2025-2026学年陕西咸阳市实验中学高一下册期中质量检测数学试题 含答案

/数学本试题共4页，满分150分，时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（）A. B. C. D.3.有一块四边形的菜地，用斜二测画法画出它的直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为（）A. B. C. D.4.设有两条不同的直线、和两个不同的平面，，下列说法正确的是（）A.若，且，则B.若，且，则C.若，，则D.若，，且，，则5.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.6.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（）A. B. C. D.7.棱长均为2的四面体的外接球体积为（）A. B. C. D.8.在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（）A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.B.的实部为1C.D.若，则的最大值为810.如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（）A.圆锥的体积为B.圆锥的表面积为C.的面积的最大值是D.有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为11.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列说法错误的是（）A.若，则B.若是边长为1的正三角形，则C.若，，，则有两解D.若，则是等腰直角三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知空间两个角与，若，，，则______.13.已知正方体的棱长为2，平面过体对角线，且与直线平行，则平面截该正方体所得截面的周长为__________.14.如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________．四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知复数，．（1）若z是实数，求m的值．（2）若z是纯虚数，求m的值．（3）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；16.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.（1）用，表示，；（2）若EF⊥EG，，求角A的值.17.已知向量，且与的夹角为.（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.18.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.19.如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设平面交平面于直线l．①求证：；②求的值．

数学本试题共4页，满分150分，时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：解答过程：由题意知，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限.2.已知一灯罩呈圆台结构，上、下底皆挖空，上底半径为，下底半径为，母线长为，侧面计划选用丝绸材质布料制作，若不计制作布料的浪费，则制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用圆台的侧面积公式求解即可.解答过程：如下图所示：由题意可知制作这样两个灯罩需要的丝绸材质布料面积为.3.有一块四边形的菜地，用斜二测画法画出它的直观图是直角梯形，如图所示，，，，，则这块菜地的面积为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：在直观图中过点作，垂足为点，即可求出，再将直观图还原为原图，再计算可得.解答过程：在直观图中，过点作，垂足为点，则在中，，，所以，而四边形为矩形，，所以，所以.由此可还原原图形如图所示.在原图形中，，，，且，，所以这块菜地的面积为.4.设有两条不同的直线、和两个不同的平面，，下列说法正确的是（）A.若，且，则B.若，且，则C.若，，则D.若，，且，，则答案：C解析：思路：根据线线、线面、面面位置关系逐项判断即可.解答过程：对于A选项，若，且，则与平行、相交或异面，A错；对于B选项，若，且，则与平行或相交，B错；对于C选项，若，，由面面平行的性质可知，C对；对于D选项，若，，且，，则与平行或相交，D错.5.已知向量，，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：向量，，则在上的投影向量为.6.如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由题意，在中，，，所以.在中，，，所以，由正弦定理，.又为等腰直角三角形，所以.故选项B正确.7.棱长均为2的四面体的外接球体积为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：作在底面上的投影，连接，则外接球球心位于上，连接，设外接球半径为，则，已知，则，，在中，，即，解得，．8.在△ABC中，设，那么动点M的轨迹必通过△ABC的（）A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心答案：C解析：思路：设的中点是，根据题意化简可得，即可确定的轨迹.解答过程：设的中点是，，即，所以，所以动点在线段的中垂线上，故动点的轨迹必通过的外心，故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数，，则下列说法正确的是（）A.B.的实部为1C.D.若，则的最大值为8答案：ACD解析：思路：由复数模长公式可判断A，由复数的乘法、除法运算可判断BC，由复数的几何意义可判断D.解答过程：由，得，A正确；，实部为，B错误；

，C正确；由条件得：，平方得：

，该式表示：点在以为圆心、为半径的圆上，是点到原点的距离的平方：原点到圆心的距离为，圆上点到原点的最大距离为，故的最大值为，D正确.10.如图所示，圆锥的底面半径，高，是底面圆周的一条直径，M为底面圆周上与B不重合的一点，则下列命题正确的是（）A.圆锥的体积为B.圆锥的表面积为C.的面积的最大值是D.有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为答案：AB解析：思路：由圆锥的底面半径和高，求出母线长，对于AB，代圆锥的体积公式和表面积公式计算可得；对于C，先求出轴截面的顶角，再代三角形面积公式计算；对于D，根据侧面展开图计算可得.解答过程：圆锥的底面半径，高，所以母线长为2；对于A.圆锥的体积为，所以A正确；对于B.圆锥的表面积为，所以B正确；对于C.由轴截面为等腰三角形，且顶角为，当等腰的顶角为时，的面积取得最大值为：，所以C错误；对于D.圆锥的底面圆周长为，所以侧面展开图的圆心角为，所以圆锥侧面展开图中圆弧，蚂蚁沿圆锥的侧面从点A爬行到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为线段，且，所以D错误；故选：AB.11.已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，则下列说法错误的是（）A.若，则B.若是边长为1的正三角形，则C.若，，，则有两解D.若，则是等腰直角三角形答案：BD解析：解答过程：中，大角对大边，若，则，由正弦定理，则，，即，故A正确；正三角形中，夹角为，，故B错误；已知，，，所以，故有两解，故C正确；由正弦定理得，则可化为，即，有两种情况：，即，为等腰三角形；或，即，为直角三角形；所以不一定是等腰直角三角形，故D错误．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知空间两个角与，若，，，则______.答案：或解析：思路：根据等角定理可求角的值.解答过程：因为，，故或，故或13.已知正方体的棱长为2，平面过体对角线，且与直线平行，则平面截该正方体所得截面的周长为__________.答案：解析：思路：由正方体结构确定平面截该正方体所得截面为对角面，即可求解.解答过程：如图，因为，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面截该正方体所得截面即为正方体对角面，易知，所以平面截该正方体所得截面的周长为.14.如图，在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同两点M，N．设，，，，，则t的最小值为________．答案：解析：思路：根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得t的最小值.解答过程：由题意，又共线，则，，，，所以，当且仅当，即时取等号，即的最小值为.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知复数，．（1）若z是实数，求m的值．（2）若z是纯虚数，求m的值．（3）若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；答案：（1）或；（2）；（3）.解析：思路：（1）由复数的概念可得，解出即可得到结果；（2）由复数的概念可得，解出即可得到结果；（3）根据复数的几何意义，可得，解出不等式组即可得到结果.（1）因为为实数，所以，解得或.（2）因为是纯虚数，所以有，解得.（3）因为对应复平面上的点在第四象限，所以有，解得.16.如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G分别在边AB，AD，BC上，且满足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，设，.（1）用，表示，；（2）若EF⊥EG，，求角A的值.答案：（1），；（2）.解析：思路：(1)以，为基底，进行向量加减运算，即得结果；(2)以，为基底，结合EF⊥EG进行数量积运算，再利用，得的关系式，即解得角A.解答过程：（1）由平面向量的线性运算可知，.（2）由题意，因为EF⊥EG，所以，解得，所以，则可化简上式为，解得，又，故.17.已知向量，且与的夹角为.（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.答案：（1）；（2）.解析：思路：（1）根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合夹角公式求出，进而求出及模.（2）由（1）的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解.（1）由向量，得，且，由与的夹角为，得，解得，则，于是，所以.（2）由（1）知向量，则，由与的夹角为锐角，得且与不共线，由，解得且，所以实数的取值范围为.18.在中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求周长的最小值；（3）若是锐角三角形，且，求面积的取值范围.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）由余弦定理计算即可求解；（2）由题意可得，根据基本不等式计算即可求解；（3）由正弦定理将化为关于角的函数，根据正弦函数性质及三角形面积公式计算求解.（1）因为，所以，由余弦定理可得，因为，所以；（2）因为，所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，所以，即，所以当时，周长有最小值为；（3）由正弦定理可得，所以，，因为，所以，则，因为是锐角三角形，有，即，所以，，，因为，所以，即面积的取值范围是.19.如图，四棱锥中，，，分别为线段的中点，与交于O点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）设平面交平面于直线l．①求证：；②求的值．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析（3）①证明见解析；②解析：思路：（1）利用中位线可证，利用线面平行判定定理证明