其中有4名女生，6名男生，现从中随机抽取3名同学完成一个实验，设抽到的女生人数为X，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，利用组合知识即可求解，解答过程：由于表示抽到的3名同学中女生2人，男生1人，所以PX4.已知，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用赋值法，令、和，再列式求解即可．解答过程：解：令，得①，令，得②，①＋②，得，即，令，得，∴．5.有5名护士到某医院实习，该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为（）A.40 B.90 C.120 D.150答案：D解析：思路：先将5名护士分成3组，再将这3组分配到心内科、心外科、骨科，每个科室1组，即可求解.解答过程：先将5名护士分成3组，每组至少1人，不同的分组方法种数为C5再将这3组分配到心内科、心外科、骨科，每个科室1组，有种方法，根据分步乘法计数原理知，不同的分配方案种数为.6.已知点，，在直线上存在点，满足，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.答案：A解析：思路：设，由，可得点的轨迹方程，结合题意，由弦心距小于等于半径，列不等式计算即可求解.解答过程：设．∵，∴，化简整理，得，∴点在以为圆心，为半径的圆上，由题意可知，直线与圆有公共点，∴，解得．7.已知椭圆：的右焦点为，左顶点为，上顶点为.设为坐标原点，点在上，若，，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：利用得出相似关系，求出，即可求出离心率.解答过程：由题意易得，因为，所以，即，化简得，故，所以.故选：A8.含甲、乙、丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙、丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为（）A.12 B.16 C.32 D.34答案：C解析：思路：将问题转化为求以下三种情况：第1类，甲在最右端；第2类，乙站最右端；第3类，甲、乙、丙都不在最右端；根据分类加法计数原理求解即可.解答过程：第1类，甲在最右端，先将乙、丙看成1人与其余2人即3个元素排在甲的左边，有种不同站法，再排乙、丙，乙、丙有种不同站法，根据分步乘法计数原理，此类共有种不同站法；第2类，乙站最右端，则丙站乙左边与乙相邻，乙丙有1种站法，再从除甲外其余2人中选1人站最左端，有种不同站法，再安排甲和剩余1人有种站法，根据分步乘法计数原理，此类有种不同站法；第3类，甲、乙、丙都不在最右端，先安排最右端，从除甲、乙、丙外的2人中选1人站最右端，有种不同站法，再安排左端，先将乙、丙看成1人与剩下的另一人（非甲、乙、丙者）共2个人中选1个安排在最左端，有种不同安排方法，再安排甲和剩下的另一个人，有种不同方法，最后安排乙、丙有种不同方法，此类根据分步乘法计数原理有种不同站法.最后，根据分类加法计数原理，共有种不同站法.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设双曲线，则（）A.C的虚轴长为4 B.C的焦距为C.C的离心率为 D.C的渐近线方程为答案：BCD解析：解答过程：由双曲线，即，则.对于A，虚轴长为，故A错误；对于B，焦距为，故B正确；对于C，离心率为，故C正确；对于D，渐近线方程为，即，故D正确.10.已知的展开式的二项式系数之和为128，则下列结论正确的是（）A. B.的系数为560C.展开式中各项系数和为1 D.展开式中二项式系数最大的项只有第4项答案：AC解析：思路：根据二项式系数之和为运算求解，进而判断A；结合二项式系数的通项分析判断B；令，求各项系数之和，进而判断C；对于D：根据二项式系数的性质分析判断.解答过程：对于A，由题知，，得，故A正确；对于B，∵Tr令，得，∴的系数为−13×27−3对于C，令，得，故C正确；对于D，∵，∴展开式中共有8项，根据二项式系数的性质知，展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，故D错误.11.某智能系统在进行数据分类时，其准确性受前一次分类结果的影响．记表示事件“第n次分类正确”，表示第n次分类正确的概率．已知，且满足以下条件：若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为；若第n次分类错误，则第次分类正确的概率为．记，则下列结论正确的是（）A.B.若第n次分类正确，则第次分类正确的概率为C.数列是等比数列D.数列的前n项和为答案：ABD解析：思路：根据题意可得，直接求出即可判断A；利用条件概率求出即可判断B；对于C，利用构造法即可判断C；对于D，结合C的结论即可得到，再利用等比数列前项和公式求解即可．解答过程：由已知得第次分类正确的概率为p对于A，，A正确；对于B，P，B正确；对于C，由，得，又，所以是首项为，公比为的等比数列，则不是等比数列，C错误；对于D，由C项知，，，所以数列的前n项和为，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的单调递减区间为______.答案：解析：思路：利用导数与函数单调性关系求解即可.解答过程：函数定义域为，且，令，解得.所以的单调递减区间为13.甲、乙两人计划周末各自从5个备选景点中选择2个进行游览，则他们选的景点至少有1个相同的选法有______种.答案：70解析：思路：求出他们选的景点完全相同和恰有1个景点相同的情况数即可.解答过程：根据题意，他们选的景点完全相同的选法有种，恰有1个景点相同的选法有种，故总的选法有70种.14.某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动，抽奖方法如下：，袋中各有5张奖券，其中袋中有2张一等奖和3张二等奖，袋中有3张一等奖和2张二等奖，先从装着标有数字1，2，3，4，5，6的号签筒中任抽1签，若是1，2，3，4号签，则从袋中随机抽取1张奖券，若是5，6号签，则从袋中随机抽取1张奖券．已知某顾客抽到了一等奖奖券，则该一等奖奖券来自袋的概率______．答案：解析：思路：根据全概率公式及贝叶斯公式计算．解答过程：解：设事件：抽到1，2，3，4号签，事件：抽到5，6号签，事件B：抽到一等奖奖券，则，，，，∴，∴．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）计算：；（2）证明.答案：（1）；（2）证明见解析解析：解答过程：(1)C10(2)An16.已知数列满足，且.（1）求的通项公式；（2）求的前n项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）由题设可得，进而得到数列是首项为1，公差为2的等差数列，进而求解即可；（2）根据错位相减法求和即可.（1）∵，∴，∴数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，∴.（2）由（1）知，则，①∴，②①②，得，∴.17.甲、乙两人参加某职业资格考试的面试，面试官准备了5个题目，每位面试者从中随机抽取2个回答，2个全回答正确，则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会，乙有4题会1题不会.（1）求甲、乙面试都合格的概率；（2）记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列.答案：（1）（2）的分布列为解析：（1）设事件A：甲面试合格，事件B：乙面试合格，事件C：甲、乙面试都合格，由题知，相互独立，，因为，，所以，所以甲、乙面试都合格的概率为．（2）由题知，随机变量X的所有可能取值为，，，，，所以的分布列为18.某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售.已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8.（1）对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检.（ⅰ）若从这10个零件中随机抽取2个零件，设其中来自甲车间的零件数为X，求X的分布列；（ⅱ）若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率.（2）甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元.由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以两个车间各加工100个零件的平均获利为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间.答案：（1）（i）分布列见解析；（ii）（2）应扩建甲车间解析：思路：（1）（ⅰ）写出X的所有可能的取值，分别求出其概率，列出分布列即可.（ⅱ）根据全概率公式及条件，分析求解，即可得答案.（2）分别求出甲、乙车间的平均获利，比较即可得答案.（1）（ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2.，，，故X的分布列为X012P（ⅱ）用事件A表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件B表示“抽取的零件来自乙车间”，用事件C表示“抽取的零件可以出厂销售”，则，，PCA=0.9×0.9=0.81，PPC（2）估计甲车间加工100个零件可以出厂销售的有81个，甲车间加工100个零件的平均获利为（元），估计乙车间加工100个零件可以出厂销售的有76个，乙车间加工100个零件的平均获利为（元），因为，所以应扩建甲车间.19.已知函数，，.（1）讨论的单调性；（2）若在上恰有三个零点，求实数a的取值范围；（3）若，是在上不为1的两个零点，求证.答案：（1）当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在上单调递