2025-2026学年陕西省安康市高新中学、安康中学高新分校高三下册模拟预测（一）数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.现有一组数据2，4，8，12，16，20，则该组数据的第65百分位数是（）A.12 B.13 C.14 D.163.已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（）A.真，：， B.假，：，C.真，：， D.假，：，4.已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（）A. B. C. D.5.已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A. B. C. D.6.记正项数列的前项和为，且，，则（）A.756 B.720 C.636 D.6307.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（）A. B. C. D.8.已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（）A.0 B.1 C.-1 D.-2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若事件，满足，，，则下列说法正确的是（）A. B.事件，相互独立C. D.10.定义关于的函数，，其中，则（）A.B.C.对于任意，D.对于任意，11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线：与的左、右两支分别交于，两点，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.若为的一条渐近线，则为等腰三角形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前项和为，若，则________．13.过点作圆：的两条切线，切点分别为，，若恒成立，则实数的取值范围为________．14.已知函数在上存在奇数个零点，则________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值．16.在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且．（1）求的面积；（2）若为的中线，且，判断的形状．17.某社团举办招新活动，分为初试、复试、终试三个环节（需通过初试才有资格参加复试，通过复试才有资格参加终试）．现有甲、乙、丙三人报名参加，且三人通过初试、复试的概率相互独立，概率情况统计如下表（其中）：初试通过概率复试通过概率甲乙丙（1）请通过计算说明谁进入终试的概率最大；（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为．（ⅰ）求实数的值；（ⅱ）记三人中进入终试的人数为，求的分布列与数学期望．18.如图，在直三棱柱中，为棱的中点，点满足．（1）求的值；（2）若，且二面角为直二面角．（ⅰ）求直线与平面所成角的余弦值；（ⅱ）已知为棱的中点，过点，的平面与射线，交于，两点，求四面体体积的最小值．19.已知函数．（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）设数列的前项和为，且．（ⅰ）求数列的通项公式；（ⅱ）求证：，．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：C解析：思路：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，从而可得结果.解答过程：由复数的运算法则可得，则该复数在复平面内所对应的点为，该点位于第三象限，故选C.方法提示：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.现有一组数据2，4，8，12，16，20，则该组数据的第65百分位数是（）A.12 B.13 C.14 D.16答案：A解析：思路：先计算第65百分位数对应的位置，再根据百分位数的计算规则确定对应数值即可.解答过程：该组数据已经从小到大排列为：2，4，8，12，16，20，共个数据，根据百分位数位置公式可得：

，

由于不是整数，取大于的最小整数，因此第65百分位数为排序后第4个数据，即12.3.已知命题：，，则命题的真假以及否定分别为（）A.真，：， B.假，：，C.真，：， D.假，：，答案：C解析：思路：先通过特殊整数验证命题的真假，再依据特称命题的否定规则得出的形式.解答过程：取，此时，，满足，因此命题p为真命题，根据特称命题的否定规则，特称命题的否定为全称命题，因此命题的否定为.4.已知某AI智能软件处理相关数据量（单位：）与所需时间（单位：）之间的关系为，当要处理的数据量从增加到时，处理的时间增加了，则要处理的数据量为时，所需的处理时间为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由题意：，所以.所以.当时，（）.5.已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：先求出正方体棱长，建立空间直角坐标系，得到线面垂直，找到平面，求出面积.解答过程：设正方体的外接球半径为，则，解得，设正方体的棱长为，则，解得，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，则，故，即，因为，平面，所以平面，取的中点，的中点，连接，由于是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，所以平面，即平面即为平面，平面截该正方体所得截面的面积即为的面积，其中，，为等边三角形，面积为6.记正项数列的前项和为，且，，则（）A.756 B.720 C.636 D.630答案：C解析：思路：由得及，得到数列从第二项起成等差数列，且公差为，再结合求出的值，利用等差数列前项和公式计算即可.解答过程：因为，∴①时，，即时，②①-②得，即，所以数列从第二项起成等差数列，且公差为，且，又，，，解得或（负值，舍去），，所以数列的首项为，从第二项起成等差数列，且公差为.所以.7.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的某一个交点为，若点满足，且，，则的离心率为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由以为直径的圆与的某一个交点为，得；由得到平分，根据，是的中点，利用中位线、角平分线的性质等，结合，整理得；由椭圆定义得，由勾股定理得，以及，，即可计算出离心率.解答过程：设直线交直线于点.由点在以为直径的圆上，得；，平分，即.，是的中点，，，，；；，，整理得；由椭圆定义得；联立，解得，；在中，，即，整理得；由椭圆得，得；，得，即；由，得，，即的离心率为.8.已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（）A.0 B.1 C.-1 D.-2答案：B解析：思路：利用函数的周期性求解.解答过程：由，得，两式相减：，周期，，原式：，令：f(0)+f关于对称，得,所以，因为，得：，，即，，，，一个周期：，一个周期和：，.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若事件，满足，，，则下列说法正确的是（）A. B.事件，相互独立C. D.答案：ACD解析：解答过程：因为，所以,因为，所以，因为，所以，所以.所以.对A选项：，正确；对B选项：因为，，所以，所以事件，不独立，错误；对C选项：，正确；对D选项：，正确.10.定义关于的函数，，其中，则（）A.B.C.对于任意，D.对于任意，答案：AC解析：思路：利用诱导公式对进行化简可判断A；利用辅助角公式对进行化简，再结合三角函数的值域可判断B；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断C；分别表示出，再根据的取值范围比较大小关系，可判断D.解答过程：对于A，当时，，，所以，故A正确；对于B，当时，，，所以则，不恒成立.故B错误；对于C，，，，，且在上单调递减，则，所以.故C正确；对于D，令，则，，当时，与题干矛盾，故D错误.11.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，离心率为，直线：与的左、右两支分别交于，两点，且，，成等比数列，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.若为的一条渐近线，则为等腰三角形答案：ABD解析：思路：A.，由等比数列性质求解；B.直线与左右两支相交，交点横坐标，，故,求出，再确定不等关系；C.通过，得到，故分母，即b2D.求得，故为等腰三角形.解答过程：A.直线过左焦点，且在左支、在右支，因此，由等比数列性质，设，，则(s两边除以得，解得（因，舍去负根），因此，即，A正确；B.联立直线与双曲线方程,得，设,,所以，，直线与左右两支相交交点横坐标，，故,，分子，要使，分母必须为正，即b2m2B正确；C.由弦长公式，，设，，,由双曲线定义,，，焦距，设，中，由余弦定理得，所以，即，因为，即，所以，解得中，由余弦定理得所以，即，因为，，解得，约去两边的（），，，，两边同时除以（）：，即，所以因为得所以，因为（在右支，在左支），所以，所以s−所以2整理得，因，故分母，即b2与选项C的矛盾，C错误；D.若为渐近线，则ba=22⟹由双曲线定义：在左支：，在右支：，结合，，解得，,因此：,,即，故为等腰三角形，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等比数列的前项和为，若，则________．答案：解析：思路：先利用等比数列通项公式化简已知等式求出公比，再结合等比数列前项和公式计算的值.解答过程：设等比数列的公比为，通项公式为.求公比：将代入，得，即，由等比数列的定义可知，化简得，解得.计算：等比数列前项和公式为，因此.13.过点作圆：的两条切线，切点分别为，，若恒成立，则实数的取值范围为________．答案：解析：思路：先将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心和半径，然后根据圆的切线性质，结合三角函数关系得到关于的表达式，再通过分析表达式求出的最大值，最后根据不等式恒成立的条件确定的取值范围即可.解答过程：因为，所以，所以圆心，半径，由，设，化简得，即点恒在直线上，所以圆心到直线距离：，因为直线与圆相离，所以过必可作两条切线，所以：CP⟂MP，设，则，所以，，所以，所以，令，因为，所以，且，所以，因为在单调递增，所以时最小，，所以，又因为恒成立，所以所以实数的取值范围为.14.已知函数在上存在奇数个零点，则________．答案：0或解析：思路：从奇数个不同的零点入手，先研究的对称性.由得到关于直线对称.因为区间是半开半闭区间，所以或，且与不同时为0，即可解.解答过程：，所以曲线关于直线对称.因为区间是半开半闭区间，函数在上有奇数个不同的零点，故或，又，所以或.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且．（1）求抛物线的方程；（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，其中点在第一象限，且的面积为，求的值．答案：（1）（2）或解析：思路：（1）根据向量的数量积为0可知两个向量垂直，由的横坐标可求出，进而可求出方程；（2）设直线的方程为，，联立抛物线的方程，由的面积结合韦达定理可求出，设，结合共线性质得，列方程组可求得.（1）抛物线：的焦点为，由知，又点在抛物线上，所以，解得，因此抛物线的方程为.（2）由（1）得，假设直线的斜率不存在，即轴，将代入可得，此时的面积为，矛盾，假设不成立，所以直线的斜率存在；如图，设直线的方程为，由消去得.设，由韦达定理得，所以.所以的面积为，整理得，解得，所以.设，结合共线性质得，所以，所以，又，所以，解得或.16.在中，角，，所对的边分别为，，，满足，且．（1）求的面积；（2）若为的中线，且，判断的形状．答案：（1）1（2）为等腰直角三角形，解析：思路：（1）由余弦定理和正弦定理得，，由三角形面积公式可得答案；（2）由（1）和面积公式得，由余弦定理得，从而求出，得到的形状.（1），其中，所以，，解得，，由正弦定理得，又，所以，所以；（2）为的中线，，故，，故，，故，所以，在中，由余弦定理得，即，化简得，联立与得或，若，此时，为等腰直角三角形；若，此时，为等腰直角三角形；综上，为等腰直角三角形17.某社团举办招新活动，分为初试、复试、终试三个环节（需通过初试才有资格参加复试，通过复试才有资格参加终试）．现有甲、乙、丙三人报名参加，且三人通过初试、复试的概率相互独立，概率情况统计如下表（其中）：初试通过概率复试通过概率甲乙丙（1）请通过计算说明谁进入终试的概率最大；（2）若甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为．（ⅰ）求实数的值；（ⅱ）记三人中进入终试的人数为，求的分布列与数学期望．答案：（1）乙进入终试的概率最大（2）(ⅰ)(ⅱ)的分布列为：0123数学期望解析：思路：（1）由相互独立事件的概率乘法公式求解即可；（2）（i）由甲、乙、丙三人中恰有两人进入终试的概率为求解即可；（ii）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，由此列出分布列，并求解期望.（1）设甲，乙，丙三人进入终试的事件分别为，，，则，，所以当时，单调递增，对称轴为，此时取得最大值为，所以，小于，当时，则为，大于，所以，即乙进入终试的概率最大.（2）（i）恰有两人进入终试的概率为：，解得，即，解得或，因为，所以.（ii）由（i）可知，则，则的可能取值为0，1，2，3，则，，，，的可能取值为：所以18.如图，在直三棱柱中，为棱的中点，点满足．（1）求的值；（2）若，且二面角为直二面角．（ⅰ）求直线与平面所成角的余弦值；（ⅱ）已知为棱的中点，过点，的平面与射线，交于，两点，求四面体体积的最小值．答案：（1）．（2）（ⅰ）．（ⅱ）．解析：思路：（1）由为的中点，先把化成与的线性组合，再比较与的关系．（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系．先由二面角为直二面角确定点的坐标，再求直线与平面所成角的余弦值．对于体积最小值，设在对应射线上，由共面建立参数关系，再表示四面体体积并求最小值．（1）因为为的中点，所以由题意得于是所以三点共线，且因此（2）（ⅰ）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．由