2025-2026学年四川省宜宾市南溪第一中学校高三下册冲刺关门卷数学试题 含答案

/数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，则集合为（）A. B. C. D.2.在复数范围内，方程的两个根为和，则（）A. B. C. D.3.已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件4.已知实数，下列关系式：①；②；③；④.其中成立的关系式有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.函数的部分图象如图所示，则（

）A.1 B. C.3 D.6.已知，则被10除的余数为（）A.1 B.3 C.7 D.97.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于点（点在轴上方）．若，则（）A. B. C. D.8.函数所有零点的和等于（）A.6 B.7.5 C.9 D.12二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知两个变量与对应关系如下表：若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（）A.与正相关 B.C.样本数据的第60百分数为 D.各组数据的残差和为10.在中，角的对边分别为，且，则（）A.B.当时，C.当时，面积的最大值为1D.当为锐角三角形时，的取值范围是11.如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.若平面平面ABCD，则B.四棱锥的体积最大值为C.点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为D.三棱锥的外接球表面积的最小值为三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线是曲线的一条切线，则__________．13.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______．14.已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，.（1）讨论函数的极值；（2），不等式恒成立，求实数的取值范围.16.下图是某校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，评分在区间，上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，假设每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得C等级，乙、丙获得D等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级的人数为，求的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B等级的概率．17.如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，．（1）设为中点，求证：面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到直线的距离．18.已知数列和满足：，，且．（1）求和的通项公式；（2）（i）求数列的前项和；（ii）试比较与的大小．19.已知椭圆的左、右顶点分别为，直线交于，两点，．（1）求的方程；（2）点在线段上，直线分别交于两点，直线交于点．（i）证明：；（ii）判断轴上是否存在定点，使得为定值．若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若全集，则集合为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先求出，根据补集运算的定义，即可得答案.解答过程：由题意得，且全集，所以集合.2.在复数范围内，方程的两个根为和，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合一元二次方程的解可得方程的两根为，利用复数相等的定义求解即可.解答过程：由题知，，解得，所以两根为，化简为，所以，解得.3.已知向量，则“”是“与的夹角为锐角”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案：C解析：思路：利用向量夹角公式及向量夹角的范围，求出与的夹角为锐角的充要条件，再结合条件，即可求解.解答过程：因为，则，由与的夹角为锐角，可得，解得且，则“”是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件．4.已知实数，下列关系式：①；②；③；④.其中成立的关系式有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案：C解析：解答过程：，故①正确；，故②正确；由换底公式可得，，所以.又因为，所以，故③正确；，故④错误.所以成立的关系式有3个.5.函数的部分图象如图所示，则（

）A.1 B. C.3 D.答案：B解析：思路：先根据正切函数图像上零点与相邻渐近线的水平距离，利用公式求出，再结合图像过点与零点，利用正切函数零点满足，结合确定值，最后将和函数值及代入解析式，求得即可.解答过程：由图知，得到，又由图知，由，得到，又，所以即，由，得，所以.6.已知，则被10除的余数为（）A.1 B.3 C.7 D.9答案：D解析：思路：利用二项式定理化简原式，将问题转化为求除以10所得的余数，即可得.解答过程：，由，由于最后一项为，所以被10除的余数为9.7.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于点（点在轴上方）．若，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：抛物线，由抛物线的标准形式，得，，故焦点，准线方程为．设准线与轴的交点是，过点作垂直于直线于，则，，由可得，所以，从而，设直线的倾斜角为，由于点在轴下方，则，所以．所以，由抛物线的弦长公式，故：．8.函数所有零点的和等于（）A.6 B.7.5 C.9 D.12答案：C解析：思路：将问题转化为与半圆的交点，结合图象求得和.解答过程：由解得，所以的定义域是.由两边平方并化简得，即，所以表示以为圆心，半径为的半圆.由得，的零点，也即与半圆的交点的横坐标，与半圆的图象都关于直线对称，画出与半圆的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有个交点，且两两关于直线对称，所以的零点和为.故选：C二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知两个变量与对应关系如下表：若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则（）A.与正相关 B.C.样本数据的第60百分数为 D.各组数据的残差和为答案：ABD解析：思路：利用相关性的定义及线性回归直线可判定A，根据样本中心点在回归方程上可判定B，利用百分位数的计算可判定C，利用回归方程计算预测值可得残差即可判定D.解答过程：对于A，由回归直线方程知：，所以y与x正相关，故A正确；对于B，由表格数据及回归方程易知，故B正确；对于C，，所以样本数据y的第60百分位数为，故C错误；对于D，由回归直线方程知时对应的预测值分别为，故对应残差分别为，显然残差之和为0，故D正确.故选：ABD10.在中，角的对边分别为，且，则（）A.B.当时，C.当时，面积的最大值为1D.当为锐角三角形时，的取值范围是答案：AD解析：思路：对于选项A，通过正弦定理将角化为边的关系，结合余弦定理即可；对于选项B，将代入余弦定理可得，再次通过余弦定理即可求出；对于选项C，利用三角形面积公式结合基本不等式即可；对于选项D，通过正弦定理将表示为关于的三角函数，结合三角函数的性质即可求解；解答过程：对于A选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径，代入条件得，由余弦定理，，又，故，故A正确；对于B选项，将代入，得，由余弦定理，，故，B错误；对于C选项，若，由基本不等式可得的面积，当且仅当时取等号，故面积的最大值为，C错误；对于D选项，由，得，由，得，又为锐角三角形，所以，所以，所以，故.D正确.11.如图，在矩形ABCD中，，E为BC的中点，将沿AE向上翻折到，连接PC，PD，在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.若平面平面ABCD，则B.四棱锥的体积最大值为C.点P从点B翻折到AD中点的过程中，PD的中点F形成的轨迹长度为D.三棱锥的外接球表面积的最小值为答案：AD解析：解答过程：对于A：因为平面平面，平面平面，因为是中点，，所以，所以，所以，平面，所以平面，平面，所以，故A正确；对于B：由已知梯形的面积为，，直角斜边上的高为，当平面平面时，四棱锥的体积取最大值，故B错误；对于C：如图1，取的中点，则，平行且相等，四边形是平行四边形，所以点的轨迹与点的轨迹形状完全相同，过点作的垂线，垂足为，，点的轨迹是以为圆心，半径为的半圆弧，从而的中点的轨迹长度为，故C错误；对于D：如图2，的外接圆的半径为，是的中点，外接圆的半径为2，是圆与圆的公共弦，，设三棱锥外接球心为O，半径为，则，因为，所以，所以的最小值为2，所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故D正确．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.若直线是曲线的一条切线，则__________．答案：解析：解答过程：曲线的导数为，设切点坐标为，则该点处切线斜率，切线方程为，即，对比已知切线方程得，则，故，解得，则．13.在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______．答案：解析：思路：根据三角函数的定义求，再由两角差的正切公式即可求解.解答过程：由题可知，则．14.已知椭圆与双曲线有相同焦点，记为，，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为_________．答案：3解析：思路：根据椭圆和双曲线的性质，利用焦点相同构造相等关系，利用换元法，结合离心率的定义列出代数式，构造函数并求导，分析函数单调性及最小值点，进而求出最小值．解答过程：已知椭圆，则，双曲线，则，故，设，则，，，令，求导得，令，解得（舍去）或，当时，，单调递减；当时，，单调递增；故是极小值点，即为最小值点，，故的最小值为3．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数，.（1）讨论函数的极值；（2），不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值.（2）解析：思路：（1）求导，结合，讨论函数单调性，利用极值的定义即可求解；（2）通过分离参数，构造函数令，求导确定单调性，求得最值，即可求解.（1）函数的定义域为，，当时，恒成立，即函数在上单调递增，所以函数无极值；当时，由得；由得，即函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极大值为，无极小值，综上：当时，函数无极值；当时，函数的极大值为，无极小值.（2）依题可知：不等式在上恒成立，即在上恒成立，令，则，令，则，所以函数在上单调递减，则，即函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围是.16.下图是某校高三学生“运动与健康”评价结果的频率分布直方图，评分在区间，上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学生有的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级．用频率估计概率，假设每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得C等级，乙、丙获得D等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为C等级的人数为，求的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是B等级的概率．答案：（1）分布列见解析，（2）解析：思路：（1）先判断的所有可能取值为0，1，2，3，然后利用独立和互斥事件概率公式，结合独立重复试验概率公式得到分布列，然后根据期望定义计算期望值；（2）利用条件概率公式，全概率公式和贝叶斯公式计算.（1）的所有可能取值为0，1，2，3，，∴的分布列如下：0123P.（2）记“该学生复评晋级”，“该学生初评是B”，“该学生初评是C”，“该学生初评是D”，则，且两两互斥，根据题意得：，，由全概率公式可得：所以.17.如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱和棱上，且，．（1）设为中点，求证：面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到直线的距离．答案：（1）证明见解析（2）（3）解析：思路：（1）取BE的中点为G，连接，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法，即可求得答案；（3）利用空间距离的向量求法，即可求得答案.（1）取BE的中点为G，连接，因为为中点，所以，而，，则，，故，所以，则四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面；（2）在直三棱柱中，，故两两垂直，以所在直线为轴建立空间直坐标系，由于，故，则，设平面的法向量为，则，令，则，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为；（3）,故点到直线的距离为.18.已知数列和满足：，，且．（1