2025-2026学年山西晋中市平遥县第三中学校高一下册4月期中质量检测数学试题 含答案

/数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.的虚部为（）A. B.0 C.1 D.62.已知，则（）A. B. C. D.13.判断下列命题是否正确，正确的是（）A.书桌面是平面.B.平面与平交，它们只有有限个公共点.C.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.D.圆心和圆上两点确定一个平面4.如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A. B.C. D.5.在中，，，，则（）A. B. C. D.6.如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（）A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（）A. B. C. D.8.已知，，，是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（）A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的C.画与直角坐标系对应的时，必须是D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同重题3556667231218073610.在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（）A. B.C. D.11.已知的面积为，若，则（）A. B.C. D.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．13.已知平面向量若，则___________14.已知复数z满足，则的最小值是_________．四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？16.在复数范围内解下列方程：（1）；（2），其中，且．17.设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．18.在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭?19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周长．

数学满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.的虚部为（）A. B.0 C.1 D.6答案：C解析：思路：根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.解答过程：因为，所以其虚部为1，故选：C.2.已知，则（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：由复数除法即可求解.解答过程：因为，所以.故选：A.3.判断下列命题是否正确，正确的是（）A.书桌面是平面.B.平面与平交，它们只有有限个公共点.C.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.D.圆心和圆上两点确定一个平面答案：C解析：解答过程：根据平面的基本性质逐一判断：选项A：数学中的平面是无限延展、无边界的，书桌面有固定大小，只是平面的一部分，不是平面本身，A错误；选项B：两个平交，会得到一条公共直线，因此有无数个公共点，不是有限个，B错误；选项C：根据平面公理：不共线的三点确定唯一的一个平面.若两个平面都经过三个不共线的公共点，则两个平面必然重合，C正确；选项D：若圆上两点是直径的端点，此时圆心和圆上两点共线，共线的三点不能唯一确定一个平面，D错误；4.如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：根据数量积的定义分析判断可得.解答过程：因为是两个单位向量，所以，但两个向量的方向有可能不相同，所以这两个向量不一定相等，故A不完全正确；由数量积的定义，，所以B也不一定成立，故B不完全正确；由数量积的定义，，，所以C错误，D正确.故选：D.5.在中，，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由余弦定理直接计算求解即可.解答过程：由题意得，又，所以.故选：A6.如图圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设球的半径为R，根据球与圆柱的体积公式计算即可解答过程：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高．则球的体积，圆柱的体积，∴.7.在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．解答过程：因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.8.已知，，，是平面内三个不同的单位向量，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：因为，结合的取值，推导三个点积的正负分布情况，排除不可能的组合；令，，，设，，，根据点积的结果确定的取值范围；根据向量的坐标表示形式，计算关于的函数表达式，根据的取值范围，进而得到的取值范围.解答过程：若，则，即，，，不符合题意；，令，，；由知，，，.设，，；则，，；，则；，，得，，得；即.二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列关于直观图的斜二测画法的说法，正确的是（）A.原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变B.原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的C.画与直角坐标系对应的时，必须是D.在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同答案：ABD解析：思路：根据直观图的画法规则逐个分析判断即可.解答过程：对于A，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于x轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变，所以A正确，对于B，由直观图的画法规则，可知原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的，所以B正确，对于C，由直观图的画法规则，可知画与直角坐标系对应的时，为或，所以C错误，对于D，由直观图的画法规则，可知在画直观图时，由于选的轴不同，所得直观图可能不同，所以D正确.故选：ABD．重题3556667231218073610.在复平面内，复数对应点分别为.已知，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：设，根据题设条件列出方程组，求得的值，即可求解.解答过程：设，因为，可得x−12解得或，所以或.11.已知的面积为，若，则（）A. B.C. D.答案：ABC解析：思路：对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.解答过程：，由二倍角公式，，整理可得，，A选项正确；由诱导公式，，展开可得，即，下证.方法一：分类讨论若，则可知等式成立；若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，又，于是，与条件不符，则不成立；若，类似可推导出，则不成立.综上讨论可知，，即.方法二：边角转化时，由，则，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，则，若，则，注意到，则，于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，结合，而都是锐角，则，于是，这和相矛盾，故不成立，则方法三：结合射影定理（方法一改进）由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，则，可同方法一种讨论的角度，推出，方法四：和差化积（方法一改进）续法三：，可知同时为或者异号，即，展开可得，，即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.由，由，则，即，则，同理，由上述推导，，则，不妨设，则，即，由两角和差的正弦公式可知，C选项正确由两角和的正切公式可得，，设，则，由，则，则，于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.故选：ABC三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为_________．答案：解析：思路：求出侧棱长和底面边长后可求体积.解答过程：因为且四边形为正方形，故，而，故，故，故所求体积为，故答案为.13.已知平面向量若，则___________答案：解析：思路：根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.解答过程：，因为，则，则，解得.则，则.故答案为.14.已知复数z满足，则的最小值是_________．答案：解析：思路：先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.解答过程：设，由题意可知，则，又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，设，则，由图象可知，所以.故四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米（精确到）？答案：解析：思路：漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.解答过程：解：由题意知长方体的体积，棱锥的体积，所以这个漏斗的容积.方法提示：本题考查多面体的体积，是基础题.16.在复数范围内解下列方程：（1）；（2），其中，且．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用配方法得到方程的根；（2）利用配方法得到方程的根．解答过程：解：（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得，．所以原方程的根为．方法提示：本题考查复数范围内，实系数一元二次方程的根，考查基本分析求解能力，属基础题.17.设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)．（1）当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标．答案：（1）.（2）或.解析：思路：（1）根据即可求出点P的坐标；（2）通过分类讨论，点P满足两种情况或，然后利用向量加法的三角形法则即可求出答案.（1）（1）如图，由向量的线性运算可知,所以点P的坐标是.（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，有两种情况，或，若，如图(1)，那么，即点P的坐标是.同理，如果，如图(2)，那么点P的坐标是.18.在某海滨城市附近海面上有一台风，据监测，当前台风中心位于城市的东偏南方向300km的海面处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几时后该城市开始受到台风的侵袭?答案：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.解析：思路：设在时刻台风中心位于点，城市受到干扰时，，结合图中的角度，运用余弦定理算出，解不等式即可.解答过程：设在时刻台风中心位于点，则，如图显然是锐角，由可得，又，故.因此，即，解得.故小时后该城市开始受到台风的侵袭.19.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A．（2）若，，求的周长．答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据辅助角公式对条件进行化简处理即可求解，常规方法还可利用同角三角函数的关系解方程组，亦可利用导数，向量数量积公式，万能公式解决；（2）先根据正弦定理边角互化算出，然后根据正弦定理算出即可得出周长.（1