2025-2026学年陕西咸阳市彩虹学校高二下册期中考试数学试题 含答案

/数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（）A.5 B. C.10 D.2.已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B. C. D.3.已知随机变量的分布列：01满足，，则的值为（）A.4 B. C.2 D.4.已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（）A.5 B. C.7 D.85.某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为（）气温x（）181310－1用电量y（度）24343864A.68度 B.66度 C.28度 D.12度6.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）种A.450 B.72 C.90 D.3607.小华的妈妈为小华煮了个粽子，其中个甜茶粽和个艾香粽，小华随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，则（）A. B. C. D.8.设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（）A. B. C. D.1二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.以下结论正确的是（）A.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点；B.相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强C.已知随机变量服从二项分布，若，，则D.设服从正态分布，若，则10.记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（）A. B.C. D.11.对于函数，则（）A.函数的单调递减区间为B.C.若方程有6个不等实数根，则D.对任意正实数，且，若，则三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若1−3x8=13.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则_______．14.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．在某次测试中输入了个问题（个问题相互独立），智能客服的回答被采纳次的概率为_______四、解答题（本本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）：每日阅读时长≥30分钟每日阅读时长＜30分钟专注力达标17080专注力不达标100150（1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和；（2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.82816.已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最大值、最小值.17.已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前项和.18.随着中美关税战的不断升级，某企业加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如30.5151546.5表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值；（3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）.附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.②若随机变量，则，.③.19.某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算：（1）求甲第2天选择羽毛球的概率；（2）求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率；（3）记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系.

数学一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（）A.5 B. C.10 D.答案：A解析：思路：由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数.解答过程：解：由题设，，∴当时，.∴含项的二项式系数.故选：A.2.已知随机变量服从正态分布，，则（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：利用正态分布的性质求解即可.解答过程：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称.根据正态分布的对称性，且，设，则，解得.故选：3.已知随机变量的分布列：01满足，，则的值为（）A.4 B. C.2 D.答案：A解析：思路：先根据离散型随机变量分布列的期望公式计算，再利用期望的线性性质列方程求．解答过程：解：由表可得，又，可得，解得4．故选A．4.已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（）A.5 B. C.7 D.8答案：C解析：思路：根据分类加法和分步乘法计数原理可得.解答过程：由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条；从地不经过地到地的路线有1条.根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条.故选：C.5.某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为（）气温x（）181310－1用电量y（度）24343864A.68度 B.66度 C.28度 D.12度答案：B解析：思路：根据样本中心满足回归方程即可解决.解答过程：由表中数据可知，，所以回归方程过，得，即，则回归方程为，当时，，故选：B.6.中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）种A.450 B.72 C.90 D.360答案：A解析：思路：根据分类计数原理结合平均分组以及不平均分组运算求解.解答过程：6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：分人数为的三组，共有种；第二种：分人数为的三组，共有种；所以不同的安排方法共有种，故选：A.7.小华的妈妈为小华煮了个粽子，其中个甜茶粽和个艾香粽，小华随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意知：，，∴P8.设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（）A. B. C. D.1答案：A解析：思路：求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案.解答过程：由，可得，所以曲线在处的切线方程是，令得，所以.故选：A．二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.以下结论正确的是（）A.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点；B.相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强C.已知随机变量服从二项分布，若，，则D.设服从正态分布，若，则答案：BCD解析：思路：根据回归方程的性质可判断选项A，根据相关系数与相关性的强弱关系可判断选项B，根据二项分布的特征可判断选项C，根据正态分布的性质判断选项D.解答过程：对于A，由回归直线的特征可知：样本点不一定在回归直线上，故选项A错误；对于B，相关系数的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强，故选项B正确；对于C，因为随机变量服从二项分布，且，，则，解得：，故选项C正确；对于D，若随机变量服从正态分布，则其图象关于轴对称，若，则，所以，故选项D正确.故选.10.记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（）A. B.C. D.答案：AD解析：思路：对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可.解答过程：对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；对B，则，故B错误；对C，，故C错误；对D，，，则，故D正确；故选：AD.11.对于函数，则（）A.函数的单调递减区间为B.C.若方程有6个不等实数根，则D.对任意正实数，且，若，则答案：BCD解析：思路：利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D.解答过程：函数的定义域为，求导得，对于A，由，得或，由，得，因此函数的单调递减区间为和，A错误；对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确；对于C，为偶函数，当时，，由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为，又当时，，当时，，当时，，时，，当时，，当时，，时，，函数的图象如图：观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点，C正确；对于D，不妨设，由，得，即，令函数，，求导得，当时，，，在上单调递增，由，得，即，因此，函数，求导得，当时，，在上单调递减，而，则，即，D正确.故选：BCD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若，则的值为_______答案：255解析：思路：使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可.解答过程：令，即(1−3)8=令，则，则a1+a13.一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则_______．答案：解析：思路：求出的可能取值即每个对应的概率，再由均值公式即可求出.解答过程：的可能取值为，，，，则.故.故答案为.14.某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．在某次测试中输入了个问题（个问题相互独立），智能客服的回答被采纳次的概率为_______答案：##解析：思路：根据全概率公式可求得智能客服的回答被采纳的概率，由二项分布概率公式可求得最终结果.解答过程：记事件：智能客服的回答被采纳；事件：输入的问题表达清晰；由题意知：，，PAB=78∴P输入个问题，智能客服的回答被采纳次的概率.四、解答题（本本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.为研究中学生的专注力与阅读时长是否有关系，调查小组随机抽取了某城市部分中学生进行调查，所得数据统计如下表（单位：人）：每日阅读时长≥30分钟每日阅读时长＜30分钟专注力达标17080专注力不达标100150（1）记“每日阅读时长≥30分钟”为事件A，“专注力达标”为事件B，求和；（2）根据的独立性检验，能否认为中学生的专注力与阅读时长有关系？附：．0.0500.0100.001k3.8416.63510.828答案：（1），（2）根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系解析：思路：（1）用古典概型即可求出答案；（2）根据表中的数据求出，利用独立性检验的方法即可进行判断.（1），，．（2）零假设：中学生的专注力与阅读时长没有关系，由表中数据可得，根据的独立性检验，推断零假设不成立，即认为中学生的专注力与阅读时长有关系，所以，根据的独立性检验，可以认为中学生的专注力与阅读时长有关系.16.已知函数，曲线在点处的切线与直线平行.（1）求a的值；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在上的最大值、最小值.答案：（1）（2）单调递增区间为和，单调递减区间为.（3）最大值为40，最小值为.解析：思路：（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值；（2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解；（3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值.（1）因为，则，则，而直线的斜率为，则，解得.（2）由（1）可知，所以，定义域为，且.令，即，化简可得，解得，当，即时，解得或，所以的单调递增区间为和，当即时，解得，所以的单调递减区间为.综上，得单调增区间为和，单调减区间为.（3）由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为，所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点，则04

0减函数增函数40综上，函数在上的最大值为，最小值为.17.已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求的前项和.答案：（1）（2）解析：思路：（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式；（2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论.（1）依题意，设等差数列的公差为，，因为，所以，因为，，成等比数列，所以，即，联立，解得或（舍去），所以.（2）由（1）得，所以，所以，两式相减得，，所以，所以.18.随着中美关税战的不断升级，某企业加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如30.5151546.5表中，.（1）根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值；（3）科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）.附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.②若随机变量，则，.③.答案：（1）更适合