2025-2026学年四川眉山市仁寿县仁寿中学、龙正中学+、汪洋中学高二下册期中质量检测数学试题 含答案

/数学第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A.3 B.2 C.1 D.02.在的展开式中，含的项的系数为（）A.40 B. C.20 D.3.用这10个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（）个A.504 B.648 C.720 D.10004.已知函数，则在处的切线方程为（）A. B. C. D.5.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.6.某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（

）A.72种 B.150种 C.243种 D.360种7.被7除所得的余数为4，则实数m可以为（）A.1 B.2 C.3 D.48.定义在上的函数，的导函数满足，记，，，则，，大小关系为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.在的二项展开式中，下列结论正确的是（）A.常数项是60 B.各项系数之和是64C.二项式系数最大值是20 D.不含的项10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种C.甲乙不相邻的排法种数为70种D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.若恒成立，则B.是的极值点C.若函数恰有2个正零点，则D.若关于x的不等式有解，则第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为_______13.已知函数，若，则实数的取值范围为______.14.函数的两个极值点、满足，则的最大值为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，在及处取得极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.16.高二某班计划从3名男生，3名女生中选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？（3）若要求选出的3人中有2名男生1名女生，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？17.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．18.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围；（3）证明：．19.已知函数（）.（1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围；（2）函数（），有三个不同的极值点，，，；（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明.

数学第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A.3 B.2 C.1 D.0答案：C解析：解答过程：因为，所以2.在的展开式中，含的项的系数为（）A.40 B. C.20 D.答案：A解析：思路：根据展开式的通项公式可求.解答过程：展开式的通项为，令，得，则，故含的项的系数为.故选：A3.用这10个数字，组成没有重复数字的三位数，共有（）个A.504 B.648 C.720 D.1000答案：B解析：思路：根据题意，先排百位数字，再排个位和十位数字，结合排列数公式，即可求解.解答过程：先排百位数字共有9种可能，再排个位数字和十位数字，共有种，由分步计数原理得，共有4.已知函数，则在处的切线方程为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：求导，利用导数的几何意义求切线方程即可.解答过程：，，在处的切线方程为.故选：D.5.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可.解答过程：依题意，在上恒成立，即在上恒成立.设，因在上单调递增，故在上的最小值为，故.故选：D6.某单位有5名员工（记为），需将这5人全部分配到甲、乙、丙3个不同的部门，要求每个部门至少分配1人，则不同的分配方案共有（

）A.72种 B.150种 C.243种 D.360种答案：B解析：思路：按3,1,1,解答过程：分组为:先从5人中选3人作为一组，剩余2人各成一组，分组后分配到3个不同部门.方案数C5分组为:两个组人数相同，属于平均分组，需要消除重复排序，再分配到3个不同部门：方案数C5将两类相加：种.7.被7除所得的余数为4，则实数m可以为（）A.1 B.2 C.3 D.4答案：C解析：解答过程：2展开得(7+1)展开式中前项均含因子，能被整除，仅最后一项C20262026⋅1=1，因此26078除以的余数为1，因为26078+m被除余，所以1+m≡4+7所以，所以可以为3.8.定义在上的函数，的导函数满足，记，，，则，，大小关系为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根据满足的条件构造函数，求导说明在上单调递减，再由，，可得.解答过程：，，又，所以，令，则，故在上单调递减，，，，，因为在上单调递减，所以，即，又，所以，故选：A．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.在的二项展开式中，下列结论正确的是（）A.常数项是60 B.各项系数之和是64C.二项式系数最大值是20 D.不含的项答案：AC解析：思路：根据题意，二项展开式通项为，对于A，当时即为常数项，再计算判断即可；对于B，利用赋值法求各项系数之和即可；对于C，由可知二项式系数最大值是；对于D，根据，令，解得即可判断．解答过程：对于A，二项展开式通项为，当时，，所以常数项是60，故A正确；对于B，当时，，所以各项系数之和是1，故B错误；对于C，，二项式系数最大值是，故C正确；对于D，，当时，解得，所以二项展开式中含的项，故D错误．故选：AC．10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（）A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种C.甲乙不相邻的排法种数为70种D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种答案：AD解析：思路：根据选项，结合捆绑法和倍缩法计算即可求解.解答过程：对于A，甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种排法，故A正确；对于B，若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有种排法，故B错误；对于C，先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，故C错误；对于D，甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有种排法，甲乙丙全排列有种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D正确．故选：AD11.已知函数，，则下列说法正确的是（）A.若恒成立，则B.是的极值点C.若函数恰有2个正零点，则D.若关于x的不等式有解，则答案：ACD解析：思路：对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解.解答过程：由题意可知.对于选项A：若恒成立，可得恒成立，令，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，则，可得，即，故A正确；对于选项B：若，令，解得，此时的定义域为，不在定义域内，故B错误；对于选项C：由题意可知：，令，解得，令，可得，构造，则，因为在定义域内单调递增，则，即，构造，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递增，在内单调递减，则即，解得，所以，故C正确；对于选项D：令，若，可知的定义域为，当趋近于时，趋近于，符合题意；若，可知的定义域为，令，可得，由选项C可知：在定义域内单调递增，因为，则，即，可知有解，由选项C可得：，解得；综上所述：，故D正确.第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为_______答案：##解析：解答过程：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，共种情况.两个球都是红色的，共.两个球都是白色的，共.因此概率为3+11013.已知函数，若，则实数的取值范围为______.答案：解析：思路：先求导判断函数在上单调递增，再利用奇函数性质将不等式转化为，解一元二次不等式得到的取值范围.解答过程：函数的定义域为，，即是奇函数，求导得，∴在上单调递增，由，得，∴，解得.14.函数的两个极值点、满足，则的最大值为________.答案：解析：思路：根据函数极值点的定义可得出，可得出，令，则，可得出，，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可.解答过程：由得，由得，因为函数两个极值点、，则，可得①，设，则且，代入①得，，所以，设，则，令，则，所以在上单调递增，所以，从而，所以在单调递增，所以，所以，故的最大值为.故答案为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，在及处取得极值.（1）求的值；（2）求函数在上的最大值与最小值.答案：（1）（2）在上的最大值为，最小值为.解析：思路：（1）求出函数的导数，根据极值点得导数零点，结合韦达定理可求；（2）根据（1）的结果得到在上的单调性，从而可得最值.（1），因为在及处取得极值，故有两个解及，故，故，此时，当或时，；当时，，故在及处取得极值，符合题设，故.（2）由（1）可得且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，，，.故在上的最大值为，最小值为.16.高二某班计划从3名男生，3名女生中选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若选出的3人中至少有1名男生，共有多少种不同的选择方法？（3）若要求选出的3人中有2名男生1名女生，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作，每人负责一项问卷，每项问卷一人负责，求共有多少种不同的选派方法？答案：（1）20（2）19（3）54解析：（1）从6名学生中选出3人不同的选择方法有种；（2）选出的3人中至少有1名男生，不同的选择方法有种；（3）选出的3名学生中有2男1女，且安排他们分别从事经济、文化和民生三项问卷调查工作不同的选择方法有种；17.已知．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据题意，利用组合数的计算公式，化简得，即可求解；（2）求得二项展开式的通项，得到为正数，为负数，分别令和，即可求得的值．（3）由（1）得到，两边求导，再令，即可求解.（1）解：由组合数的计算公式，可得，即，解得或（舍去）．（2）解：二项式展开式的通项公式为，由二项式展开式中的系数为,当为偶数时，；当为奇数时，令，可得，令，可得，即，所以．（3）解：由（1）知，可得两边求导得可得，令，代入得，所以．18.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）若，求的取值范围；（3）证明：．答案：（1）在上单调递减，在上单调递增（2）（3）证明见解析解析：思路：（1）求导，利用导数的正负判断函数单调性；（2）转化问题为对于恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可；（3）结合（2）可得，进而证明即可求证.（1）当时，，，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.（2）由，则对于恒成立，设，，则，令，得，令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，则的取值范围为.（3）由（2）知，当时，，则，所以，设，，则，所以函数在上单调递增，则，即，得证.19.已知函数（）.（1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围；（2）函数（），有三个不同的极值点，，，；（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明.答案：（1）（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）转化为无变号零点，利用导数求解即可；（2）（i）转化为函数有三个零点，进而转化为有两个不相等的正根，根据单调性和零点存在性定理即可求解；（ii）根据，的关系，，结合的单调性，结合（i）中的两根关系、a的取值范围即可得证.（1）（），令（），因为函数在定义域内