2025-2026学年陕西商洛市山阳县高一下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数在复平面上对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.4.已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.若向量满足，且，则（）A.2 B. C.1 D.6.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（）A. B. C. D.7.如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、设，，则的值为（）A. B. C. D.8.某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（）A. B. C. D.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知向量，，且与的夹角为，则（）A. B.C. D.10.若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A. B. C. D.11.在中，内角的对边分别为，下面判断正确的是（）A.若，则中最大的角为B.若为锐角三角形，则C.若，则的外接圆面积为D.若，则为钝角三角形三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)12.复数的虚部为______．13.已知在中，，，，是的平分线，则=_____．14.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知复数，为虚数单位，为实数．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．16.已知向量与，，．（1）设与的夹角为，求的值；（2）若向量与互相平行，求的值．（3）若，求的最小值．17.设锐角的内角的对边分别为，（1）求角；（2）若边，面积为，求的周长．18.已知，，．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积．19.如图，在菱形中，．（1）用表示；（2）求；（3）若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围．

数学一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.复数在复平面上对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：思路：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限.解答过程：∵复数=,∴复数对应的点的坐标是（）,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.2.如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（）A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.组合体答案：B解析：思路：根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．解答过程：三棱台中，沿平面截去三棱锥，剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥．故选：B3.已知向量，，若，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据平面数量积中向量垂直的坐标表示，列出等式计算即可.解答过程：由得，即，解得.故选：A4.已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：借助投影向量定义计算即可得.解答过程：，故向量在向量方向上的投影向量为.5.若向量满足，且，则（）A.2 B. C.1 D.答案：B解析：思路：根据给定条件，利用垂直关系的向量表示和数量积的运算律列式求解.解答过程：由，得，因此，所以.故选：B6.已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据题意利用正弦定理可得.解答过程：由正弦定理得，得．故选：A.7.如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、设，，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据，结合平面向量的减法可得出，结合，，可得出，利用、、三点共线，可求出的值.解答过程：连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则，即，所以，，又因为，，则，因为、、三点共线，设，则，所以，，且、不共线，所以，，，故，因此，.故选：C.8.某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以.解答过程：已知，则.所以，即为等腰三角形.所以.根据正弦定理.因为，所以，为直角三角形.所以.故选：D.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知向量，，且与的夹角为，则（）A. B.C. D.答案：BD解析：思路：根据向量的坐标运算法则、向量的模的计算公式、向量的共线的判定方法和向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.解答过程：对于A中，由，所以A不正确；对于B中，由，，所以B正确；对于C中，由，，可得，所以C不正确；对于D中，由向量的夹角公式，可得，所以D正确．故选：BD．10.若复数（i为虚数单位），则下列结论正确的有（）A. B. C. D.答案：ACD解析：思路：借助共轭复数与模长定义计算即可得A；虚数不能比较大小可得B；借助共轭复数定义计算可得C；借助共轭复数定义及复数乘法运算法则计算可得D.解答过程：对A：，则，故A正确；对B：虚数不能比较大小，故B错误；对C：z⋅对D：，则zi=11.在中，内角的对边分别为，下面判断正确的是（）A.若，则中最大的角为B.若为锐角三角形，则C.若，则的外接圆面积为D.若，则为钝角三角形答案：ACD解析：思路：利用余弦定理判断A，由锐角三角形可得，再由正弦函数的性质判断B，由正弦定理求出外接圆的半径，即可判断C，利用正弦定理将角化边，再由余弦定理判断即可.解答过程：解：对于A：由余弦定理，因为，所以，故A正确；对于B：因为为锐角三角形，所以，即，又在上单调递增，所以，故B错误；对于C：设的外接圆的半径为，则，所以，所以的外接圆的面积为，故C正确；对于D：由，所以，即，所以，所以为钝角，所以为钝角三角形，故D正确.故选：ACD三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)12.复数的虚部为______．答案：5解析：思路：利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，可得出该复数的虚部.解答过程：因为复数，所以该复数的虚部为5．故5.13.已知在中，，，，是的平分线，则=_____．答案：解析：解答过程：因为，，，所以，因为平分，所以，设，则，，因为，所以，解得，即.14.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.答案：解析：思路：利用平面向量的加减法运算和数量积的运算律求解即可.解答过程：由题可得，，，所以，，，所以，故答案为:.四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.已知复数，为虚数单位，为实数．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第一象限，求的取值范围．答案：（1）2（2）解析：思路：（1）根据纯虚数的概念可得出关于的等式与不等式，进而可求得实数的值；（2）根据条件得出该复数的实部和虚部都为正数，则可得出关于实数的不等式组，进而求解即可．（1）由复数为纯虚数，得，解得.（2）因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，所以，解得，即的取值范围为．16.已知向量与，，．（1）设与的夹角为，求的值；（2）若向量与互相平行，求的值．（3）若，求的最小值．答案：（1）（2）（3）解析：（1）因为，，所以2a→+cosθ（2）ka→+因为向量与互相平行，所以k−2k−1×化简可得，解得.（3）a→因此a→17.设锐角的内角的对边分别为，（1）求角；（2）若边，面积为，求的周长．答案：（1）；（2）20.解析：思路：（1）由正弦定理得到，求出；（2）由三角形面积得到，根据余弦定理得到，从而得到周长.（1）由及正弦定理，得，又，得，所以，又为锐角，所以；（2）由（1）得，则，由余弦定理，得，所以，所以，所以的周长为．18.已知，，．（1）求的最小正周期和单调递增区间；（2）设的内角的对边分别为，且，，边上的中线，求的面积．答案：（1）；2kπ−（2）解析：（1），因此最小正周期，令−π2+2所以的单调递增区间为2kπ−（2），即，因为，所以，因此，即，因为，两边平方可得AB2+即c2由余弦定理可得，联立可得b2+c所以.19.如图，在菱形中，．（1）用表示；（2）求；（3）若是菱形内（含边界）一动点，求的取值范围．答案：（1），．（2）（3）解析：思路：（1）借